Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 6
Текст из файла (страница 6)
[а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Для∀ I{ξi } разбиенияТ сегментаi,верхних1°.Для∀ хфиксированногоразбиенияТ и для ∀ε > 0 точки ξ (ξi*) на1°. Для ∀ фиксированногоразбиенияТ и для ∀ε > 0 точки ξi i(ξi*)наСвойстваверхнихинижнихсумм.[хi‒1, хi] можно выбрать так, что:[хi‒1Для, хi] ∀можновыбрать так,что: Т и для ∀ε > 0 точки ξi (ξi*) нафиксированногоразбиения01°.≤S‒I{хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε).0 i‒1≤ ,Sх‒i]I{хi, ξi } выбрать< ε (0 ≤ I{так,хi, ξiчто:* } ‒ s < ε).[хможноПустьТ‒некотороефиксированноеразбиение [а,[а,b].b].ПоПоПустьТI{‒хнекотороефиксированноеразбиение0≤S‒,ξ}<ε(0≤I{х,ξ*}‒s<ε).iiiiопреде‒лениюточнойграниМi длядля данногоданного εε >> 00 нана[х[хi‒1,,хх]i]ƎƎξξi: :опреде‒лениюточнойфиксированноеграни Мii‒1 iiПустьТ‒некотороеразбиение[а,b].По00 ≤≤ М‒f(ξ)<ε/(b‒a),i=1,2,.....п.УмножаяэтинеравенстванаΔхiiiМi ‒ f(ξi) < εточной/(b‒a), граниi = 1,2,М.....п.УмножаяэтинеравенстванаΔхiопреде‒лениюдляданногоε>0на[х,х]Ǝξ:i х , ξ } < ε.i‒1 iiии складывая,получим0≤S‒I{iiполучим0 i≤=S1,2,‒ I{.....хi, ξп.i }Умножая< ε.0 ≤складывая,Мi ‒разбиениеf(ξi) <ε /(b‒a),эти неравенства2°.ЕслиТ'сегмента[а,b]полученопутемдобавленияна Δхi2°.ЕслиразбиениеТ'сегмента[а,b]полученопутемдобавленияи складывая,получим 0Т,≤тоS ‒ I{ s',хi, Sξi' }≤S.< ε.новыхновых точекточек кк точкамточкам Т, то ss ≤≤ s',S ' ≤S.исчисления.4°.
Мн‒вбиений4°.Мн‒во4°.Мн‒[=>из 3°биений[абиений∀=>sиз≤изкак=>3°.3∀∀s ≤s како≤ каПусть Пусть ‒нихсумПустьинтегранихсуммнихсуминтегралинтегр≥ . ПS'≥и≥.Пs".‒S'сегменти s" ‒ вS' и s" ‒сегмента1‒огоисегмен1‒огоиу5°.Пуст1‒огои5°.Пустьдобавле5°. ПусдобавленнижниедобавленижниеS ' и s'‒ иsSот'нижнии максs'‒ sS'и s'‒отмаксидобавлеот макдобавлен‒ m)pΔ,добавле‒Пустьm)pΔ,к‒ m)pΔПустьк[хi‒1, х']рПустьик[хПустьi‒1, х'] М[хi‒1, Мх']iПустьПусть МДалее, тДалее,‒ Мi'' ≤тДалее,‒Мi'' ≤ М‒ Мi'' ≤Это 1‒еЭто 1‒е н6°.ЛеммЭто 1‒е6°.Леммапо [а, b]по6°.Лем[а, b]Докажемпо [а, bДокажем1)М = mДокаже1)М= m,2)М>=тm1)М2)М> т.2)М > тПустьПусть рр‒разбиенразбиениПусть рДобавимДобавимразбиенсуммасуммаS'SДобавиСуммы = ∑=1 ∆ и = ∑=1 ∆ называются верхней инижней суммами f (х) для данного Т сегмента [а, b].Для ∀ I{ хi, ξi } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Свойства верхних и нижних сумм.1°.
Для ∀ фиксированного разбиения Т и для ∀ε > 0 точки ξi (ξi*) на[хi‒1, хi] можно выбрать так, что:0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε).Пусть Т ‒ некоторое фиксированное разбиение [а, b]. Поопреде‒лению точной грани Мi для данного ε > 0 на [хi‒1, хi] Ǝ ξi :0 ≤ Мi ‒ f(ξi) < ε /(b‒a), i = 1,2, .....
п. Умножая эти неравенства на Δхiи складывая, получим 0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε.2°. Если разбиение Т' сегмента [а, b] получено путем добавленияновых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤S.Пусть к Т добавляется одна точка х' ∈ [хi‒1, хi], ′ и ′′ ‒ ТВГ f (х)на [хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .ТВГ на части [хi‒1, хi] не превосходит ТВГ Мi на всем сегменте => ≥ ′ и ≥ ′′ => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ ) =( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′ ≥ 0 => S ' ≤ S. Для s ≤ s' ан‒но.3°. Пусть Т' и Т" ‒ ∀ разбиения [а, b]. Тогда: s'≤ S", s",≤ S'.s' ≤ S', s" ≤ S".
Пусть Т ‒ разбиение [а, b]: Т = Т' U Т", а S и s ‒верхняя и нижняя суммы разбиения Т => по св‒ву 2°:s' ≤ s ≤ S ≤ S', s"≤ s ≤ S ≤ S" => s' ≤ S", s" ≤ S'.верхних и<х1 < ... <ξi ‒ ∀ точка0( )Δй данномучныхξi } при[а, b],ξi на [хi‒1,i,, b], если Ǝел I ‒а [а, b].4°. Мн‒во {S} верхних сумм данной f (х) для всевозможных разбиений [а, b] ограничено снизу. Мн‒во {s} нижних сумм ‒ сверху.=> из 3°. ∀S ≥ некоторой фиксированной s => {S} ограничено снизу.∀ s ≤ какой‒либо верхней суммы => {s} ограничено сверху.Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} нижних сумм: = inf {} , = sup {} . Числа и − верхний и нижнийинтегралы Дарбу от f (х). ≥ .
Пусть ≤ => − = > 0 . Т.к и ‒ точные грани => ƎS' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т"сегмента [а, b]: + > ′ и − < ′′ . Вычитая 2‒е неравенство из221‒ого и учитывая − = => s" > S' => противоречит св‒ву 3°.5°. Пусть разбиение Т' сегмента [а, b] получено из разбиения Тдобавлением к последнему р новых точек, и пусть s', S' и s, S ‒нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S ‒S ' и s'‒ s (они ≥ 0 по св‒ву 2° ) можно получить оценку, зависящуюот максимальной длины Δ частичных сегментов разбиения Т, числа рдобавленных точек и ТВГ и ТНГ М и т ф‒и f (х) на [а, b]: S ‒ S ' ≤ (M‒ m)pΔ, s'‒ s≤ (M ‒ m)pΔПусть к разбиению Т добавляется точка х' ∈ [хi‒1, хi], он разделится на′′′′′′Это 1‒6°.Лемпо [а,Докаж1)М =2)М >ПустьразбиеДобавсуммаНо Т' мдобавл≤S'СкладТ.о., дсегменнеравеверхниочныххi, ξi } при[а, b],ξi на [хi‒1,а, b], если Ǝел I ‒а [а, b].намоеfмодулю запределами а = х0ерхней иS.ξi (ξi*) наƎ ξi :ства на Δхii]вленияТВГ f (х)∆′ + ∆′′ .нте =>)=ан‒но.иs‒S' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т"сегмента [а, b]: + 2 > ′ и − 2 < ′′ .
Вычитая 2‒е неравенство из1‒ого и учитывая − = => s" > S' => противоречит св‒ву 3°.5°. Пусть разбиение Т' сегмента [а, b] получено из разбиения Тдобавлением к последнему р новых точек, и пусть s', S' и s, S ‒нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S ‒S ' и s'‒ s (они ≥ 0 по св‒ву 2° ) можно получить оценку, зависящуюот максимальной длины Δ частичных сегментов разбиения Т, числа рдобавленных точек и ТВГ и ТНГ М и т ф‒и f (х) на [а, b]: S ‒ S ' ≤ (M‒ m)pΔ, s'‒ s≤ (M ‒ m)pΔПусть к разбиению Т добавляется точка х' ∈ [хi‒1, хi], он разделится на[хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .Пусть Мi, ′ и ′′ − ТВГ f(х) на [хi‒1, хi], [хi‒1, х'] и [х', хi] => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ )= ( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′Далее, т ≤ Мi' ≤ Мi ≤ М и т ≤ Мi'' ≤ Мi ≤ М => Мi ‒ Мi' ≤ М ‒ т и Мi‒ Мi'' ≤ М ‒ т => − ′ ≤≤ ( − )(∆′ + ∆′′ ) ≤ ( − )∆ ≤ ( − )∆Это 1‒е неравенство св‒ва 5° при р = 1.
Для нижних сумм ан‒но.6°.Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от f (х)по [а, b] являются с пределами верхних и нижних сумм при Δ→0.Докажем: lim∆→0 = 1)М = m, т. е. f (х) = const => лемма очевидна, т.к. S = = = s.2)М > т. Т.к. ‒ ТНГ {S} => для ∀ ε > 0 Ǝ Т* [а, b]:S* ‒ < ε/2. (1)Пусть р ‒ число точек Т*, лежащих строго внутри [а, b]. Пусть Т ‒ ∀разбиение [а, b]: ∆< = 2(−)(2) и S ‒ верхняя сумма Т.Добавим к Т внутренние точки Т* => получим разбиение Т', верхняясумма S' которого по св‒ву 5° и условию (2):0 ≤ S ‒ S ' ≤ (M ‒ m)pΔ< ε/2 (3)Но Т' можно рассматривать как разбиение, полученное в результатедобавления к Т* внутренних точек Т = > по св‒ву 2°: ≤ S ' ≤ S* => 0 ≤ S '‒ ≤ S*‒ => из (1): 0 ≤ S '‒ ≤ ε/2Складывая это неравенство с (3), получим 0 ≤ S ‒ ≤ ε .
(4)Т.о., для ∀ ε > 0 Ǝ δ > 0 (см (2)): верхние суммы S разбиений Тсегмента [а, b], для которых Δ < δ (см. (2)), удовлетворяютнеравенству (4)=> верхний интеграл Дарбу является пределомверхних сумм. Для нижних сумм док‒во ан‒но.0<х1 < ...ξi ‒ ∀( )Δтвую‒щей, ξi } при[а, b],ξi на [хi‒1,b], если ƎлI‒и а = х0рхней иS.{s} ниж-s' ≤ S", s" ≤ S'.)всего [а∑=1 ∆Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от f (х) поотвечаю[а, b] являются с пределами верхних и нижних сумм при Δ→0.Т. Чтобы ограниченная на [а, b] функция f (х) была интегрируемой на покрываωi = Мi ‒[а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε > 0 нашлось такоеразбиение Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε.�1) Необходимость. Пусть f (х) интегрируема на [а, b], I ‒ предел2) осталинтегральных сумм f (х) => для ∀ε > 0 Ǝ δ=δ(ε), что для ∀ разбие-нияТ, где Δ < δ, независимо от выбора точек ξi на частичных сегментахвыполняется: | I{ хi, ξi } ‒ I |< ε/4.
(1)Зафиксируем одно такое разбиение Т. По св‒ву 1° (Для ∀фиксиро‒ванного Т и для ∀ ε>0 точки ξi (ξi*) на [хi‒1, хi] можновыбрать так, что 0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε) для=> по Т1данного Т можно указать такие 2 интегральные суммы, чтоСл. ОграS ‒ I{ хi, ξi' } < ε/4, I{ хi, ξi'' } ‒ s < ε/4 (2)число тоОбе I{ хi, ξi' } и I{ хi, ξi'' } удовлетворяют (1).частносS ‒ s = (S ‒ I{ хi, ξi' }) + (I{ хi, ξi' } ‒ I) + (I ‒ I{ хi, ξi'' })+ + (I{ хi, ξi'' } ‒интегри6.=>Классыинтегрируемыхs)учитывая(1) и (2): S ‒ s < функцийεЕслиО.Достаточность.Ф‒я f (х) называетсянепрерывнойна условию{х}, если для∀εр ‒2)Для ∀ Т:равномерно≤ ≤≤и для ∀ ε > 0, поразрыва> 0 Ǝ δ= δ(ε) >0: для ∀ х', х" ∈ {х}: | х" ‒ х' | < δ, выполняется |f (х")‒fтеоремы, Ǝ T: S ‒ s ≤ ε => 0 ≤ − ≤ => в силу произвольности ε:Т5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
