Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Если S11 и s11 ‒ верхняя и нижняя суммы разбиения1 Т1, то1 S1 ‒1 s1 ≤ S Обозначим=прохОбозначим=6°.Пустьf(х)интегрируеманасегментах[а,c]и[c,b].Тогдаf(х)−‒iΔхi >0 в выражении S1 ‒ s1 = Σ ωiΔхi будет‒ s,s, т.к.т.к. каждоекаждоеслагаемоеслагаемоеωωiΔхi >0 в выражении S1 ‒ s1 = Σ ωiΔхi будет Если f (х) непрерытакжеслагаемымвввыра-жениидляS1S‒ s‒1 s< ε<=>f (х)интегрируема[а, b], причемЕсли f (х)значнепртакжеслагаемымнавыра-жениидляS S‒ ‒s=>s=>ε =>f (х)11f(q)=М(по2‒йтеф1‒йинтегрируема на [c, d].f (q) = М (по 2‒интегрируема на [c, d].прохождении непре6°. Пусть f (х) интегрируемана сегментах[а,+c]и [c,b].f (х)(b].)Тогда� ( ) =( ) прохождении н6°. Пусть f (х) интегрируемана�сегментах[а, �c]и [c,Тогда()f (х)значение Ǝ ξ ∈ [p, qинтегрируема на [а, b], причемзначение Ǝ ξ ∈интегрируема на [а, b], причем1‒й формулы средн1)а < с < b.

f (х) интегрируемана[а,c]и[c,b]=>Ǝтакиеразбиения1‒й формулы с� ( ) = � ( ) + � ( ) ()1‒я фэтих сегментов,чтоS‒s<ε/2длякаждогоизних.Объединяяэти�� ( ) +� ( ) ()� ( ) = (х)и1)а< с < b. f (х)на [а, c] и [c,Ǝ такиеразбиенияразбиения,мы интегрируемаполучим разбиение[а,b]b],=>длякоторогоS ‒ s < ε => f1‒яформуласредн1)а <сегментов,с < b. f (х)чтоинтегрируемана[а, c] ииз[c,них.b] =>Ǝ такие разбиенияb]. ПэтихS ‒наs <длякаждогоОбъединяя(х) интегрируема[а,ε/2b].Будемвключатьточкус вэтичисло делящих1‒яформулас(х)иg(х)интегрирэтих сегментов,что S ‒ разбиениеs < ε/2 для[а,каждогоних. Объединяяэтиfразбиения,мы получимb], для изкоторогоS ‒ s < ε =>точек примы∀ разбиении[а, b]=>[а,интегральнаясумманаПусть[а, иb]g(х)(х)интеg(х)М,≥ 0чт(разбиения,получимразбиениеb], длякоторогоS ‒делящихs для< ε =>f(х)f b].(х)интегрируемана [а, b].Будем включатьточкус в числоb].Пустьg(х)равнасуммеинтегральныхсуммдля этойфункции[а,b]c] и М,[c,чтоb] ∫ (Если(х)интегрируемана [а,[а,b].Будемвключатьточкус в числоделящих) (точекпри∀ разбиенииb]=>интегральнаясуммадляf(х) нана[а,=>впределеполучим(5).М,что∫ ( )точек суммепри ∀ разбиении[а, суммb]=> интегральнаясуммаравнаинтегральныхдля этой функциина для[а, c] f(х)и [c, наb] [а, b] Если f (х) непрерыв()=>впределеполучим(5).сегментаравнасуммеинтегральныхсумм дляфункциина[а,[а, b]c] иесть[c, b]часть Если2)точкас лежитвне[а,этойb] =>сегмент f (х) непре()()b].∫ (2)точкас лежитсегментасегментb] естьчасть=>впределе(5).b] [а,сегмента[а,получимc]внеили[c,=>b]по=>св‒ву5°[а,f (х)интегрируемана [а,Если ∫ () ()сегмента[а,c]или[c,b]=>посв‒ву5°f(х)интегрируемана[а,b].2)точкаслежитвнесегмента[а,b]=>сегмент[а,b]естьчасть()Если=∫Пусть а < b < с.

ТогдаПустьа < [а,b <c]с. илиТогдаμмосегмента[c,b]=>посв‒ву5°f(х)интегрируемана[а,b].Если ∫взять(∀) чиμ можноПусть а < b < с. Тогда( +) � ( ) (= )�( )) � ��+(�(=) нераμ можно(9)взятьнеравенствна ∫∀) � получим�( ) ==>2° получим(5).+Дляс (Для<а) <сb <аналогично.=>попосв-вусв-ву2°(5).а�<b(аналогично.неравенств(н∫ (9) ≤ ∫∫ ≤ Оценкиинтегралов.Оценкиинтегралов.=>по св-ву2° получим (5). Для с < а < b аналогично.1°.Пустьинтегрируемаяна [а, наb] функцияf (х) ≥ 0 на[а, b]1° . Пустьинтегрируемая[а, b] функцияf (х)≥ 0=>на [а, b] =>=>получим (12).Оценкиинтегралов.=> п1° . Пусть интегрируемая �на [а,функцияf (х) ≥ 0 на [а, b] =>(b]) ≥0Если f (х) непреры()=>получим(12�≥0ЕслиƎξ∈[а,b]:f(ξ)=μ� интегр.() сумм≥ 0 = ∫ () ≥ 0 .Еслиf(х)неп∀ интегр.

сумма ≥ 0 => пределξ∈2‒я формула Ǝсредн[а, b]:2‒яf(ξф∀ .интегр.≥ 0 => напредел0 .Ǝ ξ ∈ g(х)З1Если f (х)суммаинтегрируема[а, b] иинтегр.f (х) ≥ т,суммто = ∫ ( ) ≥функциямонот∀ интегр. сумма ≥ 0 => предел интегр. сумм = ∫ ( ) ≥ 0 .З1 . Если f (х) интегрируемана[а,b]и f (х) ≥ т, то(иf −� ( )на[а,≥ b]З1 . Если f (х) интегрируема(х))≥. т, то 2‒я формуласфунк( ) м(� g(х)функция(b]� )≥=>). ≥ 0 => по([а,)(())−� на∫(≥[−. −f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема]св.3°: ∫ ( ) ≥ ∫ = ∫ f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а, b] − )= (( ) −≥]=>b][(∫) −0 => поf (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а,[]≥ 0 => по∫ =>св.3°:≥ ∫≥ = ∫ =( − )) св.3°:∫∫(() ∫ = ∫ = ( − )� (� ( ) ≥ 0� ( ) ≥ ( − ).f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => ∫ [( ) − ] ≥ 0 => посв.3°: ∫ ( ) ≥ ∫ = ∫ = ( − )и∀ интегр. сумма ≥ 0 => предел интегр.

сумм = ∫ ( ) ≥ 0 .З1 . Если f (х) интегрируема на [а, b] и f (х) ≥ т, то2°. Если f (х) непрерывна, неотрицательна и ≢ 0 на [а, b], то� ( ) ≥ > 0 ()()(х),чем()а, b]:х' и х" ‒), g (х) на+ие Т :оже:tсуема на ∀ение Т [а,‒ва 2°f (х) неотрицательна и ≢ 0 => на [а, b] Ǝ ξ: f (ξ) = 2k > 0 => потеореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝ [р, q],ξ ∈ [р, q] и в пределах [р, q] f (х) ≥ k > 0 => по З1:∫ ( ) ≥ ( − ) > 0. По св‒ву 6°� ( ) = � ( ) + � ( ) + � ( ) ∫ ( ) => т.к. f (х) ≥0 и≥ с > 0, где = ( − ) получаем (6)3°.

Если f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и f (х) ≥ g(х) на [а, b], то� ( ) ≥ � ( ) ()Функция f (х) ‒ g(х) ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => (7) по св‒ву 1° З2.Если f (х) интегрируема на [а, b], то | f (х)| также интегрируема на[а, b], причем�� ( ) � ≤ � |( )| ()Пусть Мi и mi ‒ точные грани f (x), Мi' и mi' ‒ точные грани | f (x)| на[хi‒1, хi]. Легко убедиться, что Мi' ‒ mi' ≤ Мi ‒ mi (рассмотреть cлучаи:1) Мi , mi ≥ 0, 2) Мi , mi ≤ 0, 3) Мi >0, mi ≤ 0 ) => S1 ‒ s1 ≤ S ‒ s => еслидля некоторого разбиенияS ‒ s < ε, то для него S1 ‒ s1 < ε => |f(x) | интегрируема.‒| f (х)| ≤ f (х) ≤ | f (х))| =>− ∫ |( )| ≤ ∫ ( ) ≤≤ ∫ |( )| => (8)4°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и g (х) ≥ 0.

Тогда, еслиМ и т ‒ точные грани f (х) на [а, b], то: � ( ) ≤ � ( ) ( ) ≤ � ( ) ()=> из того, что для ∀ х ∈ [а, b] : т g (х) ≤ f (х) g (х) ≤ М g(х) и оценки3° и св-ва 4°.1‒я формула среднего значения. Пусть f (х) интегрируема на[а, b] и пусть т и М ‒ точные грани f (х) на [а, b]. Тогда Ǝ μ, где=> поЕслиƎξ∈2‒я ффункцS1 ‒ s1[c,≤SментабудетSΔх1 ‒i s1 ≤ SΔхi будетiх)(х)же:f (х)дада f (х)сема на ∀разбиенияразбиенияяяниеэтиТ [а,яя εэти<=>fва 2°< ε => fделящихпутем)делящихна [а, b])и [c,на [а, b]тво S b]‒s<и [c, b]ента [c,Sсть1 ‒ s1 ≤ SстьаΔх[а,b].i будета [а, b].х)да f (х)b]b] =>=>разбиенияяя эти< ε => fделящих≥≥ 00 .) на [а, b]и [c, b]сть0а=>=>[а, поb].b] =>≥0.S)‒≤s <∫ε,тоS1 ‒−(s<ε =>| интегрируема.( )для≤ 1()1)Обозначим=него=>|f(x)получим(10).∫−‒| f (х)| ≤ f (х) ≤ | f (х))| =>1) Обозначим= ∫ (на(10).Если[а,=>b],получим∈[а, b], что f (p) = m и f (х) непрерывнато Ǝ р, q−|()||()|()−≤≤≤∫∫∫ =f (х) Ǝ р, q ∈[а,f (q)М (по2‒й теоремеВейерштрасса)=>=>по(8)теоремеЕслинепрерывнана [а,b], тоb],чтоf (p) =о m и4°.Пустьf(х)иg(х)интегрируемына[а,b]иg(х)≥0.

оТогда, еслипрохождениинепрерывнойфункции черезлюбоепромежуточноеf (q) = М (по 2‒йтеореме Вейерштрасса)=> потеоремеМи т ‒ точныеграниf (х) ∈на[а,b])b],: то:прохождениифункциичереззначениеƎ ξ непрерывной∈ [p,q] (=>ξ[а,f (ξ) =любоеμ =>промежуточное(10) примет видзначение∈[а,(ξ)≤= μ �=> (10)вид1‒й формулысреднегозначения:( )b])(: )f( ) примет�Ǝ�ξ ∈([p, ) q](=>ξ≤()1‒й формулы среднего значения:()()()�≥−=> из того, что для ∀ х ∈ [а, b] : т g (х) ≤ f (х) g (х)()≤ М g(х) и оценки()()()�≥−()3° и св-ва 4°.1‒я формула среднегозначения в обобщенной форме (13).

Пусть f1‒яформуласреднегозначения.f (х) интегрируема1‒яформуласреднего значениявПустьобобщеннойформеграни(13). наПусть(х)иg(х)интегрируемына[а,b]итиМ‒точныеf (х) наf [а,[а,b]ипустьтиМ‒точныеграниf(х)на[а,b].ТогдаƎμ,где(х)и g(х) интегрируемына [а,b] наи твсеми М ‒[а,точныеграниb].

Пустьg(х) ≥ 0 (или g(x)≤ 0)b]. ТогдаƎ μ,f (х)где нат[а,≤μ≤()()т≤μ≤М,что≥−()b]. Пусть g(х)∫≥ 0 (или g(x) ≤ 0)на всем [а, b]. Тогда Ǝ μ, где т ≤ μ ≤М, что ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ()М,(9)что(=) ∫ ( )что ∫()∫ ( )g(x)Вположим1 и=учитывая,1 = ( − ) => ( −Если f(х) непрерывна на [а, b], то Ǝ ξ ∈ [а, b]: ∫ ( ) ( ) =Еслиf (х)на−[а,)b], то Ǝ ξ ∈ [а, b]: ∫ ( ) ( ) =)≤∫ ) ≤ ( (непрерывна() ∫ ( ) 1 ()() ∫( )Обозначим= −()(10).∫ ( ) => получимЕсли ∫f(х)( ) = 0 =>в [а,силу(9),∫ ( ) (b], ) =f (p)0 =>mвикачествеЕслиb],) = 0 =>нав силу(9),то∫Ǝ р,(q)∈[а,( )что= 0 => в= качестве∫ (непрерывна∫ ( ) =>f (q)= М (по2‒й∀ теоремеВейерштрасса)потеоремеоμможновзятьчисло.Если0 =>разделивчастиμ можно взять ∀ число.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)