Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Основные теоремы онепрерывных функциях.Пусть А ∈ области задания и = f (М) нескольких переменных и∀ ε‒окрестность А содержит ≠ А точки области задания f (М).О1. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если предел этойфункции в точке А Ǝ и равен f (A). = lim => lim () = � lim �→→→О2. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если для ∀ ε > 0Ǝ δ > 0: для всех М из области задания функции: ρ (М, А) < δ,выполняется | f (М) ‒ f (A) | < ε.О3.
Ф‒я и = f (М) называется непрерывной на мн‒ве {М}, если онанепрерывна в ∀ точке {М}.Пусть для ∀ М (х1, ..., хт) из области задания ф-ции и А(а1, ..., аm) : x1 ‒a1 = Δx1, …, xm ‒ am = Δxm . Полное приращение и = f (М) в А:Δu = f (М) ‒ f (A) = f (a1 + Δx1, … , am + Δxm) ‒ f (a1, … , am)Для непрерывности и = f (М) в А необходимо и достаточно, чтобы ееприращение Δu являлось бесконечно малой в А функцией:∆ = 0lim ∆ = lim �() − ()� = 0 или lim→→→1… 1 →Это разностная форма условия непрерывности и = f (М) в А .Зафиксируем все xi , кроме k‒го, xk придадим ∀ приращение Δхk,чтобы (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания f (М).Частное приращение в М (х1, …, хт), соответствующее Δхk :Δxk u = f (x1,…, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ‒ f (x1, x2… , xm)Ф‒я и = f (х1, ..., хт ) называется непрерывной в М (х1, …, хт) попеременной х , если частное приращение Δ u этой ф‒и в точке МУ((х.Доп{→ое3εссД=зbbс4{в…Это разностная форма условия непрерывности и= →f (М)вА.Эторазностнаяформаусловиянепрерывностии=f(М)в АΔх.
,Зафиксируем все xi , кроме k‒го, xk придадим ∀ приращениеkЗафиксируемвсеx,кромеk‒го,xпридадим∀приращениеΔхikчтобы (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания f (М). k,чтобы(x1,приращение…, xk‒1, xk + Δx, x(х, xm) ∈ области задания f (М).k+1,…Частноев kМ1 …, хт), соответствующее Δхk :ЧастноевМ1, …, хт), соответствующее Δхk :Δxkприращениеu = f (x1,…, xk‒1, x(хk + Δxk, xk+1… , xm) ‒ f (x1, x2… , xm)xk‒1, xk + Δxf (x)k, xk+1… , xm)в ‒М2…х , )xmпоФ‒я и =Δfxk(хu1,=...,f х(xт1),…,называетсянепрерывной(х11,, x…,тФ‒яи = f (х1х, k...,хт ) частноеназываетсянепрерывнойМ (хф‒и1, …,вхточкет) по Мпеременной, еслиприращениеΔxk u вэтойпеременнойхk , если частноеприращениеΔxkk u: этой ф‒и в точке Мявляется бесконечномалой функциейот Δхявляется бесконечно малой функциейот0Δхk :lim ∆ =∆lim →0 ∆ = 0∆Из непрерывности и = f (х1, ...,х→0т ) в М => ее непрерывность в М по ∀Изнепрерывностиf (х1, ..., хнет.т ) в М => ее непрерывность в М по ∀переменнойх1, ..., хит.=Наоборот..., хит.
gНаоборотнет.переменной1°. У1.Пустьх1f, (М)(М) непрерывныв А. Тогда f (М) + g (М),1°.У1.Пустьf(М)иg(М)непрерывныв А. Тогда f (М)g (М), приf (М) ‒ g (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) непрерывнывА+(частноеg (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) непрерывны в А (частное приgf (М)(A) ≠‒ 0).gДок‒во.(A) ≠ 0).f (М) и g (М) непрерывны в А => по О1 они имеют в АДок‒во.непрерывнывА=> по О1они+имеютпределы f f(М)(А) ии gg (М)(А) =>предельныезначенияf (М)g (М), в Апределыf (А) иf (М)g (А)предельныезначенияf (М) +(М),f (М) ‒ g (М),· g=>(М),f (М) / g (М)существуюти gравныfсоответственно(М) ‒ g (М), f (М)g (М),f (А)· +g (А),f f(М)(А) /‒gg(М)(А),существуютf (А) · g (А), иf равны(А) / g (А) =>соответственноf(А)+g(А),f(А)‒g(А),f(А)·g(А),f(А) / g (А) =>по О1 они непрерывны в А.поониф-циинепрерывны2°. О1Пустьx1 = φ1(tв1,А.…, tk), …, xm = φ1(t1, …, tk) (1)2°.Пустьф-цииx=φ(t,…, xmЕk=, φt11,(t…,(1)11 1 …, tk),пр‒ва1, …,заданы на мн‒ве {N}евклидоваtk ‒tk)координатыkзаданыевклидовапр‒ваЕ , t1в, соответствие…, tk ‒ координатыточек в наЕkk мн‒ве=> ∀ N{N}(t1, …,tk) из {N}ставитсяс потточеквЕ∀ NМ(t1(х, …,tk)хиз{N} ставитсяв соответствиес помощью(1)=>точкапр‒ваЕ .
Пусть {М}1, ...,т) евклидоватмощью(1) точкаМ (х1, и...,= хfт(х) 1евклидовапр‒ва Е m. Пусть{М} мн‒во всехэтих точек,, ..., хт) ‒ функцияпеременных,kмн‒вовсех= f (х{N}хт) ‒ функцияm переменных,1, ...,пр‒вазаданнаянаэтих{М} точек,=> на имн‒веЕ определенасложнаяkзаданнаяЕ определенасложнаяфункция ина= {М}f (х1, =>..., хнагде х1{N}, ..., хпр‒ваопределяютсят),мн‒вет ‒ функциифункцияи =(1).f (х1, ..., хт), где х1, ..., хт ‒ функции определяютсяформуламиформулами (1).теоремы оых иМ).ел этойε>0< δ,}, если она..., аm) : x1 ‒) в А:… , am)У2. Пусть ф‒и x1 = φ1(t1, …, tk), …, xm = φ1(t1, …, tk) непрерывны в А(а1, ..., аk), а ф‒я и = f (х1, ..., хт) непрерывна в В (х1, ..., хт), где bi = φi(а1, ..., аk), i = 1, ..., т.
Тогда сложная ф‒я и = f (х1, ..., хт), где х1, ...,хт ‒ определенные выше ф‒и аргументов t1, …, tk , непрерывна в А(а1,..., аk).Док‒во. Пусть {Nn}, Nn ≠ A ‒ ∀ сходящаяся к А посл‒сть точек изобласти {N} задания функций φi (t1, …, tk), а {Мn } ‒ соответ-щаяпослед‒сть точек: хi(n) = φi (t1(n), …, tk(n)). Ф‒и φi непрерывны в A =>{Мп} → В (b1 ..., bт). Ф‒я и = f (х1, ..., хт) непрерывна в В => {f (Мn )}→ f (B). Но {f (Мn )} ‒ это послед‒сть значений слож-ной функции,отвечающая сходящейся к А последовательности {Nп} точек областиее задания => непрерывность сложной ф-ции.3°. Т1.
Если и = f (М) непрерывна в А ∈ Е т и f (А) ≠ 0, то Ǝ такаяε‒окрестность точки А, в пределах которой во всех точках областисвоего задания f (М) не обращается в 0 и имеет знак, совпадающийсо знаком f (А) .bb+‒ εεb+εсохрасохр4°.Т24°.{М}Тев{М}точвтоf (А)f (А)целикцелиДок‒вДок‒непренепрраспохраспт), гдхт),β]г[α,[α, 1βф‒яф‒я 1прохопрохмежумежучениечени5°.Т35°.томТотомДок‒вДок‒послепослВейер{ВейеМkn{Мknизнепиз неПротиПрот6°.Т46°.ТогранограсвоихсвоиДок‒вДок‒достидостфункцфункнепренепрдлявсдля вNт.к.т.к.протипрот7°.Фу7°. Ф{М}еи{М}М" ∈и М"Т5(оТ5 (оогранограДок‒вфункцДок‒Ǝфункε>М")Ǝ ε <>дляМ")∀<ε>0δ,<δ,δ,еслиона,еслиеслионаона., аааmm))):::xxx11 ‒‒‒..,...,m1ввА:А:А:,a…,,aammm))), чтобыо,о,чтобычтобыееее==000ААА...ееΔхΔхΔхkk,k,,М).М).М).kхkk:::xxmxmm)))попот)) пот)точкеММточкеМточкеМпопо∀тьМпо∀∀ьтьвввМg(М),(М),(М),астноеприприастноестное приттвввАААМ),),,ныны)ы//gg(А)(А)=>=>/ g (А) =>инатынатынатыпосспосМ}поМ}-М}нных,нных,жнаяных,жнаяютсяжнаятсятсяп1т Ф‒я и = f (х ,1 ..., х )т непрерывна в В => {f (М )}n{М{Мпп}} →→ ВВ (b(b11 ...,..., bbтт).).
Ф‒я и = f (х11, ..., хтт) непрерывна в В => {f (Мnn)}→f (B). НоНо {f (М(М )}‒‒этоэто послед‒стьзначенийзначенийслож-нойслож-нойфункции,→функции,→ ff (B).(B). Но {f{f (Мnnn)})} ‒ это послед‒стьпослед‒сть значений слож-нойфункции,отвечающаясходящейся к Апоследовательностипоследовательности{N{N} точекобластиотвечающая}пточекобластиотвечающая сходящейсясходящейся кк АА последовательности {Nпп} точек областиеезадания=> непрерывностьнепрерывностьсложнойсложнойф-ции.ф-ции.ееф-ции.ее заданиязадания =>=>непрерывностьсложнойт т и f (А) ≠ 0, то Ǝ такаят3°.Т1.Еслии=f(М)непрерывнавА∈Е3°.Т1.Еслии=f(М)непрерывнавА∈Еи ff (А)(А) ≠≠ 0,0, тото ƎƎ такаятакая3°.
Т1. Если иε‒окрестностьточкиА,впределахкоторойвовсехточкахобластиε‒окрестностьво всехвсех точкахточках областиобластиε‒окрестность точки А, в пределах которой восвоегозадания(М)ненеобращаетсяобращаетсяв в0 0и иимеетимеетзнак,совпадающийсвоегоимеетзнак,совпадающийсвоего заданиязадания ff(М)знак,совпадающийсознаком(А) ..со знакомзнаком fff (А)(А)Док‒во.= fff (М)(М)непрерывнанепрерывнаввАА=>=>попоО1О1Ǝ Ǝlimlim()=,lim()= ,, гдегдегде→Док‒во. иии ==(М)()=bb b→→== ff (A)и попо О2О2длядля∀∀εε>>00ƎƎδδ>>0,0,чточтодлядлявсехвсехобластивсехММизизобласти(A) ≠≠≠ 000 иипоМизобластизаданияф‒и :: ρρ (М,(М,А)А)<<δ,δ,выполняетсявыполняется| f| (М)f (М)‒‒ f‒f (A)f (A)ε =>(М)(A)ε =>=>задания ф‒и|| <<| ε<bb ‒‒ εε < f (М)(М) << bb ++εεприприρρ(М,(М,А)А)<<δ.δ.ЕслиЕсливзятьвзятьεε <ε< <‒ ε,взять|b|,|b|,тото|b|,тоbb ‒‒bε,ε,ε‒окрестности(М)bb ++ εε ии bb будутбудутодногознаказнака=>=>всюдувсюдув вε‒окрестностиε‒окрестностиff (М)f (М)будут одногосохраняетсохраняет знакзнаксохраняетзнак числачислаbb==f f(A).(A).4°.
Т2.Т2. Пустьсвязногомн‒ваточкахсвязногомн‒ва4°.Пусть ии ==ff(М)(М)непрерывнанепрерывнавововсехвсехточкахточкахсвязногомн‒ватт{М} евклидоваэтойфункциизначенияэтойфункции{М}евклидова пр‒вапр‒ваЕЕ , ,причемпричемf f(А)(А)и иf (В)f (В)‒ ‒значениязначенияэтойфункцииточках АА ии ВВмеждувв точкахчисломеждуточкахВ этогоэтогомн‒ва.мн‒ва.ПустьПустьСС‒ ‒∀∀числочисломежду(А) ии fff (В).(В). ТогдаТогдаАА иАff (А)L,L,соединяющейсоединяющейиВВиииВ и(В).Тогданана∀∀непрерывнойнепрерывнойкривойкривойL,соединяющейцеликом расположеннойрасположенной вв{М},целикомС.С.целикомрасположенной{М},ƎƎNN: :f (N)f (N)= =С.Док‒во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
