04_slides_2018 (1182269), страница 2
Текст из файла (страница 2)
,( N −1)NaNa NaNaблоховская волновая функцияПриближение сильной связи.1ψk =√Nψiψi+1ii+1∑ei k xjjψj1 2^H=^ + ∑ U ( x−x l )pпроверяем с гамильтонианом2mlполный базис в.ф. - однозначно параметризуется волновым вектором k1=√N∑ei k xjj[(1^H ψk =√N∑ei k xjj^ ψ(0) ( x−x j )=H])^2p+U ( x−x j ) ψ(0 ) ( x− x j )+ ∑ U ( x −x l ) ψ(0 ) ( x−x j ) =2ml≠ j1ikx=E 0 ψk +e U ( x− x l) ψ(0) ( x−x j )∑√ N j ,l ≠ jволновая функция с тем же k!jэнергия атомнойорбиталиноль без учёта перекрытия в.ф. j-огоатома с потенциалом l-ого атомаПриближение сильной связи.ψiψi+1ii+1В первом порядке теории возмущений нами угадан базис волновых функций,диоганализующий возмущение (взаимодействие электрона на атоме с«чужими» ядрами) в пределах вырожденного уровня.1i k x −i k x∗^E k =⟨ ψ k| H | ψ k ⟩= E^0+ ∑1e e i k x ∑ψx l) ψ j dx=(0)j ' U (x−^ ψ∫ ( x−xH ψNk =j , j ' ∑ e H)=jl≠ jN√j−i k Δ a∗=E 0 +2∑ eψ∑∫j +Δ U ( x−x l ) ψ j dx1^p Δikx(0 )(0 )l≠ j=e+U(x−x)ψ(x−x)+U(x−x)ψ( x−x j ) =∑∑jjl2 mΔ = j ' − j√N jl≠ j1ikx=E 0 ψk +e U ( x− x l) ψ(0) ( x−x j )∑√ N j ,l ≠ jjj[(j'j])jПриближение сильной связи.ψiПростейший случай, учёт толькоближайших соседей (D=1)ψi+1A=∑ ∫ ψ j+1 U ( x−x l ) ψ j dx∗ii+1l≠ jВ первом порядке теории возмущений нами угадан базис волновых функций,разная для разных уровнейдиоганализующий возмущение (взаимодействие электрона на атоме с«чужими» ядрами) в пределах вырожденного уровня.−i k ai kaE k =E 0 + A(e+e )∗+ 2 A cos( ka)=E0ψx l) ψ j dx=(0)∑j ' U (x−^ ψ∫ ( x−xH)=jl≠ j1i k x −i k x^E k =⟨ ψ k| H | ψ k ⟩= E^0+ ∑1e e i k xH ψNk =j , j ' ∑ eN j ∗−i k Δ√a=E 0 +2∑ eψ j +Δ U ( x−x l ) ψ j dx∑∫1^p Δikx(0 )(0 )l≠ j=e+U(x−x)ψ(x−x)+U(x−x)ψ( x−x j ) =∑∑jjl2 mΔ = j ' − j√N jl≠ j1ikx=E 0 ψk +e U ( x− x l) ψ(0) ( x−x j )∑√ N j ,l ≠ jjj[(j'j])jii+1−i k ai kaE k =E 0 + A(e+e )=E 0 + 2 A cos( ka)разрешенные зоныψi+1запр.зонаψiзапрещеннаязонаПриближение сильной связи.Трёхмерный случай, кремнийЗонная структура.
Обобщение.●●●●●Спектр электрона в кристалле (в периодическомпотенциале) отличается от спектра свободногоэлектрона.Состояние электрона характеризуется квазиимпульсом,который может быть приведён в первую зонуБриллюэна.В первой зоне Бриллюэна спектр состоит из многихветвей, включает разрешённые и запрещённые зоны.Вид ветвей E(k) определяется потенциалом и можетиметь весьма произвольный вид, ширина запрещённыхзон может (иногда) зануляться, разрешённые зоны могутперекрываться.На границе зоны Бриллюэна групповая скоростьобращается в ноль.Качественные соображения о происхождениизапрещённых зон на границе зон Бриллюэна.22|y| µsin (px/a)стоячая волнаSIN(X)yµsin (px/a)2стоячая волнаCOS(X)разная кулоновскаяэнергия взаимодействияс ионами2|y| µcos (px/a)yµcos (px/a)0периодическийпотенциал U(x)-3-2-10x/a1233-я з.
Бр2-ая з. Бр2-ая з. Бр3-я з. Бр1-ая з. БрСхемы зоннойструктуры.Представленияэквивалентны,в разных задачахоказываются удобнымиразные представления.В приведенной ипериодической зонныхсхемах номер разрешеннойзоны — дополнительноеквантовое число!Из книги КиттеляЗаполнение разрешённых зон электронами и связьзонной структуры со свойствами кристалла.3на электронное состояние:(2 π)Vобъём 1 з.Бр.33(2 π)(2 π)V ⃗k =( a⃗ ⋅[ ⃗b ×⃗c ])==V ⃗r( ⃗a⋅[ ⃗b ×⃗c ])∗Число электронныхсостояний в зонеБриллюэнаспин ½!∗∗V2 =2N ячV ⃗rчислоячеекЗаполнение разрешённых зон электронами и связьзонной структуры со свойствами кристалла.Число электронныхV=2N ячсостояний в зоне 2V ⃗rБриллюэнаспин ½!числоячеекперекрытиезон...>2e/яч.2e/яч.Варианты заполнения электронных состояний (схематически).
Занятые состояния показаны штриховкой. (а) Случай полностью заполненной зоны,диэлектрик. (б) Случай перекрывающихся зон, металл или полуметалл. (в) Случай частичного заполнения последней зоны, металл. Из книги КиттеляЗаполнение разрешённых зон электронами и связьзонной структуры со свойствами кристалла.3на электронное состояние:(2 π)Vобъём 1 з.Бр.диэлектрик33(2 π)(2 π)V ⃗k =( a⃗ ⋅[ ⃗b ×⃗c ])==V ⃗r( ⃗a⋅[ ⃗b ×⃗c ])∗∗полуметалл∗металлслабое воздействие (температура, электрическоеполе) может только перераспределить электронывблизи от уровня ФермиПолностью заполненные энергетические зоныВариантызаполнения электронных(схематически).
Занятыесостояния показаны штриховкой. (а) Случай полностью заполненной зоны,«выключены»изсостоянийвсех физическихявлений!диэлектрик. (б) Случай перекрывающихся зон, металл или полуметалл. (в) Случай частичного заполнения последней зоны, металл. Из книги КиттеляПостроение поверхности Ферми для металла. Модельсвободных электронов.Электроновна ячейку:43-я з.Б.22-я з.Б.1-я з.Б.2πa1Слева: обратная решётка для двумерной квадратной решётки ипостроение нескольких первых зон Бриллюэна.
Справа:фрагмент обратной решётки и окружности радиуса для случаяодного, двух и четырёх электронов на элементарную ячейку.2D:k F =√ 2 π n= √2π NaПостроение поверхности Ферми для металла. Модельсвободных электронов.N=1N=2N=41-я з.Б.2-я з.Б.3-я з.Б.Поверхность Ферми для свободных электронов в схеме приведённых зон для двумерной простойквадратной решётки для разного числа электронов на элементарную ячейку.
Заливкой показаны занятыесостояния.Построение поверхности Ферми для металла. Модельсвободных электронов.2-я з.Б.3-я з.Б.Поверхность Ферми в модели свободныхэлектронов в представлении периодическойзонной схемы для второй и третьей зонБриллюэна в модели двумерной простойквадратной решётки с четырьмя электронами наэлементарную ячейку.
Стрелки показываютнаправление роста энергии. Заливкой показанызанятые состояния.Примеры поверхностей Ферми. Щелочные металлы.Ферми-поверхности лития (слева) и калия (справа). Тонкими линиями показаны границы первой зоны Бриллюэна.http://www.phys.ufl.edu/fermisurface/Один электрон.Малый ионный радиус, малый период решётки,большой бриллюэновский импульсПочти сферическиеферми-поверхности(кроме Cs)Примеры ферми-поверхностей. Cu, Au, Ag.Слева: Модель ферми-поверхности меди из музеяКавендишской лаборатории.
Стеклянный многогранникпоказывает границы первой зоны Бриллюэна. Справа:соединение ферми-поверхностей в периодической зоннойсхеме. Модель из музея Кавендишской лаборатории.http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/camphy/museum/area7/tour.htmПримеры ферми-поверхности.
Висмут (полуметалл).электроннаяф.п.EFдырочнаяф.п.Из книги КиттеляСлева: расположение электронных (зелёные) и дырочных(красные) фрагментов ферми-поверхности в висмуте. Справа:вид электронных и дырочного "карманов" после трансляциисоответствующих частей на вектор обратной решётки.Zengwei Zhu, Benoît Fauqué, Yuki Fuseya, and KamranBehnia, Angle-resolved Landau spectrum of electronsand holes in bismuth, Physical Review B, 84,115137(2011)Электронные и дырочные поверхности Ферми.Эффективная масса.2ℏ2⃗ε( k )=ε0±k∗2mнекотораяэффективная масса.Может бытьанизотропна.Определяетсядеталямивзаимодействияэлектронов с решёткойи друг с другомв представлении периодическойзонной схемызаполненные«капли» в kпространствесвободные«пузыри» в kпространствеЭлектронные и дырочные поверхности Ферми.22πC= D( E F )T3важна толькоплотность состояний!ответ будет как еслибы были только этиэлектроны с ихэффективной массойУстройство «глубоких»заполненных состояний не важно!Ту же плотность состояний на EFпроще вычислить для «дырок» снекоторой эффективной массой.ℏ2ε( ⃗k )=ε0±k∗2mЭлектронные и дырочные поверхности Ферми.22πC= D( E F )T3ℏ2ε( ⃗k )=ε0±k∗2mважна только«капли» =плотность состояний!ферми-поверхностьэлектронного типа,ответ будет энергиякак еслирастёт наружубы были толькоэтиот поверхностиэлектроны с ихэффективной массой«пузыри» =ферми-поверхностьдырочного типа,Устройство «глубоких»заполненных состояний не важно!энергия растёт внутрьТу же плотность состояний на EF поверхностипроще вычислить для «дырок» снекоторой эффективной массой.Эффективная масса при произвольном заполнениизоны(динамическая эффективная масса).∗m ⃗v гр =⃗pdE⃗v гр=d ⃗pEFДля параболического спектра:21 ∂ E=∗m∂ p2|E=EF2Из книги Киттеля|1∂ E=∗mα β ∂ p α ∂ p βE = EFЭффективная масса при произвольном заполнениизоны(динамическая эффективная масса).∗m ⃗v гр=⃗pEFdND( E F )=dE[=изотропный, 3D случай|dN 1d k ℏ v грE= E F][ ]dN 1=dk dEdk=E= E FdNdkV 4 π k 2F V p2FdN=2= 2 23dk(2 π)π ℏ|E =E F=E= E F∗mℏ pFздесь используетсятолько изотропия, видспектра произволенИз книги КиттеляПлотность состояний для сложногоспектра выглядит также, как для фермигаза, но со своей эффективной массой.Ещё одна причина отличия массыносителя в металле от массы электрона.V∗D( E F )= 2 3 m p Fπ ℏОсновное на этой лекции.●●●Спектрэлектронавкристаллеопределяетсявзаимодействием с решёткой, возникает зонная структура.Свойства кристалла зависят от заполнения зон.
Полностьюзаполненные зоны (при T=0) вклада в «электроннуюфизику» не дают.Ферми-поверхность металлов в реальных кристаллах можетбыть сложной, состоять из нескольких «листов», но для всехсвойств металла важна плотность состояний на уровнеФерми — которую можно параметризовать эффективноймассой..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
