Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597)
Текст из файла
1.Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойствафункций непрерывных на отрезке.У. Пу18. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.У.УП18.Понятиефункцииппеременныхиеепредельногозначения.18. Понятиефункциип переменныхи ее предельногоМн‒вовсевозможныхупорядоченныхсовокупностей( х1, ...,значения.хт ) тфункцМн‒воупорядоченныхсовокупностейх( 1х, ...,хт т) тфунМн‒вохвсевозможныхупорядоченныхсовокупностей(пр‒вом) т f (М)фчисел, ..., хт называетсят‒мерным координатным1, ...,Ахт.т1всевозможныхтчиселхт‒мернымкоординатнымпр‒вомА.f(Мт1, ..., хт называетсячисел х1, ..., хт пр‒воназываетсят‒мернымкоординатнымпр‒вомА .
соотfКоординатноеА т называетсят‒мернымевклидовымпр‒вомКоординатноепр‒воАсоотназывается т‒мерным евклидовым пр‒вомтКоординатноепр‒воназываетсяЕдвумяАточкамиМ' (хт‒мернымд1', .... х'т) и евклидовым пр‒вом Длясот , если между ∀т1', .... х'т) иЕМ"Длят, если между ∀ двумя точками М' (ххт") координатногопр‒ваМ'А (хg(МДnЕ , (хеслимежду∀ двумя точками1", ...,1', .... х'т) ирасстояние :топределеноМ" (х1", ..., хт") ′координатногопр‒ваАопределенорасстояние:т′′′ 2′′)′′ − ′ )2 расстояние :{ f g(М(ММ" (х1", ..., (хт") ,координатногопр‒ваАопределеноg�(=−)+⋯+(1′′1′ 2′′′)′′′2{fт(,′ М= �(⋯ + (′′−в соответствие ′) 2′′− 1 )′ Е2+ставится{Если каждойточкепо { f (М�(1 1точек(, ′′) из= {М}− 1 ) т+ ⋯ + ( − ){fЕсликаждойточкеМиз{М}точекЕставитсявсоответствиепо{известномузаконунекотороеи, тоговорят, чтона мн‒ве {М} поlim→Если каждойточкеМ из {М}числоточекЕт ставитсяв соответствиеlimизвестномузаконуи, {М}то говорят,чтона мн‒ве {М} Функзаданафункцияи =некотороеинекоторое(М) или и число=числоf (М).областьзаданияизвестномузаконуи, то ‒говорят,чтона мн‒ве {М} Фуliзаданафункцияи=и(М)илии=f(М).{М}‒областьзаданияМ→Aфункциии = f (М).соответствующееМ иззадания{М} ‒Фзадана функцияи =Числои (М)и,илии = f (М).
{М} данной‒ областьМ→функциии = f (М).функцииЧисло и, всоответствующееданнойМчастныхиз {М} ‒ФункчастноезначениеМ.Совокупность{и}всехМфункции и = f (М). Число и, соответствующее данной М из {М} ‒ФучастноезначениефункциивМ.Совокупность{и}всехчастныхявляезначений= f (М) ‒ функциимножествозначенийэтой функции.частное изначениев М.Совокупность{и} всех частныхnkФзначенийf (М) ‒ множествозначенийэтой функциифункции.и = f (М) ваk)являО1. Числоиb=называетсяпредельнымзначениемяnзначений и = f (М) ‒ множество значений этой функции.аk )О1.Числоb называетсяпредельными = f (М)точкеА ( пределомфункциипри М →значениемA), если дляфункции∀ сходящейсяк А в ЕслиаО1.
Число b называется предельным значением функции и = f (М) в α(М)ЕслточкеА ( пределом функцииA), еслидля{М},∀ сходящейсяк пАпоследовательностиМ1, М2, ...,приMnМ... →точекмн‒ваэлементы МЕточке А отличны( пределомприМ → A), если дляпослед‒сть∀ сходящейсяк А limα(МкоторойотфункцииА 1(МA),соответствующаяf (ММпоследовательностиМ, Мn 2≠, ...,Mэлементы1 пn ... точек мн‒ва {М},→αпоследовательностиMn ... точекэлементы1, М2, ...,сходитсяп lim),..., f (Мпотличны), ...
значенийк b. мн‒ва {М},которойот АМфункции(Мпослед‒стьf (ММn ≠ A), соответствующая1 Спецliкоторойот Афункции(Мn ≠ A),сходитсясоответствующаяпослед‒стьb ...называетсяпредельнымзначениеми = f (М) вf (М1дельнСпе),О2....,Числоf (Мп),отличнызначенийк b. функцииС), ...,Числоf (М...длязначенийфункциисходитсяк b.п),точкеА, если∀ ε > 0 предельнымƎ δ: для всехточекМиз областиделО2.b называетсязначениемфункциизаданияи = f (М) вдО2. Числоb называетсязначениемфункциии = f (М)функции,удовлетворяющих0 <точекρ (М, МА)из< δ,выполняется| f в ФункточкеА, еслидля ∀ ε > 0 Ǝпредельнымδ:условиюдля всехобластизаданияточкееслидля всехобластизадания(М)‒ b А,| <удовлетворяющихε.
для ∀ ε > 0 Ǝ δ:функции,условию0 <точекρ (М, МА) из< δ,выполняется| f дляФу∀функции,удовлетворяющихусловию0<ρ(М,А)<δ,выполняется|flim () = или lim(1 , … , ) = Ф(М) ‒ b | < ε.→удовлдля1 →1…(М) ‒ b | < ε.lim () = или limдсоотв→ (1 , … , ) = удо1 →1→)()(=lim=илиlim,…,…→1З. О1 и O2 эквивалентны.уТ(кри1 1→соо→…Док‒во.1. Пустьb ‒ предел по О1, ноне→пределпо О2 => Ǝ ε > 0 : для предесоЗ.О1 и O2эквивалентны.Т(кскольмалогоδ Ǝ М изпообластиf (М): => Ǝ ε > 0 : для чтобЗ. О1 угоднои 1.O2Пустьэквивалентны.ТДок‒во.b ‒ пределО1, но заданияне пределпо О2пре0 < ρ угодно(М,1.А)Пусть<малогоδ, ноb |‒fδпредел(М)b по| области≥ О1,ε =>нодляδn =1/nДок‒во.не∀ пределпо :О2 => Ǝ ε > 0 : дляДок‒впскольƎ М‒ иззаданияf (М)чтоƎМ:0<ρ(М,А)<δ,но|f(М)‒b|≥ε.дляnскольугодноƎМзаданияf (М) :чε0 < пρ (М,А) < nмалогоδ, но | f δ(М)‒ bиз| ≥областиε => для∀ δn =1/nДокИз 0 < ρ (МА), А) < δ => {Мn}→AО1{ f (М )}→b =>0 <Дρ|=>≥n)ε‒по=>дляƎ0М<п ρ: 0(М,< ρ n(М<n,δ,А)но< |δ,f (М)но ‒| fb(Мb| ≥ε.
∀ δnn=1/nдляпротиворечит| f, (М) ‒δ,b но| ≥ ε| f (Мn) ‒ b| ≥ ε.| f (МƎМ< ρn,(МА)<Из0 п<: ρ0 (МА)n<δ n=>{Мn}→A=> по О1 { f (Мn )}→b =>0 д<2.Пустьb‒пределпоО2и{М}→A.Фиксируем∀ε>0,поО2b]‒[0nИз 0 < ρ (Мn, А)< δn)=>=> по О1 { f (Мn )}→b =>противоречит| f (М‒ b{М| ≥n}→Aε|fƎδ > 0: ∀ М из |областизаданияf (М) : 0 < ρ (М, А) < δ выполня-ется | ≤ | f |((противоречитf(М)‒b|≥εn2.Пустьb| <‒ ε.пределпо}→A,О2 и то{Мдляb] ‒n}→A.
Фиксируем ∀ ε > 0, по О2f2.(М)‒bТ.к.{МэтогоδнайдетсяN:условnbМ‒изпределпо О2и {Мnf}→A.0, по О2Ǝ0 δ<Пусть>ρ 0:областизадания(М) :Фиксируем0 < ρ (М, А) ∀< εδ >выполня-ется| Дост≤ b|(М∀n , А) < δ при n ≥ N => | f (Мn ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (Мn )Ǝ(М)δ >‒0:b ∀областизадания(М) : δ0 найдется< ρ (М, А)N:< δ выполня-ется | усл≤f}→b.| <Мε.изТ.к.{Мn}→A,то дляf этого{Мn}f<(М)‒ bn ,| А)< ε.< Т.к.у0О3.ρЧисло(Мδ при{Мn n≥}→A,N =>то| fдля(Мnэтого)значением‒ b |δ<найдетсяε приn ≥N:N =>f (Мn )Досb называетсяпредельнымфункциии=f{(М)соотв0 < ρ (М , А) < δ при n ≥ N => | f (Мn ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (Мn )Д}→b.{Мпри М →n∞, если для ∀ ε > 0 Ǝ а > 0: длявсех М из области заданияδ выб}→b.{{О3.Числоудовлетворяющихb называется предельными=f (М)соофункции,условию ρзначением(O, М ) > а,функциивыполняетсят.к.0 < ρ (М, А) < δ, но | f (М) ‒ b | ≥ ε => для ∀ δn =1/nƎМп :: 00 << ρρ (М(Мn,, А)< δ, но | f (Мn) ‒ b| ≥ ε.ƎМпn А) < δ, но | f (Мn) ‒ b| ≥ ε.Из 0 < ρ (М , А) < δ => {М }→A => по О1 { f (М )}→b =>Из 0 < ρ (Мnn, А) < δ => {Мnn}→A => по О1 { f (Мn n )}→b =>противоречит | f (М ) ‒ b | ≥ εпротиворечит | f (Мnn) ‒ b | ≥ ε2.
Пусть b ‒ предел по О2 и {М }→A. Фиксируем ∀ ε > 0, по О22. Пусть b ‒ предел по О2 и {Мnn}→A. Фиксируем ∀ ε > 0, по О2Ǝ δ > 0: ∀ М из области задания f (М) : 0 < ρ (М, А) < δ выполня-ется |Ǝf (М)δ > ‒0:b∀| Миз области задания f (М) : 0 < ρ (М, А) < δ выполня-ется |< ε.
Т.к. {Мn}→A, то для этого δ найдется N:f0(М){Мnn}→A,то| дляδ найдется N:< ρ ‒(Мbn|, <А)ε.<Т.к.δ при≥ N =>f (Мэтогоn ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (Мn )0}→b.< ρ (Мn , А) < δ при n ≥ N => | f (Мn ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (Мn )}→b.О3. Число b называется предельным значением функции и=f (М)О3.b называетсяпредельнымзначением(М)при ЧислоМ → ∞,если для ∀ ε >0 Ǝ а > 0: длявсех М изфункцииобластии=fзаданияприМ → ∞,если для ∀ ε > 0условиюƎ а > 0: ρдляМа,извыполняетсяобласти заданияфункции,удовлетворяющих(O,всехМ)>функции,удовлетворяющихнеравенство| f (М) ‒ b | < ε.
условию ρ (O, М ) > а, выполняетсянеравенство | f (М) ‒ b | < ε.Ддляд0<0|f|b]b≤|≤услуДоД{М{сооδ свδт.к0 т<| f0|f (МfВо{Вf(М{по(Мb п=b{ f→(Мn )�± g(М) }→b{ f(М}→b · c,н‒ве {М}()n +(±)�c, =+n) · иg(Мдр.n )утверждения.мн‒ве{М} lim→{ f (Мn ) /иg(М}→b/ c. В силубесконечнопроизвольности{Мвn}:называетсямалойточкеА (прииятствиепо ФункцияФункцияи==f n(М)f)(М)называетсябесконечномалойв точкеА (приния()М→A),еслиlim=0()()lim�+�=+идр.утверждения.М}‒→ ( ) = 0мн‒ве→ если lim{М}‒ {М} М→A),n1→Функцияf(М)=(хназывается+…бесконечно+ (хт ‒ ат)nm, где п1>0,...,Апm>0,тныхФункцияи=f(М)в точке(при1 ‒ а1) n1анияФункцияfфункции(М) = (хf1 (М)‒ а1)и g+…+имеют(хт ‒ атмалой)nm,пределыгдеп1>0,...,пm>0,тныхУ.Пусть(М)вАbис.Тогдачения.являетсябесконечномалойвA(а,...,а),т.к.каждаяf(x)=(х ‒()М→A),еслиlim=01тk{М}‒→является(а1, ...,f а(М)каждая f (xk) =k (хk ‒хт ) тфункцииfбесконечно(М) + g (М),малойf n1(М) в‒ gA(М),g (М),nkт), ·т.к.nmаfФункция) nkявляетсямалой=т вf (М)бесконечно= (х1 ‒ваА1) пределы+… +в(хх(частное‒ а ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
