Общая часть (часть 3) (2015) (by Кибитова) (1161599)
Текст из файла
x0n+1 = xn+1(xn+1 xn )2(xn+1 2xn + xn1),x0n+128. Методы Ньютона и секущих для решения нелинейных уравненийf (x), x 2 Rf (x) = 0.x⇤xx⇤⇤ x⇤x⇤aa aaUa (x⇤ ) = {x : |xf (x)f 0 (x) 6= 0,f (x⇤ )x)x⇤x⇤ | < a},⇤⇤⇤⇤ {xUUaa(x(x)=={x :: |x|x xx⇤||x<<⇤ |a},a},Ua)(x< a},⇤ ) = {x : |xUa (x ) = {x : |x x⇤ | < a},xff0(x)2f (x)Ua (x⇤ )Ua (x⇤ )(x)0⇤⇤) ⇤f (x)0fUxx0 2aa(x(x)2U2(x) )xUa (x0x 2 Ua (x⇤ )x 2 Ua (x⇤ ).⇤⇤ ⇤ff00(x)6=).(x)6= 0,0,2xUU2aa(x(x).⇤ ).f 0 (x)6= 0,xx 2Ua (xf 0 (x) 6= 0,x2U⇤ax 2 Ua (x )(x ).⇤ff(x(xf⇤)(x) ⇤⇤ )ff (x ) = f(x(x)) + (x⇤⇤ 0x)f (x) + . . .⇤ ⇤⇤ ⇤00 0ff(x)(x(x)+(x)+..+..
.. . . .(xff⇤(x)==(x)+ (x(xx)f(x)++=(x)+⇤(x(x⇤ x)fx)f⇤ )f0 (x)) f=ff(x)+x)f(x)...⇤⇤) ⇤UUaa(x(x) )Ua (xUa (x⇤ )ff(x)(x)f (x)f (x)⇤⇤) ⇤xx 22UUaa(x(x)⇤ )U(xa (xxx22U)a⇤n⇤x)xn+1 (xx ⇤ (x⇤x) x)(x(xxx)nn+1n+1n+1x x xxx⇤⇤ x⇤⇤ xxn+1xn xnnx n+1 xx nx 0xnn xf (x ) + (xx )f (x ) = 0, n 2 Z+ .n nn+1n+1 nn n0 nn0 ) n=n 0,ff(x)) +(xZ.. + .n )(x(x+n+1(xn+1 xx )fxn0)f)f0 (x(x=0,0,nn 2(xffn(x+(x)f(x)=0,2n2Z2++)+(xx))=nZZ+.0nf (x ) 6= 0xn+1n ) 6=n )06= 0ff00(xn(x(xffn00 (x) 6=)06= 0f (xn )n+1nx=x, n 2 Z+ .n) n(xf 0 (xn ) xn+1nn nn ff(x(x) n )) 2 Z .ffn(xn+1n+1=xx=xxn+1=xn2Z2++ZZ.++.
.x= x f 00(x0nn0 ) ,n,n , ,nnn2(xf (x) ))ff (x n+1xxn+1xn+1xn+1 A (x0 , f (x0 ))x1Oxxx11 xxA11f (x)xx22xx22OxOxOxOxABA(xA 1 , f (x1 ))A⇤ff(x)fxf(x)(x)(x)nnxxnxxnfff(x)ff(x)(x)(x)(x)OxOxxnn0 ,0f0(x00))0 ))0A(x0(xA,(xf (xAA(x(x, f, f(x)) ))OxOxnn nn1 ,1f1(x11))1 ))1BB(x1(x, (xf (xBB(x(x, f, f(x)) ))⇤xxx⇤⇤x⇤ yyy yyAAAA ABx⇤ x2x1BBB Bx0x⇤ x2⇤2 2xx⇤⇤ xx2 xxx x11 1xx1 xx0xx00 x0xxx xxnf (x)yf (xn ) = f 0 (xn )(xxn ).xn+1x(xn , f (xn ))y = f (x)f (x)Ua (x⇤ )yx⇤xx1 x0 x2f (x)f (xn ), n 2 Z+ .f 0 (x0 )xn+1 = xnxn+1 = xnJ10(x)f (xn ), n 2 Z+ .f 0 (x) n+1xn+1xn(xn+1f1 (x1 , x2 ) = 0.f2 (x1 , x2 ) = 0nxn(x⇤1 , x⇤2 )f1 (x⇤1 , x⇤2 )(x1 , x2 )f1 (x⇤1 , x⇤2 ) = f1 (x1 , x2 ) + (x⇤1xn+1 = xn@f1 (x1 , x2 )@f1 (x1 , x2 )+ (x⇤2 x2 )+ ...1 )n )fx(x0⇤@x, n 12 Z+ , x 2 Ua (x ).
@x20nf (x )f (xn ) f (xnxn xn 1f 0 (xn )1) xn+1 = xn(xn xn 1 )f (xn ),f (xn ) f (xn 1 )n 2 N, x0 , x1.0 f (xn )xn+1 = xn f (x0 )n , n 2 Z+ , x0 2 Ua (x⇤ ).f (x )f 0 (xn )f 0 (xn )(xn xn 1 )f (xn )xn+1 = xn, n 2 N, x0 , x1nn1) n)xfn (x1n)f (x(x)n+1n f(xx=x, n 2 N, x0 , x1f (xn ) f (xn 1 )f (xn ) f (xn 1 )nn 1fx(xn )x f (xn 1 )xn xn1..yyf (x), x 2 Rf (x) = 0.x⇤axn+1 xnxn 1n+1 xnxxnUa (x⇤ ) = {x : |x x⇤ | < a},x1x f (x)x0(xn 1 , f (xn 1 )), (xn , f (xn ))(xn 1 , f (xn 1 )), (xn , f (xn ))[xn 1 , xn ][xn 1 , xn ]xn+1xn+1f (x)f (x)xn+1 = xnf (xn )f 0 (xn )xn+1xn+1OxOx, n 2 Z+ , x0 2 Ua (x⇤ ).S(x) = x f (x).f 0 (x)x 2 Ua (x⇤ )|S 0 (x)| < 1f (x)S(x)S 0 (x) = 1x⇤2 Ua(x⇤ )(f 0 (x))2 f (x)f 00 (x)f (x)f 00 (x)=.(f 0 (x))2(f 0 (x))2f (x⇤ ) = 0|S 0 (x)| < 1S 0 (x)z n = xnznS 0 (x⇤ ) = 0x⇤ .
z n+1z n+1 = xn+1z n+1x⇤ = S(z n + x⇤ )S(z n + x⇤ )S(x⇤ ).S 0 (x⇤ ) = 01z n+1 = S(x⇤ ) + S 0 (x⇤ )z n + S 00 (x̃n ) (z n )221S(x⇤ ) = S 00 (x̃n )(z n )2 ,2x̃n = xn + ✓z n , ✓ 2 R, |✓| < 1.Ua (x⇤ )f (x)S 00 (x) =✓f (x)f 00 (x)(f 0 (x))2◆0.⇤<S 0 (x)|S 0 (x)| < 1z n = xnznx⇤ .z n+1z n+1x⇤ = S(z n + x⇤ )z n+1 = xn+1S(z n + x⇤ )S(x⇤ ).S 0 (x⇤ ) = 01z n+1 = S(x⇤ ) + S 0 (x⇤ )z n + S 00 (x̃n ) (z n )221S(x⇤ ) = S 00 (x̃n )(z n )2 ,2x̃n = xn + ✓z n , ✓ 2 R, |✓| < 1.Ua (x⇤ )f (x)00S (x) =✓f (x)f 00 (x)(f 0 (x))2◆0.x 2 Ua (x⇤ )M > 0M>|z n+1 | 6 M |(z n )2 |.vnMvv n 6 (v 0 )n+1=vvnn ==MM|z|znn||MM6 (v ) .n+1vvn+166(v(vnn))22..2nnnvvnn66(v(v00))222n,M|z|znn| |66 MM zz00M12n|z n | 6M z0.M0<q<1M|z|z00| |qq==Mq = M |z0 |zn|x0 n+1| 6 M |(z nn)22|.|z|zn+1| 6 M |(z ) |.M |z n |n 2M |z n | 6 M z 01M1 00S (x) .2! 0,1122nnM zz00M..MMn1{z }n=000<<qq <<11|z|znn| |661 00S (x) 6 M,2|x0|xn M>> 00Mx 2 Ua (x⇤1).1 0000(x) 66M,M, xx22UUaa(x(x⇤⇤).).SS (x)220xx0x⇤ | <1,M1x |6M |x0M⇤n+11{znn}}1{zn=0n=0(0 << qq << 1)1)qq (00⇤11|x|x0 xx⇤ | |<<MMM >0x0,,n! 0,0,zzn n!1!n!1q (0 < q < 1)n!11x⇤ | < M01100<<|z|z0 | |<<MM22nnn1|x00 xx⇤⇤||<< 1 ,,|xMM ⇤x |2n.|xnn|x⇤⇤11 M |x00 x⇤⇤ |xx⇤ | |66 M M|xx | M⇤0⇤n22n..|xnx⇤ | 61M |x0Mx⇤ |2n.xn+1 = S(xn )S(x⇤ ) = x⇤0 ⇤)0⇤S (x ) = 1 ff 0 (x(x0 )S 0 (x⇤ ) 6= 0x0x⇤ 29.
Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальныхуравнений. Примеры методов Рунге-Кутта.8< du = f (t, u(t)),dt:u(0) = u ,0u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , um (t))T|u(t)| =t > 0,f (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t))Tqu21 (t) + u22 (t) + . . . + u2m (t).f (t, u(t))R = {|t| 6 a, |u(t)u(0)| 6 b, a, b 2 R}Rkf (t, u)f (t, v)k 6 Lkuvk,(t, u) (t, v) 2 Ru(t)u(t) = u(0) +Ztf (x, u(x))dx0 un (t)un+1 (t) = u(0) +Ztf (x, un (x))dx.0f (t, u)u(t) 8< du = f (t, u(t)),dt:u(0) = u ,0t > 0,8< du = f (t, u(t)),dt:u(0) = u ,0t > 0,⌧ >0!⌧ = {tn = n⌧, n 2 Z+ },un = u(tn ) fn = f (tn , un )utn+1 , n 2 Z+y8< yn+1 yn = f (t , y ),n n⌧:y = u , n 2 Z .00+yn+1 = yn + ⌧ fn ,zn = y ntn 2 w ⌧n 2 Z+ .un , n 2 Z + .kzn k 6 M ⌧M⌧⌧ n ==nn =uun+1un+1n+1un+1 unun+1un + f (tn , un ).n+1+ f (tn , un ).⌧⌧tntnnuun+1 ==uun ++⌧⌧uu0n00 +⌧ 22 .+OOn+1 = unn + ⌧ unun+1O ⌧⌧ 2 ..n+uun+1 uunn+1un+1unn ==uu0n00 +⌧ .+OO= unn +O ⌧⌧ ..⌧⌧⌧nn==n = uu0n00 ++ff(t(tnn,,uunn))+O ⌧⌧ ..unn + f (tn , un ) ++OO ⌧ .uu0n00 ++ff(t(tnn, ,uunn))==00unn + f (tn , un ) = 0nn==OO ⌧⌧n =O ⌧⌧⌧⌧...
⌧⌧⌧tn+t 11 ==ttnn++0.5⌧,0.5⌧,nn 22 ZZ++..t n+212 = t + 0.5⌧, n 2 Z . =O ⌧ .n⌧⌧⌧⌧tn+ 1 = tn + 0.5⌧, n 2 Z+ .2tn+ 1 = tn + 0.5⌧, n 2 Z+ .tn+12tn+1tn ! tn+ 1tn ! tn+ 12yn+ 1ynyn+ 1 2 yn0.5⌧20.5⌧yn+12! tn+1 .! tn+1 .= f (tn , yn ).= f (tn , yn ).ynyn+1 yn = f (tn+ 1 , yn+ 1 ),⌧= f (tn+ 1 , 2yn+ 1 ),222⌧y0 = u 0 n 2 Z +y0 = u 0 n 2 Z +y= y + ⌧ f (t, y + 0.5⌧ f (t , y )).1n+1= y n+ ⌧ f (t n+nn nyn+1nn+ 1 ,2yn + 0.5⌧ f (tn , yn )).2⌧⌧ yn+1yn+1yn ynf (t,f (t,u)u)!⌧!⌧fnf, nf,nfn1 , 1.
,. .. ., .f,nfnm mtn+1[tn[t,nt,n+1] ]yn+1yn+1tn+1tn+1 yny,ny,nyn1 ,1.,....,.y,nynmm⌧tnt,nt,ntn1 ,1.,....,.t,ntnmm!!⌧1)⌧t tn==n⌧n⌧t tn+1==(n+1)⌧(n+1)⌧1 =tntn1 =(n(n 1)⌧nn+1t,ttn n1 ,1tn nt t==yn+1 y ynyn+1n1 + f2 fn== 1 f1nfn1 +2 n⌧⌧1122n+1 =n+1 =O(⌧ 2 )O(⌧ 2 ) un+1 u unun+1n1 + f2 fn++ 1 f1nfn1 +2 n⌧⌧n+1n+1tn+1tn+1un+1 un⌧2un+1un = 0u0n+1 ⌧ 00u00n+1 + O(⌧2 ),=uu⌧2n+1 + O(⌧ ),n+1⌧2@unf (t , u ) = f (tn+1 ⌧, u(tn+1 ⌧ )) = f (tn+1 ⌧, un+1 @u⌧ n + O(⌧ 2 )) =f (tn , nun )n= f (tn+1⌧, u(tn+1 ⌧ )) = f (tn+1 ⌧, un+1 ⌧ @t+ O(⌧ 2 )) =@t@fn+1@un @fn+1@fn+1@fn+122@u@f@fn+1= fn+1 @f⌧ n+1⌧ n @fn+1 + O(⌧)=f⌧⌧ fn+1+ O(⌧n+1n+122 )== fn+1 ⌧@t ⌧ @t @u + O(⌧ ) = fn+1 ⌧@t ⌧ fn+1@u + O(⌧ ) =@t@t @u@t@u= fn+1 ⌧ 00u00n+1 + O(⌧2 2 ),= fn+1⌧ un+1 + O(⌧ ),2f (t,u) = fn+1 2⌧00u00n+1 + O(⌧).f (tn n1 , 1un n1 )1= fn+12⌧ un+1 + O(⌧ 2 ).n+1==u0u0n+1 + ( 1 + 2 )fn+1 + ⌧00u00n+1 (0.5+ ( + )f+ ⌧u(0.5222) + O(⌧ 2 ).)1+ O(⌧ 2 ).
= fn+1@fn+1⌧@t@un @fn+1⌧+ O(⌧ 2 ) = fn+1@t @uf (tnn+1=1 , un 1 )u0n+1 + (1+= fn+12 )fn+1@t@fn+1⌧@t@fn+1+ O(⌧ 2 ) =@u= fn+1 ⌧ u00n+1 + O(⌧ 2 ),⌧ fn+12⌧ u00n+1 + O(⌧ 2 ).+ ⌧ u00n+1 (0.5221)+ O(⌧ 2 ).O(⌧ 2 )n+11+2= 1,0.5221= 0.1yn+1 yn3= fn⌧21fn21,=0.52= 1.5n = 1, 2, . . .y0y1y0 = u(0)y1u(⌧ ) = u(0) + ⌧@u(0)+ . . . = u(0) + ⌧ f (0, u(0)) + . . .@ty1 = u 0 + ⌧ f 0 88yyn+1yynn>n+1== 11KK11++ 22K>K22, , nn22ZZ++><><⌧⌧yy00==uu00, ,>>>:>:K1 = f (tn , yn ), K2 = f (tn + a2 ⌧, yn + b21 ⌧ f (tn , yn )),K1 = f (tn , yn ), K2 = f (tn + a2 ⌧, yn + b21 ⌧ f (tn , yn )),, ,bb212122RR1 ,1 , 2 ,2 ,aa22KK11 KK22yyn+1yynnn+1== 11ff(t(tnn, ,yynn))++ 22ff(t(tnn++aa22⌧,⌧,yynn++bb2121⌧⌧ff(t(tnn,,yynn)).)).⌧⌧nn==uun+1n+1 uun+1nnn+1 uu++ 11ff(t(tnn, ,uunn))++ 22ff(t(tnn++aa22⌧,⌧,uunn++bb21(tnn,,uunn))))..21⌧⌧ff(t⌧⌧ttnnuun+1n+1 uunn = u0 0 + ⌧⌧u0000+ O ⌧ 22 .= unn + unn + O ⌧ .⌧⌧22ff(t(tnn++aa22⌧,⌧,uunn++bb2121⌧⌧ffnn))(t(tnn,,uunn))@f@f@fn@fn2ff(t(tnn++aa22⌧,⌧,uunn++bb2121⌧⌧ff(t(tnn, ,uunn))))==ff(t(tnn, ,uunn))++aa22⌧⌧ n ++bb2121⌧⌧ffnn n ++OO ⌧⌧ 2 ..@t@u@t@u✓✓ ◆◆dd du@f@fdu@f @f@f@u@u @f@f@f==++==++ff ..u =dt@t@udt dtdt@t @u@u@t@t @t@t@uu0000=nn✓✓◆◆@f@f@fnn@fnn00++ffnn++OO ⌧⌧22 ++ 11ff(t(tnn,,uunn)+= uunn 0.5⌧0.5⌧)+nn=@t@u@t@u✓✓◆◆@f@f@fn@fn++ 22 ff(t(tnn, ,uunn))++⌧⌧aa22 n ++⌧⌧bb2121ffnn n ++OO ⌧⌧22 ..@t@u@t@u du =dt00✓dudt◆=@f@f @u@f@f+=+f.@t@u @t@t@unnnu0n=+(1✓◆@fn@fn=0.5⌧+ fn+ O ⌧ 2 + 1 f (tn , un )+@t@u✓◆@fn@fn+ 2 f (tn , un ) + ⌧ a2+ ⌧ b21 fn+ O ⌧2 .@t@uu0n+2 )f (tn , un )+⌧✓(a2@fn0.5)+ (b21@t22◆@fn0.5)fn@u+ O ⌧2 .⌧n⌧+22 a2=1=12 b21= 0.5⌧⌧n= O ⌧2 .
11+2=1=212=1a = a2 = b12yn+1 yn= (1⌧)K1 + K2 ,K1 = f (tn , yn ), K2 = f (tn + a⌧, yn + a⌧ f (tn , yn ))= 1, a = a2 = 0.5, b = b21 = 0.5O ⌧2= 0.5, a = 1, b = 1⌧8< yn+1 yn = 0.5 (f (t , y ) + f (t + ⌧, y + ⌧ f )) ,n nnnn⌧:y = u .008< yn+1 yn = (1⌧:y = u .00n 2 Z+)f (tn , yn ) + f (tn + a⌧, yn + a⌧ f (tn , yn )),zn = y nun , n 2 Z. n 2 Z+!⌧ = {tn = n⌧, ⌧ > 0, n 2 Z+ }.yn = y(tn )!⌧ynun = u(tn )fn = f (tn , yn )mtn+1n 2 Z+mK1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + a2 ⌧, yn + b21 ⌧ K1 ),8K3 = f (tn +<ay3n+1⌧, yn +ynb31 ⌧ K1 + b32 ⌧ K2 ),= 1 K1 + 2 K2 + .
. . + m Km⌧...:y = u , n 2 Z ,00+Km = f (tn + am ⌧, yn + bm1 ⌧ K1 + bm2 ⌧ K2 + . . . + bmm 1 ⌧ Km1, 2, . . . , m 2 R1,2, . . . ,m2R8< yn+1 yn = K + K + . . . +1 12 2m⌧X:y = u , n 2 Z00+ , i = 1.1 ). m Kmi=1mm>4mXi= 1. i=1m=3myn+1 yn1= (K1 + 4K2 + K3 ),6m>4 ⌧K1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + 0.5⌧, yn + 0.5⌧ K1 ),m=3K3 = f (tn + ⌧, yn ⌧ K1 + 2⌧ K2 ).yn+1 yn1= (K1 +⌧4K2 + K3 ),⌧6m=4yn+1K1 =ynf (tn1, yn ),= (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ),K⌧2 = f (tn6+ 0.5⌧,yn + 0.5⌧ K1 ),K3 = f (tn + ⌧, yn ⌧ K1 + 2⌧ K2 ).K1 = f (tn , yn ),⌧K2 = f (tn + 0.5⌧, yn + 0.5⌧ K1 ),m=4 K3 =yn+1ynf (tn1+ 0.5⌧, yn + 0.5⌧ K2 ),(K⌧,1 y+ 2K2 + 2K3 + K4 ),K⌧4 = f =(tn6+n + ⌧ K3 ).⌧K1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + 0.5⌧, yn + 0.5⌧ K1 ), K3 = f (tn + 0.5⌧, yn + 0.5⌧ K2 ),K4 = f (tn + ⌧, yn + ⌧ K3 ).u(t)u(t)f (t, u)f (t, u)yn8< du = f (t, u(t)),dt:u(0) = u ,0⌧t > 0,u(t)8t>0⌧ >0< du = f (t,u(t)), t > 0,!⌧ :=dt{t = n⌧, ⌧ > 0, n 2 Z+ }.u(0)n = u0 ,yn = y(tn )un = u(tn )t>0⌧ >0!⌧fn = f (tn , yn )u(t)30.
Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера. 31. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Методразделения переменных для решения первой краевой задачи. .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
