03_slides_2018 (1182267)
Текст из файла
В.Н.Глазков, «Квантовая макрофизика», 19.02.2018Квантовая макрофизика.К лекции 2: Амплитуды колебаний атомов в решетке.Лекция 3. Свойства электронного ферми-газа.Амплитуда тепловых и квантовых колебаний вкристалле.Цель:Качественно (без точных коэффициентов) понять каковы амплитуды нулевых итепловых колебаний атомов в кристалле.Напоминание:● На одно физически различимое колебание в k-пространстве приходится объём(2π)3/V (для периодических гран.условий)● Каждая мода колебаний эквивалентна гармоническому осциллятору на той жечастоте● Запасенная в колебаниях энергия в тепловом равновесии∞∑ E n e−E /TnΕ (ω)=n=0∞∑en=0−E n/ T()ℏωℏω1=+ ℏ ω /T= + n(ω) ℏ ω2 e2−1Распределение Бозе снулевым химпотенциаломРавновесное числофононовАмплитуда тепловых и квантовых колебаний вкристалле.u i= Acos ( ⃗k r⃗i −ω t)смещение i-го атома в «монохроматической» плоской волнеЭнергия, запасённая в таком колебании(u i−ui + 1 )2(du i / dt)2E=∑ C+m22iсумма поатомамЭнергия= средней энергииСредняя кинетическая энергия= средней потенциальной энергииАмплитуда тепловых и квантовых колебаний вкристалле.u i= Acos ( ⃗k r⃗i −ω t)M=Nm — масса кристалла1E=ℏ ω( n+ )22( dui /dt ) M ω 2 A2E= E=∑ 2 m=22iсумма поатомам1/2 из среднегоквадрата косинуса2A k=2ℏ1(nk + )2M ω (⃗k)Равновесная амплитуда k-ой гармоники колебанийАмплитуда тепловых и квантовых колебаний.Ищем средний квадрат отклонения атома2〈 ( u (⃗r , t) ) 〉Для одной модысуперпозиция плоскихволн2⃗u (⃗r , t)=∑ ⃗Ak ,α cos ( ⃗k ⃗r −ωk t +ϕ k )A k=2ℏ1(nk + )2M ω (⃗k)k ,αпри усреднении по времени/по кристаллуне ноль только если одинаковыеаргументы k и только полные квадраты2〈 ( u ( ⃗r , t ) ) 〉=12〈A∑k , α〉2 k ,αЧисло поляризацийDℏNn+1/2ℏNn+1/21d k22PkPk〈u 〉= ∑ 〈 Ak ,α 〉== ρ ∫∑D2 k,αM k ω ( ⃗k )ω( ⃗k ) (2 π)DℏNn+1/2dk2Pk〈 u 〉= ρ ∫ω (⃗k ) (2 π)DСлучай T=0.nk=0DℏN1dk2P〈u0 〉=∑∫D2ρ iω( ⃗k ) (2 π)1D: расходимость! Бесконечность смещения = неустойчивость одномерногокристалла3D, дебаевское приближениеkD3 ℏ k 2D3ℏ1 4π k d k(1/a )21〈 u 〉= ∫=∝=232 ρ 0 s k (2 π)32 (2 π) ρ s ( m/a )a √C / m √ Cm202Случай T=0.Малая масса атома гелия+слабостьn k + 1 /2 d D k2ℏ2взаимодействия〈 u 〉= ρатомов благородного Dгаза...ω( ⃗k ) (2 π)i∑∫Амплитуда нулевых колебаний ~1/3межатомного расстояния, гелий при T=0твердеет только под давлением...nk=0Dℏ1 d k2〈 u0 〉= ρ ∑ ∫D⃗ω(k)(2π)i1D: расходимость! Бесконечность смещения = неустойчивость одномерногокристаллаkD3 ℏ k 2D3ℏ1 4π k d k(1/a )21〈 u 〉= ∫=∝=232 ρ 0 s k (2 π)32 (2 π) ρ s ( m/a )a √C / m √ Cm202DℏNn+1/2dk2Pk〈 u 〉= ρ ∫ω (⃗k ) (2 π)DСлучай T>0.nk d D kℏ〈 u 〉=〈 u 〉+ ρ ∑ ∫ ωi(2 π) D220Сходимость в длинноволновой области∫D−211xD−1D−1ωdω∝T∫ e x −1 dxω e ℏ ω/T −1расходится в двумерном случае!Двумерные кристаллы при конечной температуретермодинамически неустойчивы.ℏ ω/ T ≪1?Случай большихтемператур, 3D.DℏNn+1/2dk2Pk〈 u 〉= ρ ∫ω (⃗k ) (2 π)D333T V kℏ11dk3Tdk2〈u 〉≈3 ρ ∫≈∼ℏ ω/T33 ∫2⃗ω( k ) e −1 (2 π) (2 π) ρω(2 π)3 ω 2max ρотбросиликвантовую часть,учитываем толькоакустическиеколебания2〈 u 〉≃kBTmω 2Dвоспользовалисьтем, что температурабольше всехфононных энергий.объём 1 з.Бр.( )2π∼aдля грубой оценкиучли, что основнойвклад дадут областиk-пространства сбольшим k ичастотой вблизимаксимумапри высоких температурах характернаяплощадь, заметаемая атомом при тепловыхколебаниях оказывается пропорциональнатемпературе3n k + 1 /2 d D k2ℏ〈 u 〉= ρ ∑ ∫ω( ⃗k ) (2 π) Di2Случай большихтемператур, 3D.3326T Vk2ℏ11dk6Tdk2kTkT〈u 〉B〈 u 〉≈3 ρ ∫≈∼ B 3 ∫ 2 ∼ℏω/T33 2∼ω( ⃗k ) e 2 −1 (2 π)2 2 (2 π) 2ρω(2π) ωmax ρam ωD amsобъём 1 з.Бр.( )2π∼aОценка: A~40, s~ 3 км/секотбросили2квантовую часть,s22−10m cвоспользовались=10×40×1 ГэВ=4 эВ≃40000 Кучитываем только m s =тем, что температураcдля грубой оценкиакустическиебольше всехучли, что основнойколебанияфононныхэнергий.2вклад дадут области〈u 〉≪1 Трёхмерные кристаллы k-пространства с2всё-таки существуют....
большим k иaчастотой вблизимаксимума()2〈 u 〉∼kBTmω 2Dпри высоких температурах характернаяплощадь, заметаемая атомом при тепловыхколебаниях оказывается пропорциональнатемпературе3Лекция 3: Ферми-газ.Ферми- и бозе-частицы.Напоминание.В квантовой механике есть два класса частиц: фермионы и бозоны.ФЕРМИОНЫБОЗОНЫполуцелый спин;целый спин;две частицы не могут заниматьодно состояние (запрет Паули);произвольное число частицмогут занимать односостояние;функция распределенияn=функция распределения1(E −μ)/ Te+1Электроны, протоны, нейтроны...n=1(E −μ)/ Te−1Фотоны, фононы, He-4....Напоминание: химический потенциалВ термодинамике: химпотенциал = функция состояния,«цена» добавления очередной частицы к системеd U =....+μ d Nd F =....+μ d N∂U∂Fμ===...∂ N S ,V∂ N T ,V( ) ( )Следствие: в системе с «подстраивающимся»числом частиц (например — фононы) в равновесииэнергия минимальна и химпотенциал равен нулю.Идеальный ферми-газ при T=0.Есть N невзаимодействующих фермионов (S=1/2) заключённых в объёме V=L 3i⃗k ⃗rψ⃗k =eℏ2 k 2E ⃗k =2mрешение уравнения Шредингера длясвободной частицы внутри «коробки»энергия свободной частицы+периодическое граничное условиеψ( x , y , z )=ψ(x+ L , y , z )LLLei kα L=1k x , k y , k z=0,±и т.д.2π4π,±...LLопять получается решётка разрешённых состояний в k-пространствеЗаполнение ферми-частиц при T=0.Объём k-пространства на состояние( )2πLD(2 π)D= (D )V3D: объём,2D: площадь, 1D: длиначисло частиц34N (2 π)33 nπkF==(2 π)32 V2k F =√ 3 π n3множитель 1/2:спиновоевырождение2фермиевский волновойвекторkFСравнение с другими (уже изученными) волновымивекторамимодель Дебая для фононовдебаевскийимпульсфермиевскийимпульсk D =√6 π n3модель Ферми-газа2количество примитивныхэлементарных ячеек вединице объёмаk F =√ 3 π2 n3количество фермионов (спин 1/2) вединице объёмаещё есть граница зоны Бриллюэнаk Бр ∼ π ∼π √na3Все характерные волновыевектора одного порядка!Энергия Ферми и импульс Ферми.Порядки величины для металлов.p F =ℏ k Fимпульс Фермиℏ2 k 2F ℏ 222/ 3E F==( 3 π n)2m 2m√pF ℏ k F2 EFV F= ==mmmэнергия Фермискорость Фермидля типичного металла:постоянная решётки 2Åконцентрация электронов 1023 1/см3k F ≃108 1/ смV F ≃1000 км/секE F ≃5⋅10−12 эрг≃3 эВПлотность состояний для ферми газа.
3D.спиновоевырождение(2S+1)изотропно√dNV dV ⃗kV 4 π k 2 dk V mV m 2mED( E)==2=2= 2 2 k= 2 2=3322dE(2 π) dE(2 π) ℏπ ℏπ ℏℏk dkm3нерелятив.2 √m3N 1E√=V 2√ E=ℏ2 EF E Fπ( )√Для трёхмерного ферми-газа плотность состояний растёт с энергией,наибольший вклад будут давать электроны вблизи поверхности Ферми.Идеальный ферми-газ при конечной температуре.11n ( E)=eE −μT+1T/m=1T/m=0.1T/m=0.01T=0nВырожденный ферми-газ:при низких температурах (T<μ/10)функция распределения меняетсятолько вблизи уровня химпотенциала,ступенька несколько сглаживается.00123E/m45Зависимость химпотенциала от температуры.В принципе, есть такая зависимость. Задаётся неявно условиемнормировки∞N =∫ n(E ) D(E )dE0n (T =0)−n(T )=1−11e (E −μ)/T + 1=1e∣E −μ∣/ T + 1T=0T/m=0.01n (T )−n(T =0)=1e∣E−μ∣/T + 1nПлощади этих фигур равны∞∫000.951.05E/m∞1dxd ε=T ∫ x =T ln2ε/Te +10 e +1Зависимость химпотенциала от температуры.Но, площадь правой фигуры войдёт в нормировкус большим весом, т.к.
в 3D плотность состоянийD(E) растёт.∞N =∫ n(E ) D(E )dE0Δ D≃dDdE∣3 TT= N 24 μ0E =μ0Если бы химпотенциал не изменился, тоT=0вычисленноечисло частиц увеличится наT/m=0.0112TΔ N ≃N 2μ0nСледовательно, нужно уменьшитьхимпотенциал∞∫0(2δμ δ NT2 /3μ0 ∝ N ⇒ μ ∼⇒μ (T )=μ 0 1−a 20Nμ01d ε=T ln2ε/Te +102Tμ (T )=μ 0− π μ1220.951.05E/mСтрого:)ТермоЭДСЭлектрохимический потенциалμ (x)−e ϕ( x)=const(2Tμ (T )≈μ 0 1− π 212 μ02)Контактная разность потенциалов:e Δ ϕ BA=e( ϕ B−ϕ A)=μ B −μ A =()=μ(B0) ()) ()222TT( A)π1− π−μ1−=0(B ) 2(A ) 212 (μ 0 )12 (μ0 )2=(μ −μ( B)0( A)02112π+−T12 μ(0A) μ(0B)ТермоЭДС()2112πe Δ ϕ BA =( μ −μ )+−T)12 μ(0A) μ(B0(B)0( A)0()211πe Δ ϕV =− ( A) T Δ T( B)6 μ0μ0~1~0.1 1/эВкомната,25 мэВпостоянная термопары: ~ мкВ/К,медь-константан: 43 мкВ/КВозьмем 1КФерми-газ и работа выхода.Работа выхода частично связана сэлектростатическим притяжением к«заряду отражения»электронe2U (x )=−2xРасходимость на малых расстоянияхобрезается квантовой делокализациейэлектрона.
В модели ферми-газа этодлина волны электрона с фермиевскимимпульсомметалл2πx min ∼λdB =k2322e2 k Fe √3 π ne 3U min ∼−=−≃− √ n4π4π4n≃1023 1/ см 3A=1.7 эВРабота выхода разных металлов.Профиль распределения электронов вблизиповерхности Ферми — эксперимент.Слева: схема спектра электронов в металле и связь спектра электронов в металле сэнергетическим спектром фотоэлектронов. Справа: граница спектра фотоэлектронов изсеребряного фотокатода, отражающая форму функции распределения при комнатнойтемпературе.Stefan Hüfner, Photoelectron Spectroscopy: Principles and Applications, 1995Энергия и давление ферми-газа при T=0.EFEF3N33/ 2E=∫ E D( E) dE=E dE= N E F3 /2 ∫52 EF 00ℏ2 k 2F ℏ 222/ 3E F==( 3 π n)2m 2m∂EP=−∂Vзависит от объёма припостоянном N2( )1ℏ NP= (3π 2)2 / 35m V5/ 32= n EF5для параметров типичного металла:1011 дин/см2=108 Па=1000 атмв нейтронных звёздах это давлениепротивостоит гравитационному сжатиюТеплоёмкость вырожденного ферми-газа.Качественные соображения.тепловое «размытие»ферми-поверхностиΔ E≃TПри нагреве примерно D(EF)T частицувеличили свою энергию на T23 TE (T )−E 0 ≃D(E F ) T = N2 EFTC (T )≃k BTF2Точный результат:2k BT π2πC= N= D(E F ) k 2B T2EF32Теплоёмкость ферми-газа.
Связь с массой частицы.2k BT π22πC= N= D(E F ) k B T2EF322kBTkBT2πC μ= R=π R m 2=γ T22/ 32EFℏ (3 π n)определяетсяэкспериментальнодля металловопределяетсянезависимо∗( )m3= πm02/ 3ℏ 2 n2 /3 γ×k B m0 RТеплоёмкости металлов.C=γ T + β T 3Слева: теплоёмкость меди при низких температурах.Справа: теплоёмкость алюминия в нормальной исверхпроводящей фазах (для измерения в нормальнойфазе переход в сверхпроводящее состояниеподавлялся магнитным полем).отношение эффективной массы к массеэлектрона для меди 1.37, для золота 1.08,для серебра 0.995, для алюминия 4.45F.Pobell, Matter and Methods at Low Tempertaures, 2007???Теплоёмкость жидкого гелия-3Гелий-3: эффект Померанчука.dP S 1−S 2=dT V 1−V 2S=ln(2S+ 1)=ln 2≈0.69твёрдая фаза выше 10мКT'CS (T ' )=∫ dT0 TCμ1≈2.75RTKS (T )≈2.75 Tжидкая фазаПри T<0.25K энтропия жидкой фазы меньшеэнтропии твёрдой фазы!Кривая плавления должна менять наклон....Гелий-3: эффект Померанчука.dP S 1−S 2=dT V 1−V 2S=ln(2S+ 1)=ln 2≈0.69твёрдая фаза выше 10мКT'CS (T ' )=∫ dT0 TCμ1≈2.75RTKS (T )≈2.75 Tжидкая фазаПри T<0.25K энтропия жидкой фазы меньшеэнтропии твёрдой фазы!Кривая плавления должна менять наклон....Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.1nT/m=0.01T=0000.51.0E/m1.5Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.1T/m=0.01T=0появилисьантичастицыn«вакуум»появилисьчастицы000.51.0E/m1.5Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.12FT/m=0.01заполнения для частиц:числапоявилисьантичастицыT=0n=2ppεа =−=V F ( p F − p)2m 2mn2p 2Fpεч =−=V F ( p− p F )2m 2m0.51.0E/m+11ε /Te +1ч1e( E−μ)/T + 1=1e(μ− E )/ T + 1=фермиевская статистика снулевым химпотенциаломпоявилисьчастицы0(E −μ)/ Te=для античастиц:n=1−011.51eε / T + 1аЗачем говорить на языке элементарных возбуждений?1.
От системы большого числа «настоящих» частиц переходим (при низкихтемпературах) к разреженному газу квазичастиц.2. Такое описание применимо и для систем с взаимодействием («ваккум»конечно будет устроен иначе, но общая идеология сохраняется).3. Некоторые вещи получаются проще.плотность состоянийдля квазичастиц при ε=0совпадает с плотностьюсостояний на поверхностиФермимножитель 2 — учёт частиц и античастиц(интеграл по положительным энергиям)∞E =2∫ ε n(ε) D(ε) d ε0∞∞2xdE∂ n(ε)x e dxC==2 D(E F ) ∫ εd ε=2 T D(E F )∫=2xdT∂T00 (e + 1 )∞22ξπ=4T D(E F )∫ 2 d ξ= D( E F )T30 ch ξВзаимодействие в ферми-системах.идеальныйферми-газk1k2k'1nk'2⃗k 1+ ⃗k 2=⃗k ' 1+ ⃗k '2принцип Паули: конечныесостояния должны бытьсвободны.Не все разрешённые механикойпроцессы рассеяния могут идти,длина пробега в ферми-газе принизких температурах даже приналичии взаимодействияоказывается большойвзаимодействие~UEДаже при наличии взаимодействияоказывается возможным построитьэлементарные возбужденияаналогичным разобранному способом(при строгом рассмотрении — тольков 3D!).Масса квазичастиц перенормируетсяпри учёте взаимодействия.Критерий идеальности ферми-газаU ≪E Fnнеэкранированноекулоновскоевзаимодействие2~U2eℏ 2/ 32 1/ 3∼e n ≪ E F ∼ namE( )2n≫3e m243∼101/смℏ21.
Вырожденный ферми-газ тем идеальнее, чем плотнее!2. Даже для хороших металлов газ электронов «не очень» идеальный (то есть,есть взаимодействие и связанная с ним перенормировка массы)Главное на лекции●●●●Фермиевские импульс и энергияТеплоёмкость ферми газаЭффективная масса частицыКвазичастицы22kBTππC= N= D(E F ) k 2B T2EF3k F =√ 3 π n322∗( )m3= πm02/ 3kFℏ 2 n2 /3 γ×k B m0 R.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
