Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, где п1>0, ..., пm>0,=f (М)стныхом/ g (М)имеютаk (М)бесконечномалой втk хk =тk аk . при с ≠ 0), равные= fА(М). в Еслиk) являетсяи = f бесконечно(М) имеетзначениев точкеА, fтоявляетсямалой(а..., ат),bт.к.каждая(xk)функция= (хk ‒кА1,b/c.мейсяпр‒вомсоответственноb +предельноес, b ‒вс,Ab·с,Еслиnk и = f (М) имеет предельное значение b в точке А, то функциящейсякАаk) док‒вамалойпов условиюхk = малойаk . {вf точке=являетсяf (М) ‒взятьbбесконечноявляетсябесконечноА, т.к.= f (М)ентыМпв α(М)Для∀ {Мn}→A,(Мn ) }→b,α(М)=f(М)‒bявляетсябесконечномалойвточкеА,функцият.к.ментыМпяниеg(М)}→cпо→св‒вамЕсли=(f(М)предельноеb в точкеА, limто((сходящихся) − значение) = limпослед‒стей:)=>nи=имеетlim ( ) −щейсяк А1 limсть f:(М→→→ = 0() −функции,)=(g(М)равноеlim‒)представлениеlim·(c,А,−т.к.lim→ =0‒стьf (М{limf (М±}→b± c,{(f (М}→b→→→n )fnn )· g(Мn )имеющейα(М)=(М)b=)являетсябесконечномалойв точкементыМ1п Специальноедляb пре{Специальноеf (Мn )значение/ g(Мnпредставление) }→b/ (c.
(A:Всилу{Мb преn}:равноетствиепо) −для) функции,( ) −произвольности= lim→ имеющейlimlimд‒стьв →точке=f (М)f (Мв 1 дельное→ ( ) = lim→ = 0()представление)� = lim+ (точке+ функции,и др. утверждения.дельноезначение‒ве{М}→ �=нданияf (М)вСпециальноеимеющейb пре()в = − A:(для), где lim() =равное0Функцияи=f(М)называетсябесконечномалойвточкения) = A:− (), где→(вточкеlim () = 0 А (приаданиядельное значение= f (М)вяется|f→Функцияf (М)удовлетворяетА условию Коши, еслиМ→A), еслиlim{М} ‒→ ( ) = 0 в точке М =()()(яется|f=−,гдеlim=0n1nmзаданияФункцияf(М)(М)удовлетворяетв (хточкеА)условиюКоши,Функция=(х∀1 ‒+…азадания) =, гдеп1>0,...,пm>0,тныхт ‒ →тМдля∀ ε > 0fƎδ : дляМ'а1и) М"из +областифункцииf (М если),няется | fявляетсябесконечномалойвA(а,...,а),т.к.каждаяf(x)=(хФункцияf(М)удовлетворяетвточкеМ=АусловиюКоши,еслидля∀ε>0Ǝδ:для∀М'иМ"изобластизаданияфункцииf(М1тkk ‒ ),удовлетворяющих0 < ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < δ, дляnkаудовлетворяющихявляетсямалойазадания.= f (М) вk) ∀дляε > 0 Ǝ δ бесконечно: дляМ"из областифункцииf (М ),0∀ <М'ρи(М',А)<вδ,хk0=<(М'ρk (М'',А)<)δ,| <длясоответствующихзначенийфункций:|f)b‒вfточке(М''εто функцияЕслии=f(М)имеетпредельноезначениеА,ейся к Аудовлетворяющих 0значений<ρ (М', А)< δ, 0 < fρ(М)(М'',А)) ‒< fδ,для) | < εсоответствующихфункций:|f (М'(М''Т(критерийЧтобыфункцияимелаконечноеα(М) = f (М)Коши).‒ b являетсябесконечномалойв точкеА, т.к.менты Мпсоответствующихзначенийфункций:|f(М')‒f(М'')|<εТ(критерийКоши).Чтобыфункцияf(М)имелаконечное>0:дляпредельноезначениевточкеМ=А,необходимоидостаточно,lim→ () = lim→ ( () − ) = lim→ () − lim→ = 0‒сть f (М1Т(критерийКоши).функция(М) имелаконечноеε > 0 : для чтобыпредельноезначениев точкеМ =функции,А,необходимои достаточно,Специальноепредставлениедляимеющейравноеb префункцияf (М) Чтобыудовлетворялав fэтойточкеусловиюКоши.Ǝ=εf >(М)0 : дляпредельноезначениевточкеМ=А,необходимоидостаточно,дельноезначениевточкеA:вчтобы Необх‒сть.функция f (М)удовлетворялаэтойточке условиюДок‒во.Пустьlim→ ()в =.
Возьмем∀ ε > 0, Коши.по О2чтобыфункцияf(М)удовлетворялавэтойточкеусловиюКоши.()()()=−,гдеlim=0аданияДок‒во.limиз() →=. Возьмемдляε / 2 ƎНеобх‒сть.δ > 0 : для ∀ПустьМ' и М"областизаданияf (М ):∀ ε > 0, по О2→()Док‒во.Необх‒сть.Пустьlim=.Возьмем∀ ε > Коши,по О2еслияется | f→М =заданияА условию0Функция< ρε(М',0: <дляρ (М'',δ вдлясоответ-щихзначенийдля/ 2 А)Ǝf (М)δ<>δ,0удовлетворяет∀ М'А)и <М"източкеобластиf (М0,):функций:для ∀ε / 2> Ǝ0 δƎ>δ0: :длядля ∀ М'М' ии М"М" изобласти заданияf функции(М ):заданияf (М|дляf0(М'‒ b |А)< ε</δ,2,0| f<∀(М'')‒ bА)| <из2 =>|f (М') ‒ f (М'') |= | [f (М') ‒),< ρ)ε(М',ρ (М'',<εδ/областидлясоответ-щихзначенийфункций:0<ρ(М',А)<δ,0<А)<δудовлетворяющих0ρ<(М'',ρ (М',А)<дляδ, 0соответ-щих< ρ (М'', А)значений< δ, для функций:О2b][ f (М'')|| ff‒(М') ‒ b ‒| b]< ε| /≤2,| f| (М'')f (М'')‒ b‒функций:|b | < ε / 2 =>|f (М' ) (М''‒ f (М''|=(М'| [f)(М')‒соответствующих)) ||=< )|ε[f(М' ) ‒ b | < ε / 2, значений| < ε / 2 =>|f (М'f (М') )‒‒f f(М''‒лня-ется| ≤Т(критерий| f (М') ‒ b |+|f (М'') ‒ b |< ε => f (М) удовлетворяет в точке М = Аb](М'')оО2О2b] ‒‒ [[ ff (М'')‒‒Коши).b]b]| |≤≤ Чтобы функция f (М) имела конечноеεлня-ется> 0 : для|| условиюпредельноев‒точкеМ=f (М)А,необходимои достаточно,≤≤ || ff (М'(М' )Коши.) ‒‒bbзначение|+|f f(М'')(М'')‒b b|<|<ε =>f (М)удовлетворяетв точкеолня-ется|+|ε =>удовлетворяетв точкеМ=МА =Аf (Мn )чтобыфункцияэтой Мточкеусловию КошиКоши.иДост‒сть.Пустьff(М)(М) удовлетворялаудовлетворяет вв точке= А условиюусловиюКоши.условиюКоши.)=Док‒во.Необх‒сть.Пустьlim (.A.Возьмем∀∀ε ε>>0,0Кошипо→{М{М, вМВозьмемии О2 и{{f f(Мn} ‒ ∀ последовательность:n}→An ≠МДост‒сть.Пустьf f(М)(М)удовлетворяетточкеМА=условиюА условию(Мnn))Дост‒сть.Пустьудовлетворяетвточке=Кошидля ε / 2 Ǝ δ > 0 :δдляМ' и М"из областиусловиезаданияКоши,f (М ):f (М)соответствующее> 0,∀чтобывыполнялосьэтого{М}‒∀последовательность:{М}→A,М≠A.Возьмемεи> 0 иnnn{М}‒∀последовательность:{М}→A,М≠A.Возьмем∀ εдля>∀0функций:n0 <n ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < nδ для соответ-щихзначенийаданияδвыберемномерN:0<ρ(М,А)<δприn≥N(этоможносделать,=f=f(М)0,чтобычтобыусловиеКоши,дляэтого(М)соответствующееδδ>| >f0,(М'')для|соответствующееf (М' ) ‒ b | < ε / 2,‒n bвыполнялось|выполнялось< ε / 2 =>|условиеf (М') ‒Коши,f (М'') |= этого| [f (М')‒тсят.к.{М}→A)=>для∀р(=1,2,…)nО2b]‒ [ f (М'')номер‒ b] |N≤N: 0изаданиязаданияδδ выберемномер: 0< <ρ ρ(М(Мδ приN (этоможносделать,выберем< δ<приn ≥nN≥(этоможносделать,n, А)n, А)0<ρ(М,А)<δприn≥N=>всилуусловияКошилня-ется|≤| f {М(М'nn+р) ‒ b |+|(М'')b(=1,|<2,ε2,=>етсятсят.к.=>∀∀р‒р(=1,…)т.к.{М}→A)=>fдлядля…)f (М) удовлетворяет в точке М = Аn}→A)|условию‒Коши.f (М<приε nпри≥ =>Nв=>фундаментальностьпослед‒сти {(М=>силуусловияКоши00f (М< ρn+р(М)n+рА)<n<)δδ|приn≥удовлетворяет≥NnNв силуусловияКошиn+р,,А){ f (Мn )Дост‒сть.Пустьf(М)вточкеМ=АусловиюКоши иf ||(М} =>сходимость{приf (М}Nк =>некоторомуb.n ) n+рn )Nf (М(М)‒f(М)|<εприn≥=>фундаментальностьпослед‒сти{nf)‒f(М)|<εn≥фундаментальностьпослед‒сти{n+рn{Мn} ‒ ∀ последовательность: {Мn}→A , Мn ≠ A.
Возьмем ∀ ε > 0 иВозьмем∀{М}→A,{М'}→A,пусть{f(М)}→b,nn b. b.(Мnn )) }} =>{n {чтобыf (Мn ) n}выполнялосьff (М=>сходимостьсходимостьf (М) к}некоторомук некоторому=f (М)соответствующееδ > 0,условие Коши, для этого')}→b'.Тогдапосл‒стьМ,М',...,M,'b,сходитсяА => f{f(Мn11nВозьмем∀{М}→A,{М'}→A,пусть{f(М)}→заданияδВозьмемвыберем∀номерN : 0{М<n ρ(Мn, А)< δ приN(это{Мn n}→A,, пусть{ f nn(М≥nM) n}→b,можнок сделать,n'}→A),{Мf (М)1}→'), ..., =>f (Мдля(М' ) сходится,т.к.(Мn), f∀посл‒сть, М, 1М', а...,Mnвсе, Mnее' сходится к А => fтсят.к.р n(=1,2,М…)1М) }→b'.b'.ТогдаТогдапосл‒сть{{1ff (М(Мnnn''}→A)11', ..., Mn, Mn' сходится к А => fподпоследовательностик силуодномуивсетомуже пределу, то0(М<1ρ, А)δ приnсходятся≥n'N=> вусловия), (Мf (М..., <f (М) сходится,а т.к.ееКошиn+р1'),n), f (М(М1), f (М1'), ..., f (Мn), f (Мn' ) сходится, а т.к.
все ееf (Мn ≥ Nк=>фундаментальностьпослед‒сти{b|подпоследовательности=b'.n+р ) ‒ f (Мn ) | < ε присходятсяодномуи тому же пределу,топодпоследовательностисходятсякодномуитомужепределу,тоfb(М) } => сходимость { f (Мn ) } к некоторому b.= nb'.b=b'.Возьмем ∀ {Мn}→A, {Мn'}→A , пусть { f (Мn ) }→ b,{ f (Мn' ) }→ b'. Тогда посл‒сть М1, М1', ..., Mn, Mn' сходится к А => f(М1), f (М1'), ..., f (Мn), f (Мn' ) сходится, а т.к. все ееподпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, тоо О2олня-ется |{ f (Мn )=f (М)заданияется| f (М' ) ‒ b | < ε / 2, | f (М'') ‒ b | < ε / 2 =>| f (М' ) ‒ f (М'' ) |= | [f (М' ) ‒b] ‒ [ f (М'') ‒ b] | ≤≤ | f (М' ) ‒ b |+| f (М'') ‒ b |< ε => f (М) удовлетворяет в точке М = Аусловию Коши.Дост‒сть. Пусть f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши и{Мn} ‒ ∀ последовательность: {Мn}→A , Мn ≠ A.
Возьмем ∀ ε > 0 исоответствующее δ > 0, чтобы выполнялось условие Коши, для этогоδ выберем номер N : 0 < ρ (Мn, А) < δ при n ≥ N (это можно сделать,т.к. {Мn}→A) => для ∀ р (=1, 2, …)0 < ρ (Мn+р, А) < δ при n ≥ N => в силу условия Коши| f (Мn+р ) ‒ f (Мn ) | < ε при n ≥ N => фундаментальность послед‒сти {f (Мn ) } => сходимость { f (Мn ) } к некоторому b.Возьмем ∀ {Мn}→A, {Мn'}→A , пусть { f (Мn ) }→ b,{ f (Мn' ) }→ b'. Тогда посл‒сть М1, М1', ..., Mn, Mn' сходится к А => f(М1), f (М1'), ..., f (Мn), f (Мn' ) сходится, а т.к. все ееподпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, тоb19.= b'.Непрерывность функции п переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
