Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если ∫ ( ) > >0 =>разделиввсевсечастипрохождении непрерывнойфункции через любое промежуточное ( ) , получимнеравенств(9)на∫( ) ,неравенствзначениеƎ ξ(9)∈ на[p, ∫q](=>ξ∈ [а,получимb]) : f (ξ) = μ => (10) примет вид ( ) значения: ∫ ( ) ( )1‒й формулы∫∫среднего()()()( ) ( )∫ ≤≤,пусть=≤≤ , пусть = ( ( ) )()()()∫∫() �≥−()()∫ ∫ => получимполучим(12).(12).=>1‒яформула среднего значения в обобщенной форме (13). Пусть fЕсли(х)интегрируемынепрерывнананана[а,[а,[а,b],b]b],где≤≤μМ,≤ М,Еслиff(х)непрерывнатодля∀μ,∀μ,т ≤тμграни(х)и g(х)итотидляМ‒ гдеточныеf (х) на [а,Ǝξ∈[а,b]:f(ξ)=μ=>(12)переходитв(13).Ǝξ∈[а,b]:f(ξ)=μ=>(12)переходитв(13).b].
Пусть g(х) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0) на всем [а, b]. Тогда Ǝ μ, где т ≤ μ ≤2‒я формулаформуласреднегозначениязначения(формулаБонне).Еслина b][а, b]2‒ясреднего(формулаБонне).Еслина [а,М, что ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ()функцияg(х)g(х) монотонна,монотонна,а аf (х)f (х)интегрируема,интегрируема,∈ b]:[а, b]:функциятотоƎ ξƎ∈ξ[а, ξ) ∈ [а, b]: ∫ (( ) =Если f (х) непрерывнана [а, b], то Ǝ)� �+ ()()( �)==(()�) �(()) � (() )((+ () ) () ∫ () () 8. Основнаяформула интегрального исчисления. Формулы()) частям.( ) = 0 => в качествеЕсли = 0 =>в силу (9), ∫ (по∫ переменногозаменыи интегрированияПустьf (х)взятьинтегрируемана ∀ ∫сегменте,в (а, всеb) и частис‒μ можно∀ число. Если( ) содержащемся> 0 => разделивнекоторая фиксированнаяточка (а, b).
Тогда для ∀ х ∈(а, b) f (х)()неравенств(9)на,интегрируема на [с,∫х] => на(а, получимb) определена функция ( ) = ∫ (∫) (‒ )интегралс переменным верх.пределом.()( ) ( )∫≤≤,пусть=Т1. Любая непрерывнаяна интервале (а, b) функция f (х) имеет на()) ∫∫ (являетсяэтом интервале первообразную. Одной из первообразных=> получимф‒я ( ) = ∫(12).() , где с ‒ ∀ фиксированная точка из (а, b).Если f (х)непрерывнана [а,чтоb],длято для∀μ, где т ≤ μ ≤хМ,Док‒во.Достаточнодоказать,∀ фиксированного∈ (а, b)Ǝ предельноеξ ∈ [а, b]: f значение(ξ) = μ => (12) переходит в (13).Ǝ2‒я формула среднего значения(формулаБонне).
Если на [а, b]( + ∆) −()ОсновнпервообТ1 и З1,на [а, b]где С ‒ нПолагаясв‒во 1°некоторая фиксированная точка (а, b). Тогда для ∀ х ∈(а, b) f (х)интегрируема на [с, х] => на (а, b) определена функция ( ) = ∫ () ‒ интеграл с переменным верх. пределом.Т1. Любая непрерывная на интервале (а, b) функция f (х) имеет наэтом интервале первообразную. Одной из первообразных являетсяф‒я ( ) = ∫ () , где с ‒ ∀ фиксированная точка из (а, b).Док‒во. Достаточно доказать, что для ∀ фиксированного х ∈ (а, b)Ǝ предельное значение ( + ∆) − ()lim= ()Δ→0∆По св‒ву 6° определенных интегралов:+∆ ( + ∆) − ( ) = �() − � () +∆= � () + �+∆=�() − � () () = (по 1 − й формуле среднего значения)= ()Δгде ξ ‒ число между числами х и х + Δx.
f (х) непрерывна в точке х=> при Δx→0 f (ξ)→f (x) => ( + ∆) − ()lim= lim () = ()Δ→0lim∆Δ→0З1. Аналогично доказывается теорема о существованиипервообразной у непрерывной на сегменте [а, b] функции, а вкачестве нижнего предела интегрирования с можно взять а.З2. При док‒ве Т1 установлено существование производной отинтеграла с переменным верхним пределом и доказано, что этапроизводная равна подынтегральной функции�� () � = () З3. Если f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b), тоинтеграл с переменным верхним пределом является непрерыв-ной на(а, b) функцией от верхнего предела. Докажем, что прира-щение ΔF=F (х +Δx) ‒ F(х) функции ( ) = ∫ () стремится к нулю прина [агде СПоласв‒вэто оНьюЗамеПуст1) f2) [ах=gнепр3) gТогдопреРассТ.к.сложпричх=g=> ФпервΔx→0.
В силу ∫ ( ) ≥ ( − ) :+∆∆ = ( + ∆ ) − ( ) = ∫ () = ∆,где число μ лежит между ТВГ и ТНГ гранями f (х) на [х, х+Δx] =>ΔF→0 при Δx→0.СравФорнепрпроизводная равна подынтегральной функции�� () � = () З3. Если f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b), тоинтеграл с переменным верхним пределом является непрерыв-ной на(а, b) функцией от верхнего предела. Докажем, что прира-щение ΔF=F (х +Δx) ‒ F(х) функции ( ) = ∫ () стремится к нулю припричемх = g(t).=> Ф(g(tпервообΔx→0. В силу ∫ ( ) ≥ ( − ) :�+∆ () ∫∆ = ( + ∆ ) − ( ) == ∆,где число μ лежит между ТВГ и ТНГ гранями f (х) на [х, х+Δx] =>ΔF→0 при Δx→0.улы, b) и с ‒f (х)м.меет навляется, b).∈ (а, b)Основная формула интегрального исчисления. Любые 2� первообразные данной f (х) отличаются на постоянную => согласно[Т1 и З1, можно утверждать, что ∀ первообразная Ф (х) непрерывной т.
к. ′ (на [а, b] функции f (х) имеет вид:Ф() = � () + где С ‒ некоторая постоянная.Полагая в этой формуле сначала х = а, а затем х = b и используясв‒во 1° определенных интегралов:Ф() = ,Ф() = � () + =>� () = Ф() − Ф() = Ф( )|()() чения)точке хавСравнивФормулнепрерыэто основная формула интегрального исчисления (формулаНьютона —Лейбница).Замена переменной под знаком определенного интеграла.Пусть выполнены условия:1) f (х) непрерывна на [а, b]2) [а, b] является множеством значений некоторой функциих = g(t) , определенной на α ≤ t ≤ β и имеющей на этом сегментенепрерывную производную;3) g(α)=a, g(β) = b.Тогда справедлива формула замены переменной под знакомопределенного интеграла:� ( ) = � (()) ′ ()()Рассмотрим некоторую первообразную Ф(х) функции f (х). По (1):� () = Ф() − Ф()()и (х)V (х)(1):=> по св4.
Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признакисходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.5.Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.6.Криволинейный интеграл, формула Грина.7.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.Аналитическая функция.8. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.9. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя,равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.10. Прямая и плоскость, их уравнения. Взаимное расположение прямой иплоскости, основные задачи на прямую и плоскость.11. Алгебраические линии и поверхности второго порядка, каноническиеуравнения, классификация.12.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.13. Линейный оператор в конечномерном пространстве, его матрица. Нормалинейного оператора.14. Ортогональные преобразования эвклидова пространства. Ортогональныематрицы и их свойства.15. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа исобственные векторы.16. Формализация понятия алгоритма (машины Тьюринга, нормальныеалгоритмы Маркова). Алгоритмическая неразрешимость.Изображение клетки завершается символом &, отмечающим конец "содержимого"клетки.Каждую строку таблицы переходов представим конкатенацией символа & ипоследовательности цепочек, изображающих составляющие строку клетки.
И, наконец,клеткизавершаетсясимволом всех&, отмечающимконец "содержимого"всюИзображениетаблицу переходовпредставимконкатенациейцепочек, изображающихстроки, иклетки.цепочки&&, отмечающей конец изображения. В этой конкатенации цепочки,Каждую строку таблицы переходов представим конкатенацией символа & иизображающиестроки,берутсяв порядке составляющиевозрастания номеровсоответствующихпоследовательностицепочек,изображающихстроку клетки.И, наконец,состояний.Введенноепредставление(изображение)таблицыпереходоввсю таблицу переходов представим конкатенацией всех цепочек, изображающихмашиныстроки, иТьюрингаможноиспользоватьдлярешенияследующейзадачи.цепочки &&, отмечающей конец изображения. В этой конкатенации цепочки,Если машинастроки,Тьюрингаприменимак полученномутаким образомслову,изображающиеберутсяв порядкевозрастания номеровсоответствующихсостояний.Введенноепредставление(изображение)таблицыпереходовмашиныизображающему ее таблицу переходов, то мы будем говорить, что эта машинаТьюринга можноилииспользоватьдля решенияследующейзадачи.
этой машиной. Если жесамоприменимачто самоприменималгоритм,реализуемыйЕслимашинаТьюрингаприменимакполученномуобразомслову,конкретная машина не применима к рассматриваемому слову, тотакиммы будемговоритьоизображающемуеетаблицупереходов,томыбудемговорить,чтоэтамашинанесамоприменимости машины или о несамоприменимости алгоритма. Само по себесамоприменима или что самоприменим алгоритм, реализуемый этой машиной. Если жепонятие самоприменимости выглядит весьма экзотически.
Однако оно оказываетсяконкретная машина не применима к рассматриваемому слову, то мы будем говорить опростымсредством длямашиныстрогого илидоказательстваинтересных и алгоритма.важных утвержденийнесамоприменимостио несамоприменимостиСамо по обсебеалгоритмическойнеразрешимостинекоторыхпроблем,касающихсяалгоритмов.понятие самоприменимостивыглядитвесьмаэкзотически.Однакооно оказываетсяДокажемвсегодляследующуюпростым преждесредствомстрогого теорему:доказательства интересных и важных утверждений обалгоритмической неразрешимости некоторых проблем, касающихся алгоритмов.ДокажемпреждеТеорема1: всего следующую теорему:Теорема1:Несуществуеталгоритма, определяющего по изображению произвольного алгоритма,самоприменим он или несамоприменим.Не существует алгоритма, определяющего по изображению произвольного алгоритма,Доказательствосамоприменим он или несамоприменим.Предположим,что такой алгоритм существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
