Том 2 (1160084), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Бэтмен предложил определять вырожденное ядро К„(х, а), аппроксимирующее ядро К(х, з), с помощью равенства 602 методы вяшвния дна. твлвнвний в частных пгоизводных [гл. 10 К(х, я) К(х, я ) ... К(х, я„) К(хэ я) К(хн яг) .. К(хн яа) К(ха, я) К(х„, яб ... К(ха, яа) =К(х, я)— К(хэ яг) К(хо я) ... К(хв я„) К(ха, яг) К(хь яа) ... К(хэ яа) К (ха яг) К (ха гж) ° ° ° К (ха яа) Из этого представления видно, что К„(х, я) совпалает с К(х, я) на 2п прямых х=х„1 я=яг ((=1, 2, ..., п). Бэтмен предложил также способ построения резольвенты, а следовательно и явного решения интегрального уравнения, если ядро К(х,я) интегрального уравнения представимо в виде суммы ядра Н(х, я), для которого известна резольвента, и вырожденного ядра Н,(х, я).
Если ядро К(х. я) = Н(х, я) — ',~ Г',(х) я,(я), (29) г(х, я, Л) тг(х) та(х) ... т (х) Ф,(я) 1+Л ц Л „... Лт,„ у„(я) Л„Л„а ... 1+Ла„ 1+ Лен Лъм Лам ... Лтш 1 +Л Лаю (ЗО) )с(х, я. Л) = Лтая Лтаа ... 1+ Лтаа Лта! где эа(х) =Л(х)+Л / г(х, я, Л) У,(я)Ня, а ф,(я) =К,(я) +Л ~ Г(х, я, Л)д,(х)пгх. а (31) ь тя — — ~ ~Р (Я) К (Я) ~(Я. а Используя этот результат, иногда целесообразно приближать ядро не вырожденным ядром, ° а суммой вырожденного ядра и ядра с известной резольвентой. а г(х, я, Л) есть резольвента ядра Н(х, я), то резольвента Й(х, я, Л) ядра К(х, я) имеет вид Для ядра К„(х, з), построенного по способу Бзтмена, резольвента определяется из уравнения м„(х, а, Л) К(х, юг) К(х зз) "° К(х зь) К(хь з) Ан Ам ° Агз (32) К(хи з) Аш Ачз " Аьи где Ауь — — К (х, зь) — Л / К (х .
!) К (1, зь) Ю. (ЗЗ) Тогда приближенное решение уравнения (2) может быть записано в виде ь у(х) 7'(х)+Л ~ !!1„(х, з, Л)У(з)г(з. а Результаты Бэтмена мы приводим без доказательства, которое можно найти в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа». П р имер. Найти решение интегрального уравнения 1 у(х)+~ х(е*' — 1)у(з)г(а=ел — х. о Ядро уравнения К(х, з) =х(е ' — 1) аппроксимируем суммой первых трех членов разложения К(х, з) в ряд Тейлора, т. е. положим хьа2 хьзз Н(х. з) =х'з+ —, + —. и вместо исходного уравнения рассмотрим интегральное уравнение г (х) + ~ Н (х, з) г (з) и'з = ез — х.
о Решение последнего ищем в виде я(х) =е ' — х+С х'+С ха+С х'. Для определения постоянных С,. С,, С, получим систему 1 13 1 — С,+ — С,+ — С,= б 7 ! ! 49 . С,+ —,С,+ —,Са= 9 — — е, 4 29 2е —— 5 ' $101 пгизлижянныя методы гяшяния интягвальных ггавнвний 603 604 методы гвшяния дие. хвлвняний в члстных пгоизводных [гл. 10 Решая ее, получим следующий результат: С, = — 0,5010, С, = — 0,1671, С, = — 0,0422, т, е. «(х) = ем — х — 0,5010х' — 0,167!х' — 0,0422хь. т, е. расхождение с точным решением всего 0,008. 3. Метод моментов. В методе моментов [приближенное решение интегрального уравнения ищется в виде суммы 7(х) и линейной комбинации заранее выбранных линейно независимых между собой функций ~7,(х), еь(х), ..., сь„(х), т.
е. и 'г „(х) = 7 (х) + ~ Серь (х) ь 1 с неопределенными коэффициентами С„Сь, ..., С„. Коэффициенты С,, Сь, ..., С„отыскиваются следующим образом. Рассмотрим оператор ь Е,и=и(х) — Л [ К(х, е) и(е)Не — 7(х). а (35) Подставив вместо и(х) функцию У„(х), получим: и ь [ ь ЕУ„= ~~ Сь ~ еь (х) — Л 1 К (х, е) ср; (е) ь(з 1 — Л ~ К (х. е) 7'(е) г(е =и ! ч ч =Ф(х; С„Сь, ..., С„). Потребуем ортогональность функции Ф(х; С,, ..., С„) ко всем функциям ~у,(х). чь(х), ..., у„(х) на отрезке [а, Ь[, т.
е. потребуем выполнения условий ь ~ И'„~рь(х)ь(х=О (1=1, 2...., и). (36) а Получим систему и линейных алгебраических уравнений для отыскания Со С, ° °, С„. Система будет иметь вид ,"~~ Су [аб — Щ =ЛП (1=1, 2... „и), (37) 1 Точное решение интегрального уравнения: у (х)= 1. Из найденного. приближенного решения при х = 0; 0,5; 1,0 имеем." г(0) = 1,0000.
г(0,5) = 1.0000. г(1) = 1,0080, 10) пвивлиженныв мвтоды гвшвния интвгвьльных явьвнвний 605 где ь ь ам —— / ср;(х)ср)(х)г(х; Ц= ~ г(х ~ К(х, я)аь(х)р (я)г(я; а а а ь ь Тг = ~ л(х ~ К(х, я) лрг(х) г'(я) Ня. (38) Решая эту систему, ллы и найдем С,, С,, ..., С„, а следовательно и приближенное решение У„(х) интегрального уравнения (2). В основе этого метода лежит следующая идея. Пусть р,(х), а,(х), ..., ра(х) — первые и функций полной ортонормированной системы )рь(х)).
Для того чтобы функция У(х) была точным решением интегрального уравнения (2), необходимо и достаточно ортогональности ьУ(х) ко всем функциям системы )аь(х)), так как в этом случае будем иметь ьУ(х) = — О. При отыскании приближенного решения функция У„(х) содержит лишь и параметров С,, С,, .... С„, с помощью которых.
вообще говоря, можно удовлетворить лишь и условиям ортогональности, что мы и сделали, потребовав ортогональность (.Уа к р,(х), ра(х), ..., уа(х), Требование ортонормированности системы (уь(х)) в проведенных рассуждениях излишне. Достаточно требовать лишь полноту системы )уь(х)) и линейную независимость любого конечного числа функций эгой системы, так как процессом ортогонализации можно из нее получить полную ортонормированную систему )фь(х)) такую, что любая функция рь(х) будет линейной комбинацией конечного числа функций системы ) фь (х)).
Этот метод есть не что иное, как метод Галеркина решения интегральных уравнений. Применение метода моментов равносильно замене ядра К(х, я) вырожденным ядром К„(х, я), строящимся следующим образом. Предполагая ортонормированность системы )~ь(х)), разложим ядро К(х, я) как функцию х в ряд Фурье по этой ортонормированной системе функций и за К„(х, я) примем и-ю частичную сумму эгого ряда. Получим: К„(х, я) = ~~П ~ил (я) ~рь (х), где и;(я) = ~ К(х, я) р;(х)Их. а Если теперь к уравнению ь у(х) — Л ~ К„(х, я) у(ял ~(я — ((х) =0 а 606 методы гашения див. зелвнений в частных пгоизводных (гл.
10 применить метод моментов, то получим точно такое же решение, как и для уравнения (2). ибо система, аналогичная системе (37), может отличаться от нее только коэффициентами Ц. Обозначим их через ф. Будем иметь, учитывая ортонормированность системы функций (рь(х)): ь ь фз) — — ~ г(х ~ К„(х, 5) рг (х) рз (5) г(5 = а а Ь Ь а =- / г(х ~ ~ иь (5) рь (х) р; (х) рз (5) г(5 = а а В-г а Ь ь ь / иь (5) зз (5) Нз / ~РВ (х) сРЬ (х) г(х = ~ иг (5) ~Ру (5) Нз.
В Га а а С другой стороны, ь ь Ц = ~ г(х ~ К(х, 5) р;(х) ру(5) г(5 = а а Ь1 ь ) ь = ) 1 рз (5) )' К (х, 5) ~рг (х) з(х ~ сгз = ~ ~рз (5) и; (5) сгз. а а а Таким образом Е,и = и (х) — ) ~ К (х, 5) и (5) з(5 = О, о где (О (х (5 (1), (О (5(х (1).
1 х(1 — 5) К(х, 5)=~ ~ 5(1 — х) ~О=Ф Следовательно, приближенные решения обоих интегральных уравнений совпадают. Но решение Уа(х) уравнения с вырожденным ядром К„(х. 5), полученное методом моментов, будет его точным решением. Это и показывает равносильность метода моментов методу аамены ядра вырожденным ядром, строящимся специальным способом. Это замечание позволяет использовать оценку, полученную в теореме п. 2, для оценки точности решения, полученного по методу моментов.
Метод моментов можно применять и для решения нелинейных интегральных уравнений, но в этом случае вместо системы (37) получим нелинейную систему. П р и м е р. Найти два первых собственных значения и соответствующие им собственные функции однородного интегрального урав- нения 5 К)] пгивлижвнныв мвтоды гвшвния интвгвлльных гвлвнвний 607 Для решения задачи применим метод моментов. Приближенное решение будем искать в виде ив(х) = А -4 — Вх(1 — х)+Сх(1 — х)(1 — 2х).
Для отыскания коэффициентов А, В, С в соответствии с методом моментов имеем три уравнения: ] <рг (х) Виа (х) с[х = 0 (! = 1. 2, 3); о где р, (х) = 1; ~уа (х) = х (1 — х); р,(х) = х (1 — х) (1 — 2х). Подстановка иа(х) в Еи дает следующий результат: Еи,(х) = А+Вх(1 — х)+Сх(1 — х)(1 — 2х)— — Л! — х(1 — х)+ — [4ха(1 — х)а+х4(1 — х)+х(1 — х)а] + 1 2 12 + — [бха (1 — х)4 — бх~ (1 — х)а + х (1 — х)в — ха (1 — х)] ~. 60 Далее, 1 ~ р,Еив(х) Их = А (1 — —,)+ 6 (! — — ) = О, о 1 / еаЕаа(х) г1х — — (1 — — )+ — (1 — ) — О, о 1 9,Ела(х)ах= 210 (1 — 46) =О. С Л о Приравнивая нулю определитель полученной системы, после неслож- нык вычислений получим: (Ла — 180Л+ 1680) (Л вЂ” 40) = О, Корнями этого уравнения будут: Л, = 9,8761, Л, = 40, Л, = 170,1249, Подставляя в систему найденные значения Л, и ) и решая ее относительно А, В, С, получим: для Л=Л, А= — 0,0!176В, С=О, 608 методы гешения див.
тяавнений в частных пгоизводных !гл. 10 1 или, определяя В из условия нормировки ~ уа(х)г(х = ! для собо ственной функции, соответствующей значению Ло получим выражение У~ (х) = — 0,0684+6,817х(1 — х); дчя Л=Л, А = В = 0; С вЂ” произвольное число. Нормируя, получим собственную функцию, соответствующую второму собственному значению: у, (х) = 14,49х (! — х) (1 — 2х). Точные величины собственных значений этого уравнения: Л = и' = 9,8696..., Ле = 4яа = 39,4784 а соответствующие им собственные функции: у, (х) = )/ 2 з(п их, у,(х) = !/2 з(п 2ях. Погрешность первого собственного значения около 0,0636, а второго собственного значения примерно 1,3%.
Что касается собственных функций, то приближенное значение первой собственной функции близко к точному. в то время как приближение ко второй функции значительно хуже. 4. Метод наименьших квадратов. Для уравнения (2) будем искать пРиближенное Решение Уи(х) вида у„(х) = ~~.',С! рь(х), (39) где снова о,(х), ~уа(х), ., У„(х) — некотоРые заданные линейно независимые функции.
Подстановка г'„(х) в оператор Еи, где ь Еи= и(х) — Л ~ К(х, з) и(з) г(з — У(х). Р ь ч 7Х„= )' С!у!(х) — Л / К(х, з) ~~С!л;(з)г(з — Дх)= 1 а г = Ф(х; С;, Са, ..., С„). (4 1) Постоянные С,, Са, ..., С„будем находить из условия минимума интеграла ь з= < Фа(х; С,, Са, ..., С„)с(х, (42) а т. е. из условий, что =0 (1=1, 2, ..., и). с)Сс (43) Используя явное выражение для функции Ф: а < ь Ф = ~ С; ( срг (х) — Л ~ К (х, я) срг (я) с)з ~ — г'(х), «-« а (44) для отыскания С„ Са, ..., С„ получим систему лииейиых алгебраических уравнений ,~',а;С1«б«; (1=1, 2, ..., и), ы (45) где 6< ь а;у = ~ «ср (х) — Л ~ К(х, я) ср (я) с(я ~ Х Р Р < Х ~ ср;(х) — Л~< К(х, я) ср,(я) вся ~ г(х, а ь Г ь «;= )«с*«<с с*« — «)кс*, «ас«с )с*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
