01_slides_2018 (1182265), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Первая зона Бриллюэна.⃗ G)⃗ 22⃗k⋅G=(2⃗⃗⃗k⋅( G / 2 )=( G /2 )⃗ )⋅G=0⃗( ⃗k −G/2Построение Бриллюэна: проводим через середины всехвекторов обратной решётки плоскости, им перпендикулярные.Эти плоскости высекают некоторые многогранники. Есливолновой вектор волны, отложенный от выбранного центра,попадает на поверхность такого многогранника — онудовлетворяет условию дифракции.Такой многогранник наименьшего объёма будет элементарной ячейкой обратнойрешётки. Такой способ построения элементарной ячейки называют ячейкойВигнера-Зейца.Первая зона Бриллюэна, по определению, это ячейка ВигнераЗейца для обратной решётки.По построению объём первой зоны Бриллюэна равен объёму элементарной ячейкиобратной решётки33∗∗V ⃗k =( ⃗a ⋅[ ⃗b ×⃗c ])=∗(2 π)(2 π)=⃗V ⃗r(⃗a⋅[ b×⃗c ])трансляции примитивной решёткиКолебания атомов в кристалле.i-1ii+1i+2uiМодель «шариков и пружинок». Аналогия с кристаллом: продольные колебаниякристаллографических плоскостей.2d ujM=C ( u j+ 1+ u j −1 −2 u j )2dtКолебания однородной цепочки.d2ujM=C ( u j+ 1+ u j −1 −2 u j )2dtu j=u0 ei (kx j −ωt )ищем решение в форме бегущей волны спроизвольной амплитудойx j = j⋅a−M ω =C ( e2i ka−i k a+e−2 ) =−2C ( 1−cos(k a) )=−4Csin2√ ∣ ( )∣4Ckaω=sinM2Только при такой связи частоты и волнового вектора (при таком законедисперсии) волна распространяется по кристаллу без затухания.( )ka2Звуковые волны, порядки величины...√ ∣ ( )∣√4Ckaω=sinM20.8w /wmaxk →0Cω=ak =skMзвуковые колебания0.4∣ ( )∣2skaω= sina20-4p/a -3p/a -2p/a-p/a0p/akV гр=dωdkзануляется при2p/a3p/a4p/as=103 м /секa=2⋅10−10 мk =π/ a+ 2 π n/ aω max≃1013 1/сек(ИК спектр,соответствует энергии~7мэВ или температуреоколо 80К)Роль первой зоны Бриллюэна.u (k + 2 π/a , ja)=u 0 e i ((k+ 2 π /a ) ja−ωt )=u0 e i(k⋅ ja−ωt ) e i 2 π j =u (k , ja)В 1D k и k+2p/a описываютфизически одно колебание,так как имеют смысл толькосмещения в узлах решётки.В 3D k и k+G аналогичноописывают одно колебание.1Волновые вектора всехфизически различимыхколебаний могут бытьсобраны в первой зонеБриллюэна.0-1Сравнение "мгновенных фотографий" волн сразличными волновыми векторами: k=0.1 (синяялиния) и k=0.1+2π (красная линия).

Символамипоказаны смещения в точках дискретной решёткис единичным периодом.012345678910Цепочка с атомами двух сортовi+1iABuBiпериод2MAMBAd uj2=С ( u j−1+ u j −2 u j )2=С ( u j + u j+ 1−2 u j )dt2 Bd ujdtBABAABКолебания неоднородной цепочки 1.2MAMBAd uj2=С ( u Bj−1+ u Bj −2 u Aj )2=С ( u Aj + u Aj+ 1−2 u Bj )dtd 2 u BjdtA i (k x−ωt )Au =u 0 eBB i (k x−ωt )u =u 0 eрешение в формебегущей волныM A 2 A B −i kaA−ω u 0 =u 0 ( e + 1 )−2 u 0CMB 2 B A−ω u0 =u 0 ( 1+ e i ka )−2 u0BCуравнения должны быть линейнозависимы, мы можем изменять обеамплитуды в произвольное число раз!∣!!!здесь a — периодцепочки, расстояниемежду атомами одногосорта!!!2M Aω2−C−(1+ eika−(1+ e)−i k aM Bω2−C2∣)=0Колебания неоднородной цепочки 2.M AM BC2{4ω −2M A+ M B 2ω + 2(1−cos ka )=0C2M A+ M BC2ω=±M AM BC√√()2M A+ M BM AM B−2(1−cos ka )2CC()2}2M A+ M BC22 M A+ M Bω =C± C−2(1−cos ka )MAMBM AMBM AM Bскорость звука√√Cs=a2(M A + M B )оптическаяветвьM A + M B 2s M A+ M Bωопт (k =0)= 2C=M AM Ba √M A M Bω(k =π /a)=M B> M A√2CM A, Bакустическаяветвь√ω опт (k =0)MA= 1+ωопт (k =π/a)MBЗакон дисперсии в модели цепочки с атомами двух сортов.Вычисление для C=1, MA=1, MB=2.Колебания в центре зоны Бриллюэна.∣M A ω22−C−(1+ eika)−(1+ e−i k aM Bω2−C2∣)акустическая ветвьω=0uuA0B0=1колеблются вместе(=0ka →0M Aω2−C−22−2M ω2− BC2)оптическая ветвь√M A+ M BM AM BMA−2MB−2ω= 2C(−2−2MBMA)u0AMB=−BMAu0колеблются в противофазе, центрмасс пары неподвиженКолебания в центре зоны Бриллюэна.∣M A ω22−C−(1+ eika)−(1+ e−i k aM Bω2−C2∣)акустическая ветвьω=0uuA0B0=1колеблются вместе(=0ka →0M Aω2−C−22−2M ω2− BC2)оптическая ветвь√M A+ M BM AM BMA−2MB−2ω= 2C(−2−2MBMA)u0AMB=−BMAu0колеблются в противофазе, центрмасс пары неподвиженКолебания на границе зоны Бриллюэна.∣M A ω22−C−(1+ eika)−(1+ e−i k aM Bω2−C2∣)=0ka =π(M A ω22−C00M B ω22−C)решением системы будет нулевая амплитуда колебанийатомов одного типа и стоячая волна колебаний атомовдругого типа.

В оптической ветви колебаний на границе зоныпокоятся тяжёлые атомы, в акустической — лёгкие.Что было главного.Прямая и обратная решётка.● Связь вектора обратной решётки с условием дифракции накристалле.● Построение первой зоны Бриллюэна.● Модельные задачи о колебаниях в цепочках атомов.● Первая зона Бриллюэна как место физически различныхколебаний.●A⃗⃗k ' =⃗k+ G10-1012345678910i+1iBuBi.

Характеристики

Список файлов лекций