Том 2 (1160084), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Но их можно оценить. Для этого продифференцируем интегральное уравне« ние (2) 7«раз. Будем иметь: ь Р д" у ГЮ (х) = Л ! — К(х, з) у (а) 7(з -[- /'"7 (х). а 596 методы гашения диф. гв«внений в ч«стных пгоизводных (гл. 10 откуда ()ь«1(х)(<(Л(М«(Ь вЂ” а)ИЬ+Р«1 Р„= шах (г1«1(х)) в<«КЬ или И«((Л( М«(Ь вЂ” а) Ив+ Р„. Таким образом. шах (Р~ ~(а)) <(Л(ИЬ(Ь вЂ” а) ~л'.(С ьМ«Мт «+ ХСввМ«Рвв-« = аквкь «-о «-о =С«Ив+С«, (16) где Св = (Л((Ь вЂ” а) Х СжМ«Ми-«' Св = ~~ С~рМ«Рщ-«(16) (у(х) ( (( в)(х) (+ ( У(х) ( ((Л (р+(Л(' М Вр ~ ( Ау(+Ос ( с(~(~В-~л~ мв 2 ~в,~(в„~см,В-сов-а или и И,<~ (Л(+(Л(«М,В ~ (Ау(1й„(СИ,+С)+(),.
Если то и ~",)о + «мСв ( 3 Л I + $ Л Р МЬВ '~~~„1 Ав 3 1 Ио м.- — ) — ~ с,(~ ~в ~1~ м,в т.~в ~1 1-г (1 У) Следователыю, погрешности вй и в) (х) можно оценить через известные величины. Напомним, что: для обобщенной формулы трапеции с и ординатами и =,, л«=2; для обобщенной формулы Симпсона (Ь вЂ” а)в и 12(п — 1)в ' (Ь вЂ” а)" с л=2Р+1 оРдинатами й„= яп 2 в, л«=4; длв фоРмУлы ГаУсса 90 (2р)в с и ординатзми ам= 1(2 )11, (2 +1), л«=2л. — постоянные величины.
которые можно найти, так как ядро К(х, а) и г(х) известны. Обозначим через 9о максимум абсолютной величины приближенного решения У(х). Из оценки (13') будем иметь: й 10] пгивлижвнныв методы гашения интвгвлльных твлвнвний 597 П р и м е р. Найти приближенное решение уравнения 1 у(х)+~ х(е "— !)у(з)~7з=е* — х. о Воспользуемся квадратурной формулой Симпсона: г ~ 7(~) Н~ — [7(О) + 47(0,5) +7(1)]. о Тогда для отыскания приближенного решения в точках х= 0; 0.5; 1 получим систему у, =1, (ео,зз 1) ) [ (ео,з 1) )з=еьз 0 5 3( ) з+6( + или У,=1, 1 0947уз+О 054!уз= 1 1487 0 4325Уз+1*2864уз=1,7183, Решая ее, получим: 1', = 1, У~ = 0,9999, У, = 0,9996.
Точное решение интегрального уравнения у(х) 1. Как видим, результат достаточно хороший. 2. Решение интегральных уравнений фредгольма второго рода методом замены ядра на вырожденное. Если в уравнении (2) ядро К(х, г) вырожденное, то решение етого уравнения может быть найдено в конечном виде. В самом деле, пусть я К (х, г) = ~~~~ А; (х) В; (з). ч 1 Можно считать, что А,(х), А,(х), ..., А„(х) и В,(х), Вз(х), ... ..., В„(х) суть системы линейно независимых на отрезке [а, Ь] функций, Так как интегральное уравнение будет иметь вид а ь у(х) — Л;)' Аь(х) ~ Вь(з)у(з)гЬ= 7(х), то решение его можно искать в виде у (х) = 7 (х) + Л ~ С1А! (х), г ! 598 мзтоды гашения див. гглвнвний в частных пгоизводных [гл.
10 где Сь — некоторые постоянные. Подставляя у(х) в уравнение (18) и сокращая на Л, получим: ~~)„С1А1(х) — Л~ А,(х) 5 Су ~ А (з)В;(з)с(з— 1 1 а — ~~ Аь (х) ~ У (з) В; (з) йз = О. Е 1 Вводя обозначения )1 — ~ 1(з) В,(з) с(з; аь = ~ А.
(з) Вь (з) йз а а и принимая во внимание линейную независимость функций А,(х), Аг(х), ..., Аа(х) для отыскания С; (1=1, 2, ..., и), получим систему линейных алгебраических уравнений Сь — Л ~~~„агуСз=у; (1=1, 2, ..., н). (19) 1-1 ь у(х) — Л / К(х, з)у(з)йз=У(х), а (20) х(х) — Л ~ Н( ° ) г( )с( =Л(х) а (21) — два интегральных уравнения, 11(х, з, Л) — резольвента второго из этих уравнений и суи(ествуют такие константы ь, в, М.
Если определитель системы (19) 0 (Л) отличен от нуля, то система имеет единственное решение для С,. Сг, ..., С„ и решение интегрального уравнения у(х) будет найдено в явном виде. Если же при данном значении Л определитель 0 (Л) равен нулю, то Л будет собственным значением ядра К(х, з). В этом случае, находя все линейно независимые решения соответствующей однородной системы, мы в явном виде найдем все линейно независимые между собой собственные функции ядра К(х, з), соответствующие данному собственному значению Л. Метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с помощью замены ядра близким к нему вырожденным ядром основан на следующей теореме: Т е о 'р е м а.
Если $10[ пгивлиженныв методы вешания интвгвлльных гвлвнвний 699 что имеют место неравенства ~ [К(х, е) — Н(х, в)[де < а, а [ г'(х) — гг (х) [ < е, ь ~ [Я(х, в. Л) [~й < М а (22) (23) (24) и выполнено условие [л[а(1+ [л[м) < 1. то уравнение (20) имеет единственное решение у(х) и Ф[Л [(1+ [Л [М)зЬ [у(х) г(х)[< 1 [л[ь(1+[л[м) +'('+ [Л[М) (25) (26) где ь Р(х) =~(х) — Л [ (Н(х, е) — К(х, в))у(в)дв. а Тогда у (х) = Р (х) + Л У Я (х, в, Л) Р (в) с(е.
а Далее, так как ь [ Р (х) [ < [У (х) [+ [ Л [ ~ [ К (х, е) — Н (х, в) [ [ у (е) [ де < Н то [у(х)[ <[Р(х)[+[Л[ ['[й(х, в, Л)[[Р(е) [ а <и+[л[ас,+[л[(м+[л[ас,) м. или С < [Л[(М-[-[Л[с 6) м.+Н+[Л[с а, Ф(1+ [Л [М) С' < 1 — [Л[6(1+[Л[М) откуда где И = шах [)"(х)[. а<э<6 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Предполагая существование ограниченного решения (20), обозначим через Се верхнюю границу его абсолютной величины на отрезке [а, Ь[ и рассмотрим интегральное уравнение ь у (х) — Л / Н (х, е) у (е) дв = Р (х), 600 методы гашения дие. хялвнвний в частных пгоизводных (гл. 10 Таким образом, при выполнении условия (2б) все решения уравнения (20) ограничены одной и той же постоянной, как бы мы ни выбирали ) (х), а это означает, что Л не является собственным значением и интегральное уравнение (20) имеет только единственное решение, ибо если бы Л было собственным значением ядра, то, прибавляя к какому-либо решению неоднородного уравнении (20) собственную функцию ядра К(х, з), мы снова получили бы решение уравнения (20). Но собственная функция может быть взята такой. что максимум ее абсолютной величины будет больше любого наперед заданного числа, а это означает, что и для уравнения (20) можно было бы найти решение сколь угодно большое по абсолютной величине. )локажем теперь оценку (2б).
Мы имеем: ь у(х) — г(х) — Л ~ Н(х, а)(у(а) — г(а)) ага =Р(х) — у',(х) = Ф(х) а или ь у(х) — г(х)=Ф(х)+Л / )с(х, а, Л)Ф(а)~(а. а Отсюда ь )у(х) — г(х) ( () Ф(х) (-)-) Л) ~ ))с(х, а, Л) ) ) Ф(а) )с(а. а Но ь ) Ф(х) / = Л / (Н(х, з) — К(х, а)) у(а) ага+)" (х) — г' (х) (~Л~С о+е. а Следовательно, !у(х) — г(х)/ (е-4-~Л! Ме+СеЛ !Л/(1+-)Л) М) ( № ~ Л ! (1 + / Л ~ М)а + + 1 — !ЛН(1+1 Л~М) ' Из доказанной теоремы следует, что если можно построить достаточно близкое к ядру К(х, а) вырожденное ядро Н(х.
а), то. решив уравнение с вырожденным ядром Н(х, а), мы получим решение, близкое к решению уравнения с ядром К(х, а) при той же правой части. Более того, если мы построим последовательность вырожденных ядер Н„(х, з), равномерно сходящуюся к ядру К(х, з), то последовательность решений г„(х) уравнений с ядрами Н„(х, а) будет равномерно сходиться к решению у (х) уравнения с ядром К (х, з). Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру К(х, з), могут быть самыми различными. Например, ядро К(х, а) можно приближать частичными суммами степенного или двойного ф 101 пРВБлиженные методы Решений интеГРАльных РРАвнений 601 К„(х, 2) К(х, 22) К(х, 22) ... К(х, ач) К(хг, 2) К(хг, 22) К(хг, 22) ...
К(хд, 2„) = О, (27) К(х„, 2) К(х„, 22) К(х„, 22) ... К(х„, 2„) где х,, ха, ..., х„; з,. Ла, ..., г„— некоторые точки отрезка [а, Ь). Представляя элементы первого столбца в виде К„(х, а)+О; О+К(х„. Л); О.+К(х,. 2); ...; О+К(хян з) и разлагая определитель (27) на сумму двух определителей, после несложных преобразований получим явный вил ядра: О К(х, 22) К(х, 22) ... К(х, 2„) К(хг, 2) К(хг, 22) К(хг, 22) ... К(хн 2„) К(х„, 2) К(х„. 2,) К(х„, 22) ... К(х„, 2„) (28) К„(х, з)— К(хн 2„) К(хъ 2„) К(хн 22) К(хг, 22) К(ха, 22) К(ха, 22) К(х * 22) К(х, 22) К(х„, 2„) откуда видно сразу, что это ядро вырожденное. Это ядро можно также переписать в виде О К(х,аг) К(х,за) ° ° ° К(х,зч) К(х2,2) К(х2,22) К(х2,22) ... К(хг,зн) К К (хч, 2) К (х, 22) К (х„, 22) ...
К (х, 2„) „(х, з) — К(х, з) К(х2, 22) К(хг, 22) ... К(хг, 2„) К(хь 22) К(хэ 22) ... К(ха, 2„) К(х„, 2,) К (х„, 2,) ... К (х„, 2„) К(хь 2,) К(х, 22) ... К(хн 2„) К(х2, 22) К(ха, 22) ... К(ха, 2„) К(х, 2) К(х„, 22) К(х„, 2 ) ... К(х„, 2„) К(хг, 22) К(хь 22) ... К(хь 2„) К(Х2, 22) К(ХИ 22) ° ° ° К(Х2, зи) К(х„, 22) К(х„, 22) ... К(х„, 2„) тригонометрического ряда, если ядро К(х, з) разлагается в равномерно сходящийся в прямоугольнике а ( х, з ( 1) степенной или тригонометрический ряд, или приближать его алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными многочленами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
