Общая часть (часть 1) (2015) (by Кибитова) (1161597), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из пп( − 0 )2 в М)(т.к.Δxиз1 (2)=>= Δxlim=0.∆ = 0функцияu функции−0 )2 +непрерывна�(=>при=…∆1m→0З. Если ф…мента xkА1 Δxlim...+ cosА∆‒0,главная,линейнаяотносительноприращений1 +→0т Δxm=>=т.е.lim=/2иπ‒касательная→0→0переменноднойаргументовчасть.Плоскостьπ,проходящаячерезточкуNповерхности,называется0плоскость к S в точке N0 .∆ = О.Дифференциаломdи дифф‒мойв М (ххт) междуф‒и этой1, ...,уголкасательнойплоскостьюв вэтойточке,еслиТ.о.,дифф-стьи=f(х,у)М(х,у)геометрическиозначает000иплоскостью= f (х1, ..., хти)секущей,называетсяглавная линейнаяотносительнопроходящейчерез точкуN0 и ∀ точку N1наличие касательнойплоскостик Nграфикуфункциии =вfМ.(х,Еслиу) вв Ф‒я и = f1 →0, … ,приращенийприращенияэтойфункцииповерхности,аргументовстремитсячастьк 0, когда1 → N0.функциейточкевNN00 (х, у0(1), u0все).
Т.к.А и В = производным,вычисленнымвпредставлениикоэффициентыствующееi = 0, то dиЕслиƎ 0касательнаяплоскость,то Акасательнаяв=N00 вк М.∀ кривой,(t х1, ..., tМ0 (х0, уdиплоскости: N∆Δxm ‒0), торасположеннойчерезлежит= АуравнениеΔx1поверхности+ ...+ Акасательной∆+⋯+() в0, 1 нат Δxmи=проходящей11переменной указанной плоскости.астьДифференциалdхнезависимойот х1, Т2 (Эйлеi0 ) + хi и‒(=∀ f(не−(х,зависящее − 0 дифф‒сти= ( −функцииМ (х1, ..., хт), Убедимся, что из условия0у)) в данной М0..., хт) число.
Пусть dхi = Δxi =>ется в не(х0, у0) => существование касательнойплоскостикграфикуSэтойточкестепени р() ƎНормальный{ , Δx1}ф‒ив точке N0вектор(х0, у0, un0=).= Пустьх+‒касательнойх0, Δy=y ‒ y0плоскости, Δu = u ‒ u0 ,1 ,+‒=⋯1=> условие (2):исла,, где аАαi 1,где и = f (х0, у0 ), и = f (х, у)называетсянормальюк поверхностии =x1f=(х,φ1у)N0tk(ху0,xum0=).функцияf (х1, ..., хт), где(t1,в…,), 0,…,, равные 0 Cложнаяu ‒ u0 = A(х‒ х0) + видаB(y ‒иy=0) + αΔx + βΔy= A(х ‒ х0) + +B(y ‒ y0) + o(ρ)φТ2, …, tk) (3) условие дифф‒сти).
Если и = f (х1, ..., хт) имеет Док‒во. П1(t1(достаточноегдеA=и В = (3)‒постоянныеи β ‒ бесконечномалыеТ1.Пустьфункциидифф‒мыв, αнекоторойМ(t1°, ...,tk°), окрестностиаприпроизводныее:а:сложнуючастныепо всем аргументамв некоторой22иΔx→=f(х,...,х)дифф‒мавсоотв‒щейN(х°,...,х°),где1т1т= �∆ все+ ∆М0 (х0,..., хт0,°),причемэти частные производные непрерывны в и = f (t х1°1°,Δy→х°=φ(t°,...,t°),i=1,...,т.ф‒я и =вfдекар-товой(х1, ..., хт) , гдеii 1я=и = f (х1, .УравнениеU ‒k u0дифф‒ма= A(х ‒ х0)вТогда+МB(y.
‒сложнаяy0) определяетМ,тофункция00хсистемеформулами(3), π,дифф‒мав М. Приэтом1, ..., хт определяются(х, у, U) некоторуюплоскостьпроходящуючерезN0 (х0, у0, чанию, м) и (3)Док‒во.Дляф‒и2переменныхи=f(х,у).Пустьf'иfxy' Ǝ в окчастныепроизводныеэтойсложнойфункциивМ:u0) и имеющую нормальный вектор n = {A, В, ‒ 1}.рестностиМ0φ(хмежду) иnнепрерывны 1 Nв0 Nней. Дадим х и у столь малые0, у0Косинусугла=и вектором+ ⋯ + 1 секущей с координатами х ‒Δх1 М1(х0 + Δх,у0 +Δу1чтобыхприращения0, y ‒ y0, и ‒ и0 : и Δу,1 ) ∈ этой окрестностигде б( − 0 ) …..+ ( − 0 ) − ( − 0 )(4)М0. Полное приращениеcos =f Δу)= ()1, у0 ) 2= [ Δх,2222Δu = f (х0 + Δх,у+‒(хf(х+000))(((√ + =+ 1� −+0⋯ ++ − 0 + − 00, уи0 =у0 условия+ Δу) ‒ fдифференцируемости(х0, у0 +Δу)]+[f1 (х+ fΔу)у)‒f(х0A(х, у0‒)]х0) +Из(х,=>й болееИз (13) =в+B(yкоторыхвсеберутсявточкеN,авсевточкеМ.‒y)‒(u‒u)=o(ρ)=>2) => (3)0Выражение[ f(х00 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 +Δу)] ‒ прира-щение ф-ции|()|f (х0, у0 +ПридадимΔу) |cosпеременнойх на t[х, х0tk+вΔх].Т.к.f...,(х,tk°)у) имеетДок‒во.точкеМ |и(t1(=°,)|∀1, 0…,|аргументам≤=22и ее производная поприращенияΔt1 ,…, Δtk, �одновременно≠−0.
дифф-маИм( −Из (12) ичастные производные,тоf (х0,)у0++(Δу)0 ) соответствуютприращенияΔx...,0,Δxт.m е.функцийМ. Им соответствуетИнвариан1Т, ==>lim→0limƎ→0(3)=вθ/2х ‒ этоfx'. cosПоЛагранжа,такое1 из и π ‒ касательнаяприращениев N. Т.к.плоскостьSΔuв точкеN и. = f (х1, ..., хт) дифференцируема в N =>0 < θ1 < 1:к[f (х0 + Δх, 0у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] =� ∆ = Т.о.,дифф-стьиу=+f (х,у)ΔхвМ0∆(х0, у+0)геометрическиозначает=θ1Δх,∆⋯+()= fx' (х∆Δу)0+101 ∆1 + ⋯ + ∆1 к графику функции и = f (х, у) вналичие касательнойплоскостиуниверсаx1 →0, … ,Ан‒но,длянекоторогоθиз0<θ<1:22точке N (х , у , u ). Т.к. А и В = производным, вычисленным в=и (3)приращения Δх и Δу, чтобы М (х0 + Δх, у0 + Δу ) ∈ этой окрестностиМ0.
Полное приращениеΔu = f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 ) = [ f (х0 + Δх,у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] +[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )]Выражение [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] ‒ прира-щение ф-цииf (х0, у0 + Δу) переменной х на [х0, х0 + Δх]. Т.к. и = f (х, у) имеетчастные производные, то f (х0, у0 + Δу) дифф-ма и ее производная пох ‒ это fx'.
По Т Лагранжа, Ǝ такое θ1 из0 < θ1 < 1: [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] == fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) ΔхАн‒но, для некоторого θ2 из 0 < θ2 < 1:[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )] = fy' (х0, у0 + θ2Δу ) Δуfx' и fy' непрерывны в М0 =>fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) = fx'(х0 , у0 ) + α,fy' (х0, у0 + θ2Δу ) = fy' (х0, у0 ) + β,где α и β ‒ бесконечные малые при Δx→ 0, Δy→ 0 =>Δu = fx' (х0 , у0 ) Δх + fy' (х0, у0 ) Δу + α Δх + β Δу=> и = f (х, у) дифф‒ма в М0.3.
Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних инижнихсуммах.4. Понятиеинтегрируемости4.интегрируемостифункции.функции.ЛеммыЛеммыДарбуДарбуо оверхнихверхнихи иПустьf(х)заданана[а,b],а<b,Т‒разбиение[а,b]:а=х<х1 < ...
<0нижних суммах.суммах.нижниххПустьп частичныхсегментов], ..., [хп‒1,[а,х[а,Пусть‒ 1∀<точкап = b на1разбиениеп].b]:Пусть(х)заданаb],а а==х0ξхi<х... <ff (х)задана нана [а,[а,b], аа<<b,b,[хТТ0,‒‒хразбиениеb]:0 <х1 < ... <[х= хi ‒ хi‒1 ‒сегментовдлина сегмента.Δ=max=, bbхi],наΔх[х[х00, ,хх1],..., [хп‒1,Δхх i]. Пусть ξ ‒ ∀ точкаххппi‒1=напп iчастичныхчастичныхсегментов1], ..., [хп‒1, пхп].
Пусть iξi ‒ ∀ точкаО1.где[хi‒1, ххii],], ΔхΔхI{‒ длина сегмента. Δ=max Δхi ii‒1,Числоii =[х=хххi,ii ξ‒‒i х},хi‒1i‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max ΔхО1. ЧислоЧисло I{О1.I{ ххii,, ξξii },}, гдегде ( )Δ{ , } = (1 )Δ1 + (2 )Δ2 + ⋯ + ( )Δ = �=1 ==�)Δ)ΔΔ11 +Δ22++⋯⋯++(()Δ{{ ,, }} == ((11))Δ+((22))Δ�(()Δназывается интегральной суммой f (х), соответствующейданному=1=1разбиениюсегмента [а, b]суммойи данномувыборупромежуточныхназываетсяТ интегральнойf f(х),соответствующейданномуназываетсяинтегральнойсуммой(х),соответствующейданномуразбиениюсегмента [а,b] и данномупромежуточныхточекξi на Тчастичныхсегментах[хi‒1, выборухi].разбиению Т сегмента [а, b] и данному выбору промежуточныхточекξ наI частичных, х ].О2.Числоназываетсясегментахпределом [хинтегральныхсумм I{ хi, ξi } приточек ξii на частичных сегментах [хi‒1i‒1, хi i].О2.
Числоназываетсяпределомсумм I{ хi, ξi[а,} приΔ→0,если IIдля∀ε >0 Ǝ δ=δ(ε):для интегральных∀интегральныхразбиения Т сегментаО2. Числоназываетсяпределомсумм I{ хi, ξi }b],приΔ→0,если дляΔ=max∀ε >0 Ǝдля ∀ разбиенияТ сегментадлякоторогоΔхδ=δ(ε):от выбораточек ξ[а,[хi‒1,i < δ, независимоi наb],Δ→0,если для ∀ε >0 ΔхƎ δ=δ(ε):для ∀ разбиенияТ сегмента[а, b],которого Δ=maxточек ξi на [хi‒1,хдлянеравенствоI{ хi, ξi } ‒ Iот|<выбораε.i < δ, |независимоi] выполняетсядлякоторого Δ=maxΔхi < δ,| независимовыбора точек ξi на [хi‒1,хi] выполняетсянеравенствохi,ξ{i }‒, I от|<} ε.
= I{limхi] выполняется неравенствоI{ хi,{ξi }, ‒ I} |< ε.Δ→0 = | lim О3. Ф‒я f (х) называется интегрируемой} Риману) на [а, b], если Ǝ = Δ→0lim { , (поΔ→0О3. Ф‒я fпредел(х) называетсяинтегрируемойРиману)на [а, b],I ‒если ƎконечныйI интегральныхсумм f (х)(поприΔ→0. ПределО3.Ф‒яf(х)называетсяинтегрируемой(поРиману)на [а,Ib],конечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0.Предел‒ если Ǝ()определенныйинтегралотf(х)по[а,b]:=∫конечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0.Предел I ‒()определенныйинтегралотf(х)по[а,b]:= на [а, b].∫Утв.Неограниченнаяна[а,b]ф‒яf(х)неинтегрируемаопределенныйинтеграл(х) по [а,неb]:интегрируема = ∫ ( )Утв. Неограниченнаяна [а,отb] fф‒янана[а, b].Док‒во.f (х) не ограниченана[а, b]f (х)=> она не ограниченаУтв.Неограниченнаяна [а,наb][а,ф‒я(х)онане неинтегрируемана [а, b].Док‒во.f (х)не, ограниченаb] f=>ограниченананекотором[хk‒1хk] ∀ данногоразбиенияТ [а,b]=> слагаемоеfДок‒во.f (х)не, ограниченанаразбиения[а, b] => онанеограниченананекотором[хх]∀данногоТ[а,b]=>слагаемоеfk‒1k(ξk) Δхi в I { хi, ξi} можно сделать как угодно большим по модулю занекотором,ξхi}k] можно∀ данногоразбиенияТ [а, большимb] => слагаемое(ξk) Δх{ξk‒1хi,=>сделатькак угоднопо пределамодулю за fi в I [хсчетвыбораI{ хi, ξi} неограничены=> ∄ конечногоk(ξξi}I{можносделатькак угодномодулю заk) Δхi в I {ξхi,=>счетвыборах•i, ξi} неограничены=> ∄ большимконечногопопределаkсумм.интегральныхсчетвыбораξkсумм.=> I{ •хi, наξi} [а,не b],ограничены=> ∄[а,конечногопределаинтегральныхПустьf (х) ограниченаТ ‒ разбиениеb] точкамиа = х0интегральныхсумм.•Пустьf(х)ограниченана[а,b],Т‒разбиение[а,b]точкамиа= х0<х1 < ...
< хп = b, Мi и mi ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [хi‒1, хi].<х1 < ...f (х)< х ограничена= b, Мi и miна‒ ТВГи ТНГf (х) на [х[а,хi].точками а = х0Пусть[а, b],Т ‒ разбиениеi‒1, b]Суммы =п∑=1=1 ∆ называются верхней и ∆ и = ∑∑=1<х<=хп ∑==1b, Мi∆иm‒ ТВГТНГf (х)[хi‒1, хi]. верхней иСуммыи=и ∆ наназываются1 < ... i длянижнейсуммамиf(х)данногоТ сегмента[а, b].нижней суммамидляданного[а, b].∑=1 f∆(х)∑=1ТсегментаСуммы=и=∆называютсяиДля ∀ I{ хi, ξi } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤верхнейS.Для ∀ I{ хсуммамиТ сегмента[а, b]: s ≤ I{ х , ξ } ≤ S.нижнейf (х)дляданногоi, ξi } разбиенияСвойстваверхних инижнихсумм. Т сегмента [а,i b].iСвойстваи нижнихсумм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
