Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ПустьПусть xx111 =α ≤ t ≤ ββ ‒‒ уравненияДок‒во.уравненияДок‒во.Пусть= φφ11(t),(t),…,…,xxmm==φφm(t),m(t), α ≤ t ≤ β ‒ уравнениянепрерывной кривойкривойии целикомнепрерывной{М}непрерывнойкривойL,L,соединяющейсоединяющейААи иВ В∈ ∈{М}{М}ицеликомцеликомрасположеннойв{М}.На[α,β]определенасложнаяф‒яии ==,,...,расположеннойсложнаяф‒яf (х(хf11(х...,расположенной в {М}.
На [α, β] определена сложная ф‒яи f=1, ...,),гдеx=φ(t),≤t≤β,еезначениянаii =ii(t),хххттт),гдеxφi=1,…,m,αзначенияна), где xi = φi(t), i = 1, …, m, α ≤ t ≤ β, ее значения на[α, β]β] совпадают со значениями и = f (М) на кривойL. Эта слож-ная[α,слож-ная[α, β] совпадаютсовпадают со значениями и = f (М) накривойкривойL.L.ЭтаЭтаслож-наяф‒я 11 переменнойпеременной t по У2 непрерывна на[α,β]ии потеоремеооф‒яна[α,β]потеоремеф‒я 1 переменной t по У2 непрерывна на [α, β] и по теореме опрохождении непрерывнойнепрерывной функциифункции от 1 переменной через∀∀ пропрохождениипропрохождениинепрерывной функцииотот1 1переменнойпеременнойчерезчерез∀промежуточное значениезначение вв некоторойнекоторой точкеξξ ∈[α,β]принимаетзнамежуточноеточке∈[α,β]принимаетзнамежуточноев некоторой φточкеξ ∈φ[α,β] fпринимаетзначение СС =>=> ввзначениеN∈∈ LL сс координатамикоординатами...,(ξ):(N)=С.11 (ξ),mчениеNφ(ξ),...,φ(ξ):f(N)=С.mчениеС=> Вейерштрасса).в N ∈ L с координатамиφf1 (М)(ξ), ...,φm (ξ): f (N)замкну= С.5°.Т3(1‒яЕслии=непрерывна5°.
Т3 (1‒я Вейерштрасса). Если и = f (М) непрерывна нана замкну5°.Т3ограниченном(1‒я Вейерштрасса).и = f (М) непрерывнана замкнутоммн‒ве {М},{М},Еслитотомограниченном мн‒вето онаона ограниченаограничена нана этомэтом мн‒ве.мн‒ве.томограниченноммн‒ве{М},тоонаограниченанаэтоммн‒ве.Док‒во. ПустьПусть ии == ff (М)(М) нене ограниченаограничена сверхуДок‒во.сверху нана {М}.{М}. ВыделимВыделимДок‒во.Пусть= f (М)не ограниченасверхуПонаТ{М}.Выделимпослед‒сть{Мnn}}и точекточекмн‒ва{М}послед‒сть{Ммн‒ва{М} :: ff (М(Мnn )) >> п.п.
По Т БольцаноБольцано ‒‒послед‒сть{Мизточекможномн‒ва выделить{М} : f (Мn ) > п. По Т подпослед‒стьБольцано ‒n} {МВейерштрассаВейерштрассаиз{Мnn }} можновыделить сходящуюсясходящуюся подпослед‒стьВейерштрасса{Мможно выделитьknсходящуюсяподпослед‒стьn }Послед‒стьМknkn }} →→ М,М, MMиз∈ {М}.{М}.{{ М∈Послед‒сть {{ ff (М(Мkn)) }} бесконечнобесконечно большая.большая.НоНо{из}→М,M∈{М}.Послед‒сть{f(М)}бесконечнобольшая.НоизМнепрерывностинепрерывностиf(М)вМ=>{f(М)}должнасходитьсякf(М).knknf (М) в М = > { f (Мknkn) } должна сходиться к f (М).изнепрерывности f (М) в М = > { f (Мkn) } должна сходиться к f (М).Противоречие.Противоречие.6°. Т4Т4 (2‒я(2‒я Вейерштрасса).Вейерштрасса). ЕслиЕсли ии =Противоречие.6°.= ff (М)(М) непрерывнанепрерывна нана замкнутомзамкнутомограниченноммн‒ве{М},тоонадостигаетнаэтоммножестве6°.Т4(2‒яВейерштрасса).Еслии=f(М)непрерывнаназамкнутомограниченном мн‒ве {М}, то она достигает на этом множествесвоих ТВГТВГ ии ТНГ.ТНГ.ограниченноммн‒ве {М}, то она достигает на этом множествесвоихДок‒во.Пусть(М) нана замкнутомзамкнутом ограниченномсвоихТВГи ТНГ.Док‒во.Пустьff (М)ограниченном мн‒вемн‒ве {М}{М} ненедостигаетсвоейТВГN=>длявсехточекмн‒ва{М}:f(М)<ииДок‒во.Пустьf(М)назамкнутомограниченноммн‒ве{М}достигает своей ТВГ N => для всех точек мн‒ва {М} : f (М) < NNнефункция F(M)= 1/(N ‒ f (M))> 0,не обращается0 и подостигаетсвоейТВГдлявсехмн‒вавв{М}: fУ1(М) < N ифункция F(M)= 1/(N ‒Nf=>(M))> 0,не точекобращается0 и поУ1непрерывнана{М}=>поТ3F(M)ограниченана{М},т.е.В, чтофункцияF(M)1/ (Nf (M))> 0, необращаетсяв 0 и т.е.по ƎУ1непрерывнана ={М}=>‒поТ3 F(M)ограниченана {М},Ǝ В, чтодля всех М ∈ {М}:F(M)=1/Т3(N ‒ f (M))≤ В => на {М}, т.е.
Ǝ В, чтонепрерывна{М}F(M)=> =по1/ограниченадля всех М ∈на{М}:(NF(M)‒ f (M))≤ В =>натыпо}ных,жнаяся{ Мkn } → М, M ∈ {М}. Послед‒сть { f (Мkn) } бесконечно большая. Ноиз непрерывности f (М) в М = > { f (Мkn) } должна сходиться к f (М).Противоречие.6°. Т4 (2‒я Вейерштрасса). Если и = f (М) непрерывна на замкнутомограниченном мн‒ве {М}, то она достигает на этом множествесвоих ТВГ и ТНГ.Док‒во. Пусть f (М) на замкнутом ограниченном мн‒ве {М} недостигает своей ТВГ N => для всех точек мн‒ва {М} : f (М) < N ифункция F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) > 0, не обращается в 0 и по У1непрерывна на {М} => по Т3 F(M) ограничена на {М}, т.е. Ǝ В, чтодля всех М ∈ {М}: F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) ≤ В =>т.к.
N ‒ f (M) > 0, то f (M) ≤ N ‒ 1/В для всех М ∈ {М} =>противоречит тому, что N ‒ наименьшая из всех верхних граней.7°. Функция и = f (М) называется равномерно непрерывной на мн‒ве{М} евклидова пр‒ва Е т, если для ∀ ε > 0 Ǝ δ = δ (ε) > 0, что для ∀ М'и М" ∈ {М}: ρ (М', М") < δ, выполняется | f (М") ‒ f (М') | < ε.Т5 (о равномерной непрерывности). Непрерывная на замкнутомограниченном мн‒ве {М} функция равномерно непрерывна на {М}.Док‒во. Пусть непрерывная на замкнутом ограниченном мн‒ве {М}функция и = f (М) не является равномерно непрерывной на {М}, т.е.Ǝ ε > 0: ∀ δ > 0 Ǝ М' и М" ∈ {М}, удовлетворяющих условию ρ (М',М") < δ, но | f (М") — f (М') | ≥ ε =>для ∀ δn = 1/n Ǝ Мn' и Мn" ∈ {М}: ρ (Мn', Мn") < 1/n, но| f (Мn") — f (Мn') | ≥ ε.
Т.к. {Мn'} ‒ послед‒сть точек замкнутогоограниченного мн‒ва {М}, то по Т Больцано ‒ Вейерштрасса из нееможно выделить сходящуюся к некоторой А подпослед‒сть {Мkn'}.Подпослед‒сть {Мkn''} послед‒сти { Мn"} также сходится к А. f (М)непрерывна в А => {f (Мkn' )} → f (А) и {f (Мkn'')} → f (А) => {f (Мkn' ) ‒f (Мkn'')} ‒ бесконечно малая послед‒сть, это противоречит | f (Мn") —f (Мn') | ≥ ε => и = f (М) равномерно непрерывна на {М}.2.
Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных.Достаточные условия дифференцируемости.20. Понятие дифф-сти функции нескольких переменных.Достаточное условие дифф-сти. Касательная плоскость.М (х1, ..., хт) ‒ внутренняя точка области задания и = f (х1, ..., хт).Отношение частного приращения Δxk u в фиксированнойМ (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xk∆ (1 , … , −1 , + ∆ , +1 , … , ) − (1 , … , )=()∆∆является ф-цией от Δxk, определенной для всех, ≠ 0, значений Δxk, длякоторых М (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания и.О.
Если Ǝ предел отношения (1) частного приращения Δxk u функциив М (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xkпри Δxk → 0, то этот предел называется частной производнойфункции и = f (х1, ..., хт) точке М по аргументу хk :∆ = lim∆ →0 ∆Полное приращение и = f (х1, ..., хт) в М (х1, ..., хт), соответствующееприращениям Δx1 , …, Δxт :Δu = f (х1 + Δx1, … , хm + Δxm) ‒ f (х1, … , хm)О. Ф‒я и = f (х1, ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),если ее полное приращение в М можно представить:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()где А1, ..., Ат ‒ некоторые не зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0при Δx1 = … = Δxm =0.(2) ‒ условие дифференцируемости ф‒и в М.
Другая форма:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + () ()где ρ ‒ бесконечно малая при Δx1 →0, … , Δxm →0 функция =2 , ρ = 0 при Δx = … = Δx =0. Условия (2) и (3)�∆12 + ⋯ + ∆1mСл1. Ус(все чаСл2. Еспредст(т.к. коэданнойЕсли и =(т.к. изПлоскокасатеплоскосповерхнЕсли врасполоуказаннУбедим(х0, у0) =ф‒и в тгде и =u ‒ u0 =где A =Δx→ 0,Уравнесистемефункциии = f (х1, ..., хиточкеМ пот)=Полное приращениеf (х1, ...,хт)аргументув М (х1, ...,ххkт:), соответствующее∆ приращениям Δx1 , …, Δxт: = lim ∆m) ‒ f (х1, … , хm)1, … ,∆хm→0Δu = f (х1 + Δx+ ΔxПолноеf (х1, ..., хт) дифференцируемойв М (х1, ..., хт), соответствующееО. Ф‒я приращениеи = f (х1, ..., хти)=называетсяв М (х1, ..., хт),приращениям Δx1 , …, Δxт :если ее полное приращение в М можно представить:Δu = f (х1 + Δx1, … , хm + Δxm) ‒ f (х1, … , хm)∆=1,∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()О.
Ф‒я и = f (х1 ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),где АееАт ‒ приращениенекоторые неот Δx1, … , Δxm числа, а α1,1, ...,еслиполноев Мзависящиеможно представить:..., αт ‒∆бесконечномалыеΔx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0= 1 ∆1 +⋯ + при ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()приАΔx…= Δxm =0.1 =Агдене зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,1, ...,т ‒ некоторые(2)α‒т условиедифференцируемостиф‒иМ.m Другаяформа:равные 0...,‒ бесконечномалые при Δx1 →0,… в, Δx→0 функции,∆= 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + () ()при Δx1 = … = Δxm =0.(2)дифференцируемостиф‒и…в ,М.форма: =где‒ρусловие‒ бесконечномалая при Δx1 →0,ΔxmДругая→0 функция⋯ 1+=…() ()2 = ∆1 + Δx ∆�∆12 + ⋯ + ∆∆=Δx+m =0.
Условия (2) и (3) , ρ =10 пригдеρ ‒ бесконечноприρΔxэквивалентны,т.к. малая: 1) при≠ 10→0, … , Δxm →0 функция =2 , ρ = 0 при Δx = … = Δx =0. Условия (2) и (3)�∆12 + ⋯ + ∆1m∆≤1=>|∆+⋯+ ∆ | ≤эквивалентны, т.к. : 1) при ρ ≠ 01 1∆|∆1 | ≤ 1 => ||∆∆ | + ⋯ + ∆ | ≤| + ⋯ + | |} = ()≤ �|1 |+ ⋯ + | | 1 1� ≤ {|1|∆1 ||∆ || является|} =более()≤ �|1 |1 ∆1 + ⋯� ≤ {|бесконечно=> сумма⋯++ |∆малой1 | + ⋯ + |высокогопо сравнению с ρ, о (ρ) =0 при ρ = 0.Т.о.(2) => (3)=>сумма порядка1 ∆1 + ⋯ + ∆ является бесконечно малой более2) пусть невсе Δx1по,…,Δxm равныс 0ρ,=>высокогопорядкасравнениюо (ρ) =0 при ρ = 0.Т.о.(2) => (3)22()( ) ∆12 + ⋯ + ∆2) пусть не все Δx1 ,…, Δxm равны 0 =>() =2 = ( )2 =() ∆12 + ⋯+ ∆() ===() ∆1() ∆ () ∆= �() ∆ � ∆1 + ⋯ + �() ∆ � ∆ .
Пусть ()�∆ � ∆ = 1=�� ∆ + ⋯ + �� ∆ . Пусть �� ∆ = что α1i ‒ бесконечномалая и учитывая,при ρ → 0 ( и при Δx1 →0, … ,иΔxучитывая,что αi ‒получимбесконечно→ 0 ( и при Δx1 →0, … ,(2) малая=> при(3)ρ =>(2)m →0) функция,Δx(2) =>(3) =>(2)m →0)Еслихотяфункция,бы 1 из Аполучим1, ..., Ат отлично от 0, то А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm ‒Еслихотялинейнаябы 1 из Аотносительноот 0, то А1 аргументовΔx1 + ...+ Ат частьΔxm ‒1, ..., Ат отличноглавная,приращенийглавная,линейнаяотносительно приращенийприращениядифференцируемойфункции.
аргументов частьприращенияТ1. Если и = дифференцируемойf (х1, ..., хт) дифф-мафункции.в М (х1, ..., хт), то в этой точке ƎТ1. Если и = f (х1, ..., хт) дифф-ма в М (х1, ..., хт), то вэтой точке Ǝчастные производные по всем аргументам, причем = , где Аiчастные производные по всем аргументам, причем = , где Аiопределяются изизусловияусловия(2)(2)илиили(3)(3)дифф‒стидифф‒стифункции.функции.определяютсяДок‒во. ИзИз (2)(2) =>=>частноечастноеприращениеприращениефункциифункцииввэтойэтойточке:точке:Док‒во.∆∆ ∆=∆+∆=>=>∆ = ∆+ ∆ => ∆ == ++ =>∆ ∆∆ т.к.к.
→→ 00припри∆∆ →→0,0,тото limlimт.==== ∆ →0∆ ∆ →0 ∆поверкасатЕслиплоскораспоповерхуказаЕслиУбедвраспол(х0, у0указанф‒и вУбедии(хгде0, у0)u ‒ вu0тф‒игдегдеиA=u ‒ u0 =Δx→где A =УравнΔx→0систеУравнеu0) исистемКосинu0х)0,иyи‒Косинух0, y ‒Из ус+B(yИзусл+B(y ‒=> li=>limплоскТ.о.,плоскоТ.о.,дналичналичиточкеточкеМ0 (хNМ0 (х0,НормНорманазывназываТ2(до(дТ2частнчастны(хММ0 0(х1°,тММ0,0тоДок‒вДок‒ворестнрестноприращприраММ0.0По.ПΔuΔu==fу0у0++ΔУравнение U ‒ u0 = A(х ‒ х0) + B(y ‒ y0) определяет в декар-товойсистеме (х, у, U) некоторую плоскость π, проходящую через N0 (х0, у0,u0) и имеющую нормальный вектор n = {A, В, ‒ 1}.Косинусугла(3)φ диффе-стимежду n и векторомс координатамиСл1.Условиефункции вNМзаписатьв форме х ‒х.0 Nможно1 секущей(всеберутся в М).х0, y ‒частныеy0, и ‒ ипроизводные0: (сложной( − нескольких., хт).) (−)(()− 0 )21.
Дифференцирование1°. Все ∆ =∆1+−⋯0+) +функции∆ +0cos =Инвариантность1 1‒го дифференциала.переменных.формы= ()222)2 х+(то(++ 1� дифференцируемой −(х1,0...,− 0 )2 +в(М√нта xkСл2.Если...,1, хт) дифференцируемаО.Ф‒яи =иf =(хf1,(х...,вт),М(х−1, ...,0 )хт), которыет) хназывается)2°. Из (6)представлениеее приращенияu в форме(2)у)илиИз условиядифференцируемостии =представитьf (х,=>(3)A(х‒ х0) +болеееслиее полноеприращениев МΔможновединственно.виде()(т.к.представлений = частным производным в 3°. Все αii этих+ =>+B(yкоэффициенты‒∆y0)=‒ (u1 ∆‒ u10+) А=⋯o(ρ)2) => (3) ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()бесконечданнойМА=>ий Δxk, для гдеА1, ...,некоторые не единственнымзависящиеΔx1, … , Δxт ‒ определяются|()|от образом).|m(числа,)| а α1,=> непреЕслиf (х1, ...,|cosхт)малыедифф-аМ 1(х→0,хт,),Δxтоm →0она функции,и=непрерывнав М.0ия и.1, ...,…|≤ прив Δx...,αт и‒ =бесконечноравные4°.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
