Том 2 (1160084), страница 91
Текст из файла (страница 91)
о Очевидно у1 (и) )~ у(и), а для функции и, реализующей минимум функционала l(и) на множестве Л4, имеет место равенство l1 (и) = l(и). так как ).и=у". Таким образом, решение краевой задачи (44) — (45) реализует минимум и функционала (74). Если мы построим минимизирующую последовательность (а„(х, у)) функционала ./1(и), то.
ОЧЕВИДНО, ПРИ П вЂ” РСО Первый множитель в правой части ограничен некоторой постоянной С, а это означает при учете (75'), что 1и„(х, у)) равномерно сходится к и (х, у). Метод Треффтца. В методе Рнтца приближенное решение ищется в классе функций, уловлетворяюших краевым условиям, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. В противоположность этому в методе Треффтца приближенное решение ищется в классе функций. удовлетворяющих уравнению, но не удовлетворяющих краевому условию.
Пусть снова рассматривается краевая задача (44) — (45). Обозначим через и (х, у) решение уравнения (44) и пусть п,(х, у), оа(х, У), ..., о„(х, у) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е, 7-по — —,7; йо» вЂ” — 0 ()с=1, 2, ..., и).
(77) Тогда линейная комбинация и и~ (х У) = по+. Х алов а-1 (78) будет снова решением уравнения (44): Еи„=у'. Требуется так подобрать коэффициенты ав, чтобы функция и„(х, у) в каком-то смысле наиболее точно удовлетворяла граничным условиям (45). Например, можно подобрать а,, аа„..., а„так, чтобы интеграл 3,(и„) = ~ и„а(х, у)~(з г (79) принимал бы наименьшее значение., В этом случае для отыскания а,. аз, ..., а„мы получили бы систему линейных алгебраических уравнений д— ' — — 2~цр„гга=О (а=1, 2, ..., и), (80) г В методе Треффтца от и„требуется, чтобы разность и„и точного решения задачи и обращала в минимум функционал гз(и) / ~~Р [( ) +( — ) ~+Чи ~ггхг(у (81) 584 методы вешания див.
гелвнений в частных пгоизводных )гл. 10 Отсюда по неравенству Буняковского ) и„(х, у) — и (х, у)) < т. е. а,, а,, ..., а„подбирают так, чтобы обрашалась в минимум функция Ф(а,, от...., а„) = / /~Р (( д ) +( д ) )+ ю7 (и„— а)~( ихг(У. (82) о Следовательно, а,, аз, ..., а„должны являться решением системы доз 2 /' ('( ('д(и„— и) до» д(и„— и) до» ~+ ди» ./,/ ( 1 дх дх + ду ду) +д(и„— и) о») дх дУ =О (83) (й=!, 2, ..., и). Интеграл в (83) можно преобразовать так, чтобы неизвестное нам решение и не входило.
В самом деле, используя формулу Остроградского, интеграл в левой части (83) можно преобразовать так: ,/'.~'~ д (Р д"") д (Р д'")+') «)("и и) х "У+ о + / / '(д ~Р д„(и и)~+ д ~Р д (ии и)Цг(хг(У= ~ьо»(и — и) дхг(У+ ! ~Р— созпх+р — соз пУ~(а — и)г(з. ( до» до» и ,/ дх ду и в Так как (.о»=О, а и) =О, то систему (83) можно переписать в виде 1й ° = (83') (й=И 2, ..., и). г В эту систему и (х, у) уже не входит. Решая ее, находим а,, а,, ..., а„.
а следовательно и и„(х, у). Отметим, что если и„(х, у) — приближенное решение краевой задачи, полученное по методу Треффтца, а и(х, У) — точное решение, то имеет место неравенство /(ии) ~(,У(и) = Р, (84) т. е. метод Треффтца дает приближение к р снизу. 4. Метод Ритца решения задачи о собственных значениях. При решении ряда задач математической физики, в частности при решении уравнений в частных производных методом Фурье, приходится решать задачу о собственных значениях дифференциальных операторов.
Ф О) ВАРНАционные методы Решения кРАеВых ВАДАч 585 586 методы еешения дие. квлвнений в частных пяоизводных ]гл. 10 Рассмотрим несколько простейших задач о собственных значениях. Пусть требуется найти значения Л, для которых уравнение )и — Ли = — — ~р(х) — ) -]-суи — Ли =О. г «из «х ~ йх! (85) где р (х) — положительная непрерывно дифференцируемая функция, а у(х) — непрерывная на отрезке ]а, б] функция, имеет нетриви- альное решение, удовлетворяющее краевым условиям аси'(а)+])си(а)=0; сс,и'(б)+рэи(б)=0 (аз,+р,')О; 1=1, 2). (86) Рассмотрим гильбертово пространство У.э(а, б) и линейное множество М функций дважды непрерывно дифференцируемых на ]а.
б], удовлетворяющих краевым условиям (86). На этом множестве операторов у.и симметричен и ограничен снизу. действительно. если и, о ~ М, то ь С а'и! (У.и, о) = — 1 о — (Р— с!«х+ / дио«х= ах 1 «х) а а ь ь «и) С «и «и = — [ро — 1 + ( р — —;-«х+ ~ суио«х= «х~ ,/ «х ах а а ь ь [Р ( «х ™ «х)1 ~ сс «(Р «)«х+ ~ Улоск=(и, У.о),(87) l«иЛ (Уи, и)= ДР («х) +с)и~«х)~ гп!п ч(х) / из«х=И]]и]]ь, (88) 1а, Ь~ где И = пни су (х) . !а, Ь1 На основании общей теории п.
! для отыскания собственных значений Л оператора (.и с краевыми условиями (86) можно применить вариационные методы, в частности метод Ритца. Выбрав в М систему координатных функций ]уь(х)). обладающих свойствами, укаэанными в п. 1, ищем приближенное выражение для собственных функций в виде и„(х) = ~ иьуь(х). ь с (89) ибо в силу краевых условий (86) внеинтегральный член обращается в нуль, и 9 9 влвилционныв мвтоды гашения квлввых злдлч 687 Для отыскания значений а„ имеем систему уравнений (г=(, 2, ..., и), (90) где АО= / Чугу,г(х — / и — (Р и — '~у~ах, ВВ= / У;(х)уу(х)с(х, (9! ) в которой Л должно быть корнем уравнения Ап — ЛВн Ам — ЛВм ...
Ащ — ЛВл„ Ам — ЛВьз Ам — ЛВгв ... Аеи — ЛВеи = О. (92) Аи1 — ЛВил Аие — ЛВив ." Аии — ЛВии По доказанному ранее корни этого уравнения дают приближенные значения первых и собственных значениЯ. а функции (89), в которых аь есть решения системы (90) при Л, равном соответствующему корню уравнения (92), будут приближенными выражениями для соответствующих собственных функций. Рассмотрим теперь задачу о собственных значениях для оператора д ЛРд) д ( дг'+')' (93) гле р (х, у) — положительная непрерывно дифференцируемая в О+ Г функция, а д — непрерывная в 0-+Г функция.
Для примера рассмотрим краевые условия и ~г — — О. (94) Мы уже видели, что этот оператор симметричен на множестве М дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на Г. принадлежащих к гильбертову пространству Е,(0). Так как (Ви, и)= / ЯР ~~д— ) +)(д ) ~+9и'~г(хг(у)~ о )~ пппЧ(х,у) / ~ ивглхггу, (96) о и„(х. У) =,Я а о; (х, У). (96) то он ограничен снизу, т. е. и в этом случае применима общая теория п.
1, В соответствии с этоЯ теорией приближенные выражения для собственных функций ищем в виде 688 мвтоды гвшвния див, эялвнвнкй в частных пгоизводных 1гл. 10 где (о~(х, у)) — последовательность координатных функций, обладающая свойствами, указанными в п. 1. Для отыскания аг имеем систему уравнений вида (90), где теперь А,,= ~1ро,~,г7х 7У вЂ” 1 К (р — )+ — ~Р— '')) Х о о Х оу (хну= / /(Р ( — "' — "'-+~"',у"')+Чо~ог~йхг(У, о (97) Вы = / / оз(х, у)оз(х, у)Нхду, а приближенные значения собственных значений находятся как корни уравнения (92), где А,Р ВВ определяются равенствами (97).
Для отыскания коэффициентов а,, входящих в приближенное выражение собственных функциЯ (86), в системе (90) нужно положить ). равным одному из этих корней. Совершенно аналогично можно было бы рассмотреть и другие виды граничных условий, но на этом мы останавливаться не будем. б. Метод Гплеркииа решеиия краевых задач.
Метод Галеркина не является вариациоиным методом. Он ие требует предварительного сведения краевой задачи для дифференциального уравиенив в частных производных к вариационной задаче и поэтому он в некотором смысле более универсален, чем метод Ритца. Основная идея этого метода была изложена в Э 9 главы 9. Мы рассмотрим кратко его применение к решению краевых задач для уравиений в частных производных, ограничиваясь уравиениями вида д! ди1 д Г ди1 ди ди Еи = — — (р — / — — (р — /+г — +а — + уи =7 дх 1 дх/ ду 1 ду/ дх ду (98) и„(х, у) = ~ и1оз(х, у), (99) где о,, о,, ..., ои — первые п функций последовательности (оа(х, у)). обладающие следующими свойствами: 1) функции ог(х, у) дважды - иепрерывно дифференцируемы в О+Г; и граничными условиями вида (46). (46) или (47), При этом будем предполагать, что Р, г, а, д, 7 — непрерывные функции в рассматриваемой области О, включая границу Г, Р непрерывно дифференцируема и р(х, у) ) 0 в 04-Г.
В методе Галеркина приближенное решение краевой задачи для уравнения (98) с граничными условиями вида (45), (46) или (47) ищется в виде $ 9) ВАРиАционные методы РешениЯ кРАезых ЕАИАч 689 2) любое конечное число их линейно независимо; 3) для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции о, удовлетворяющей граничным условиям, и любого е ) 0 найдется такая линейная комбинация этих функций ~ а!Ей(х, у), что ! ! (100) Коэффициенты аз(1 = 1, 2...., и) определяются как решение системы ~ 1.(и„) ов(х, у) г(х Ху= = ~ ~ УЪА(х, У)с(х ЮУ (й=1, 2, ..., и) (101) или ~~'„А„)а)=ВА ',в=1, 2, ..., И), ! 1 (102) где Ав)= / ~ 1(о)) оь!~хе!У; В„= ~ ~ Гов(х, У)ах!(У.
(103) В случае, если г=а=О и д) О, то при одной и той же системе координатных функций (о„(х, у)) метод Ритка и метод, Галеркина дают одну и ту же последовательность 1и„(х, у)), а зто доказывает, что она, как и в методе Ритца, в среднем сходится к точному решению краевой задачи. Для уравнения (98) с краевыми условиями одного из видов (45), (46) или (47) при условиях на коэффициенты. которые сформулированы выше, и при выборе последовательности координатных функций, удовлетворяющей условиям 1) — 3), последовательности (и„), полученные по методу Галеркина, сходятся в среднем вместе с производными первого порядка к точному решению краевой задачи и соответствующим производным этого решения, если только граница Г кусочно-гладкая и в случае краевых условий (4Т) д(х, у) ф О, 590 мвтоды»зшвния диь, гвьвнений в частных пгоизволных (гл.
10 а в случае краевых условий (46) а — достаточно гладкая на Г функция. Метод Галеркина применим и к задаче о собственных значениях для дифференциального оператора Еи при тех же типах краевых условий, но мало надежен для отыскания приближенных выражений для собственных функций. 'Обоснование сходимости метода Галеркина мы не приводим. так как это заняло бы много места. Интересуюшихся отсылаем к книге Михлина С. Г. «Прямые методы в математической физике», где эти вопросы рассмотрены достаточно подробно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
