Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мон(х') | < ε.сегмент = = . Докажем, что число I является пределом интегральныхТ1. Непрерывная на [а, b] f (х) равномерно непрерывна на [а, b] Док‒во..сумм f (х). По лемме Дарбу это число I ‒ общий предел при Δ→0Сл. Пустьf (х) непрерывнанаε [а,.ТогдаƎ δи>S0:‒ между fверхнихи нижнихсумм => для ∀>0 b]Ǝ δ:при Δдля< δ:∀εI ‒>s 0< ε/2∀ [c,d]при∈ [а,‒ m < ε Т:(Мsи m теорему‒Iна< ε/2,т. е.Δ<b]:δ, Sd ‒‒ sс<<ε,δ,и колебаниеs ≤ I ≤ S. Дляf (х)∀ I{ωхi,=ξiМ} данногоразобьем≤точныеI{ хi, ξi }грани≤ S.
f (х) на сегменте [c, d]).Т2.f (х)междубыла числамиинтегри‒руемойТ.о.,Чтобыпри Δ < ограниченнаяδ обе величинынаI и[а,I{ хb]} заключеныs (a)) и т.кi, ξiфункцияинаS,[а,разностьмежду которымименьше ε =>при Δдля< δ:∀ ε > 0b], необходимои достаточно,чтобыƎ|разбиениеI{ хi, ξi } ‒ IТ|<сегментаε => числопределинтегральных[а,I естьb], длякоторогоS ‒ s ≤сумм.ε.Инаяформанеобх.идостаточногоусловияинтегрируемости.Т3. Непрерывная на [а, b] функция f (х) интегрируема на [а, b] .Пусть Мi и mi ‒ точные грани функции f (х) на сегменте [хi‒1, хi].Док‒во.
Пусть дано ∀ ε > 0. В силу равномерной непрерывностиЧисло ωi = Мi ‒ mi ≥ 0 ‒ колебание функции f (х) на [хi‒1, хi].f (х) на [а, b] для ε /(b ‒ а)>0 Ǝ δ >0, что при разбиенииТ[а,b], хi], длиныΔхi < δ,− на= частичные� ∆ −сегменты� ∆ [х=i‒1�(− )∆которых = � ∆ колебание=1f (х) на ∀[х=1i‒1, хi] ωi = Мi ‒ mi < ε /(b ‒ а) (по=1=1 следствию изКаждоепоследней сумменеотрицательно.Т1) => слагаемоедля такихв разбиенийТЧтобы f (х) была интегрируемой на [а, b], необходимои достаточно,чтобы для ∀ ε > 0 нашлось− = такое� разбиение∆ < Т сегмента� ∆ [а,= b], для−которого ∑=1 ∆ ≤ =1=1=> по Т2 f (х) интегрируема.Т4.
Если функция f (х) определена и ограничена на [а, b] и если для ∀ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих всеточки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньшеε, то f (х) интегрируема на [а, b].Док‒во. Пусть дано ∀ ε > 0. Покроем точки разрыва f (х) конечнымел I ‒ми а = х0рхней иS.{s} нижи нижнийрани => Ǝи Т"венство изву ( Пустьт f (х) по→0.ируемой нась такоепределразбие-нияегментах − = � ∆ <=1� ∆ = −=1=> по Т2 f (х) интегрируема.Т4. Если функция f (х) определена и ограничена на [а, b] и если для ∀ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих всеточки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньшеε, то f (х) интегрируема на [а, b].Док‒во.
Пусть дано ∀ ε > 0. Покроем точки разрыва f (х) конечнымчислом интервалов, сумма длин которых меньше ε /2(М ‒ т),M и m ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [а, b]. Точки сегмента, не принадлежащиеуказанным интервалам, образуют множество, состоящее из конечногочисла непересекающихся сегментов. На каждом из них f (х)непрерывна => равномерно непрерывна. Разобьем каждый такойсегмент так, чтобы колебание f (х) на ∀ частичном сегментеразбиения ωi < ε /2(b ‒ а). Объединяя эти разбиения и интервалы,покрывающие точки разрыва функции f (х), мы получим разбиение Твсего [а, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы − =∑=1 ∆ разделяются на две группы: 1)все слагаемые,отвечающие частям разбиения Т, образованным из интервалов,покрывающих точки разрыва, их колебанияωi = Мi ‒ mi ≤ M ‒ m =>� ∆ ≤ ( − ) � ∆ < ( − )=2 ( − ) 2112) остальные слагаемые: ωi < ε/2(b ‒ а) =>� ∆ ≤� ∆ <( − ) =2 ( − ) 22( − )22ожноε) дляхi, ξi'' } ‒о условиюльности ε:льныхΔ→0< ε/2 и S ‒нного Т: sу числами s − = � ∆ = � ∆ + � ∆ < 1=12=> по Т1 f (х) интегрируема.Сл.
Ограниченная на [а, b] функция f (х), имеющая лишь конечноечисло точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. Вчастности, кусочно непрерывная на данном сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.Если р ‒ число точек разрыва, то достаточно покрыть каждую точкуразрыва интервалом длины ε/2рТ5. Монотонная на [а, b] функция f (х) интегрируема на этомсегменте.Док‒во. Если функция монотонна на [а, b], то ее значения заключенымежду f (a) и f (b) =>функция ограничена на этом сегменте. Докажемтеорему для неубывающей на [а, b] функции f (х) . Зададим ∀ε > 0 иразобьем [а, b] на равные части, длины которых меньше ε /(f (b) ‒ f(a)) и т.к. для неубывающей f (x):хi, ξi'' } ‒о условиюльности ε:льныхΔ→0< ε/2 и S ‒нного Т: sу числами sм.мости.‒1, хi]..� ∆ =1статочно,b], длячастности, кусочно непрерывная на данном сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.Если р ‒ число точек разрыва, то достаточно покрыть каждую точкуразрыва интервалом длины ε/2рТ5.
Монотонная на [а, b] функция f (х) интегрируема на этомсегменте.Док‒во. Если функция монотонна на [а, b], то ее значения заключенымежду f (a) и f (b) =>функция ограничена на этом сегменте. Докажемтеорему для неубывающей на [а, b] функции f (х) . Зададим ∀ε > 0 иразобьем [а, b] на равные части, длины которых меньше ε /(f (b) ‒ f(a)) и т.к.
для неубывающей f (x):� = () − () =>=1=1=1 − = � ∆ <� = ()()−7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки7.Основныеопределенногоинтеграла.ОценкиОценкиинтегралов.Формулысреднего значения.7.Основные свойствасвойстваопределенногоинтеграла.интегралов.Формулы среднегосреднего значения.значения.интегралов.1°. ∫ ( )Формулы=0()2°.∫ ( ) = −∫ ( )()()()()1°.=0()2°.=−()∫∫∫( )[а,)+ g (х),1°.2°. ∫ на b].=−() ( )∫(f(х)3°. ∫Пустьf (х)=и0g(х) ()интегрируемыТогда3°.Пустьf(х)иg(х)интегрируемына[а,b].Тогдаf(х)+g(х),3°.fПусть(х) ии fg(х)на [а, b].
Тогда(х)b],+ gпричем(х),(х) ‒ gf(х)(х) gинтегрируемы(х) также интегрируемына f[а,ff (х)‒g(х)иf(х)g(х)такжеинтегрируемына[а,b],причем и f (х) g (х) также интегрируемы b], причем(х) ‒ g (х)на [а,� [( ) ± ( )] = � ( ) ± � ( ) ()�� (())(())]] ==�±±�� (()) ()()�[[(()) ±±Док‒во. При∀ разбиении [а, b] и ∀ выборе точек ξi для:Док‒во.При∀[а, b]b] ии ∀∀ выборевыбореточекξξi iдля:для:Док‒во. При ∀ разбиенииразбиении [а,точек)]Δ=)Δ±( )Δ�[(() ) ± ( ()]Δ� (Δ� =�±�[�( )Δ� (())Δ ± ]Δ = ± � ( ) Δ =1=1=1=1=1=1=1=1=1т.к.Ǝпределправойчасти,тоƎпределлевойчасти===>>>т.к.Ǝпределправойчасти,тоƎпределлевойчасти=>=>т.к. Ǝчасти, то Ǝ предел левой части=>(х)±±±ggg(х)(х)интегрируемаинтегрируемаииивернаверна(3).fff(х)верна(3).(х)(3).(х)иииggg(х)(х)интегрируемыинтегрируемынаониограниченыограниченына[а,fff(х)нана[а,[а,[а,b]b]=>=>ониограниченына[а,[а,b]:b]:b]:(х)(х)b]=>онинаf(х)|≤АААии| |g(х)|≤g(х)|≤В.В.ПустьПустьТТТ‒‒ ‒∀∀∀заданноеразбиениеи‒х"|||f(х)|≤заданноеразбиение[а,[а,b],b],их"х"‒ ‒f(х)|≤заданноеразбиение[а,b],х'х'их'произвольныеточкиточки[х[х]=>=>f (х")g(х")f (х')g(х')произвольные, хх, ii]х] i=>ff (х")g(х")‒‒f‒g(х')== =произвольные(х")g(х")f(х')(х')g(х')i‒1i‒1i‒1=[[[fff(х")(х")‒‒f(х')]f(х')]g(х")+[g(х")+[g(х")g(х")‒‒ ‒g(х')]g(х')]f (х')(х")ff (х')==g(х")g(х')](х')11 1Т.к.к.|||fff(х")(х")g(х")g(х")‒‒f f(х')(х')g(х')g(х')|| ≤≤| ≤ωωiω, | (х")f (х")‒f(х')f(х')|≤Т.к.(х")‒‒f(х')|≤|≤ωТ.g(х')ω,i ,i i,ωi,, i || ff (х")211 1 22 22g(х")‒‒‒g(х')|g(х')|≤≤ωωi i, ,гдегдеωω, iω, iω‒колебанияколебанияf (х)g (х),f (х),g (х)g(х")g(х')|f f(х)gg(х),f f(х),gg(х)нананаi‒ колебания|||g(х")ωω(х)(х),(х),(х)ii, iωi ,,i ωi ‒11 122 2 11 1∑∑=1[х=>∑ ∆[хi‒1=>ωωii ≤Bωii i ++AωAω=>∑∆∆+ +∑=1∑=1i‒1ii i=>i‒1,,,хххi ≤Bω[х=>∆∆≤≤ + ≤=1ii]]i]=>∆=1=12∑2 2∆∆ ∑=1∑=1=1(х)(х)интегрируемыb]=>для∀ε>>0>ТТ: :Т :(х) иииggg(х)(х)интегрируемыинтегрируемынадля0разбиениеƎразбиениеfff(х)нана[а,[а,[а,b]b]=>=>для∀ε∀ε0ƎƎразбиение 122 21 1 <�и�∆< ∆�∆<и�∆<�∆<и�∆< 22222 =1 2=1=1=1=1=1= => ∆ < +=>дляэтогоТ:Т: −=1∑∑=>−− ===∑<22== =>=>длядляэтогоэтогоТ:22++ => ∆ ∆=1 <=122fff(х)(х)g(х)‒интегрируемаяфункция(х)g(х)g(х)‒‒интегрируемаяинтегрируемаяфункцияфункция4°.Еслиf(х)интегрируема4°.
Если f (х) интегрируема нана [а,[а, b],b], тото ссff(х)(х) (с(с==const)const)тоже:тоже:4°. Если f (х) интегрируемана [а, b], то с f (х) (с = const) тоже:(())�= с � (())()��ссс()==с �) ()с� (()Т.к. интегральные суммы f (х) и с f (х) отличаются на const с2°. Если f (2°.Еслиf (х)f (х)не2°. Еслиf (х) неотриf (х)неотрицатенеотрицаf (х)теоремеобтеоремеобобустоустеоремеξ ∈ [р, q] ивпq]q]ξ ξ∈∈[р,[р,иив) пре(∫) ≥≥∫∫(() ���(()=>f (х)=>т.к.т.к.т.к.f (х)=>f (х)≥0≥0и3°.Еслиf(х3°.ЕслиЕслиf (х)f (х)и gи3°.ФункцияФункцияf (х)‒f (Функцияf (х)Еслиfинте(х)иЕслиf (х)Еслиf (х)инт[а,b],прич[а,[а,b],b],причемпричемПустьММ‒iПустьi иi МПустьиmiimи[х[х,[хх,i‒1хЛегкоi‒1i‒1i].хi,].Легкоi].
Леу1)1)М1)mi ,i Мii ≥,i m≥М,m≥0,i0,2)длянекоторогонекотордлядлянекоторогS S‒ ‒sS<ε,тотоs‒<s ε,<длε,длято )| ||(−−∫∫−(| )|( )|∫ 4°.f (х)4°.ПустьПустьf (х4°.ПустьММи итт‒ ‒точныеточныМ и т ‒ то��( �� 1 ∆ < и �∆ <( )2�2 ∆(<)2� ��с и = < ∆ с=1=122=> для этого Т: =1− = ∑ ∆ =1< + ()= =>дляSнекоторогораз‒ s < ε, то дляS ‒ s < ε, то для нег и с f 2=1 ∆Т.к.на const с2∑=1=>дляинтегральныеэтого Т: − =суммы < (х)+ отличаются= => f (х) ∫ | ( )| 22−ff 5°.(х)g(х)‒интегрируемаяфункция|( )| =>−∫≤и∫Пустьf (х) интегрируемана(х) g(х)‒ интегрируемаяфункция на [а, b].Тогда f (х) интегрируема ∀4°.Пустьf(х)4°.Еслиf(х)интегрируемана[а,b],тосf(х)(с=const)тоже:4°. Пусть f (х)3°ииg4°.(х) b].интегрируемана [а, b], то[c,Еслиd] ∈ f[а, с f (х) (с = const) тоже:‒ точныеМ иМти‒тточныегра1‒я фДок‒во.
f (х) интегрируемана[а,b]=>для∀ε>0ƎразбиениеТ[а,()()��с=с()� с( ) = с � ( )()(�(b], что S ‒ s ≤ ε. Добавимк точкамТ точки с и d. В силу св‒ва 2°)b �[а,Т.к.интегральныесуммыf(х)исf(х)отличаютсянаconstсТ.к.интегральныесуммыf (х)(Еслии с f (х)отличаютсясверхнихи(х)нижнихсуммразбиениеТ 'на[а,constb] полученопутемт≤μ=>изтого,что5°.Пустьfинтегрируемана[а,b].Тогдаf(х)интегрируемана∀=> из того, что для5°.
Пусть f (х) интегрируема на [а, b].Тогда f (х) интегрируема на ∀добавленияи св-ва[c,d] ∈∈ [а,[а, b].b]. новых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤ S ) для3° и3°св-ва4°. 4°.В (9)полученногоразбиенияТ*темболеесправедливонеравенствоS‒s<формуласформуласреднДок‒во. ff (х)(х) интегрируемаинтегрируеманана[а,[а,b]b]=>=>длядляƎ разбиениеТ [а, 1‒я1‒яДок‒во.∀∀ε >ε 0> Ǝ0 разбиениеТ [а,[а, [а,b][c,иb]пустьт и≤Ми пустьтε. чтоРазбиениеТ*сегмента[а, b]порождает)b],ккточкамТ ТточкиВ разбиениесилусв‒ва2°Т2°что SS ‒‒ ss ≤≤ε.ε.ДобавимДобавимточкамточкис ис d.и d.Всилусв‒ва1 сегментаверхнихии нижнихсумм(Еслиразбиение'Т[а,b] b]полученопутемверхнихсумм(Еслииразбиение' [а,полученопутемd].
ЕслиSнижнихверхняянижняяТсуммыразбиенияТ1, то S1 т‒ ≤sт∫ ∫1 и s1 ‒1μ≤≤≤SμМ,≤ чтоМ,ОбозчтодобавленияновыхточеккточкамТ,тоs≤s',S'≤S)длядобавленияновыхточеккточкамТ,тоs≤s',S'≤S)для‒ s, т.к. каждое слагаемое ωiΔхi >0 в выражении S1 ‒ s1 = Σ ωiΔхВi (9)будетположимg(x)В (9)положимполученногоразбиенияТ*темболеесправедливонеравенствоS ‒Ss ‒<s <ЕслиполученногоразбиенияТ*темболеесправедливонеравенствотакже слагаемым в выра-жении для S ‒ s=> S1 ‒ s1 < ε => f (х) ε.Разбиение[а,Т1 Тсегмента[c,) ≤( ) ≤ε.интегрируемаРазбиениеТ*Т*сегментасегмента[а,b]b]порождаетпорождаетразбиениеразбиение)∫≤1 сегмента [c, ∫ (f )(q)на[c,d].1d].ЕслиSиs‒верхняяинижняясуммыразбиенияТ,тоS‒s≤Sd].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
