Том 2 (1160084), страница 95
Текст из файла (страница 95)
сс«« а а Изложенный метод пригоден и для отыскания приближенных значений первых собственных значений ядра К(х, я). Для этого полагаем 1'(х) = 0 и приравниваем нулю определитель системы (45). Получим уравнение и-й степени относительно Л, решая которое и найдем приближенные величины первых собственных значений ядра К(х, я). П р и м е р. Найти решение интегрального уравнения первого рода ~ К(х, я) и(я) с(з =х — 2ха+ха. где х(1 — я) (О <х(з(1), К(х, я)= я (1 — х) (О < я < х < 1). $101 пгивлижяииые методы гашения интвггальных звавивний 609 610 методы гашения дне.
гвлвнзний в частных пгоизводных (гл. 10 К аналогичному уравнению приводит задача об отыскании статической нагрузки. под действием которой струна единичной длины, закрепленная на концах х = 0 и х = 1, примет форму, описываемую правой частью уравнения. Первое приближение к решению будем искать в виде и, (х) = С, + Сох. Тогда 1 Е,и, = х — 2хо+ хо — ~ К (х, з) (С, + С,з) Иа = о = х — 2хо+ хо + — ' (х' — х) + — ' (хо — х) 2 б дЕи1 „1 1' 17 С, Се дС1 2( 3 4 5 7+ 3 4 5 + 4.5.6~ о дьи1 1 1 Г 17 С1 4С1 дСо 6(5 7 8+ 5 8+5 ° 7 ° 9~ о или 14С, + 7С, = 34. 63С, + 32С, = 163.
РешеНие этой системы С, = 2.4286, Са = О, и, (х) = 2,4286. т. е. Второе приближение будем искать в виде и,(х) =С,-+Сох+Сох'. Тогда 1 йие(х) = х — 2хо-+хо — / К(х, а) (С, +Соя+Сола) с(з= о С, С. С 2 = х — 2х'+ х'+ — (х' — х) + — (х' — х) -+ — ' (х' — х) б 12 и метод наименьших квадратов дает для отыскания С, и С, сле- дуюшую систему уравнений: 9 10) пРивлиженные методы Решения интеГРАльных УРАВнениЯ 611 и метод наименьших квадратов дает для отыскания С,, Са, С, систему 17 С„ С, 5Сь 0 3 ° 4 5 7 + 3 4 5 4 5 6 4.6 ° 6 ° 7 17 СГ 4СВ 11Сь 5.7 8 + 5.8 + 5 7 9 + 3 5 ° 8 12 — +- . + —..' + = О 13 5Сь, 11С 9Сь 459 467 3568 912 или 84С, + 42С, + 25С, = 204, 252С, + 128Са+ 77СБ = 612 450С, + 281С, + 140С — — 1092.
Решение этой системы будет: Сь=О Се=12 Сь= — 12. Таким образом, и,(х) = 12х(1 — х). б. Метод последовательных приближений. Для приближенного решения уравнения (2) может быть применен метод последовательных приближений, заключающийся в следующем. Решение у(х) уравнения (2) ищем в виде ряда по степеням Лг у(х) =срь(х)+Лир,(х)+ .. -+Л ~р„(х)+ ... (47) Подставляя его в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим: р„(х) = г'(х), ь 'рг(х) = / К(х л) то(а)на ь сра(х)=~ К(х, у) о,(а)сгл, а (48) ь о„(х) = ~ К(х, У о„, (л) г(а, а Это — точное решение уравнения, что легко проверить прямой под- становкой в уравнение.
612 методы гашания дие. ггавнвний в частных пгоизводных [гл, 10 Если ядро К(х, а) ограничено по модулю постоянной М, то ряд ! сходится равномерно при )Л~ ( Ь и у(х) есть решение интегрального уравнения (2). За приближенное решение можно приня1ь п-ю частичную сумму ряда. Если Л)(х)! < )ч', то ~ ср, (х) ) ~~ ММ (Ь вЂ” а); 1сра(х) ) ( ММе (Ь вЂ” а)"-; ...; ~ч„(х)! (ММ" (Ь вЂ” а)", ...
Отсюда ОЭ С ' )У(х) — У„(х))= ~ ЛаРа(х),4)т' )~„((Л~ М(Ь вЂ” а))"= а в+1 Й-в+1 Д. ( ( Л 1 М (Ь а) )и+ ~ — ~Л ~Л((Š— а) Это и дает оценку погрешности приближеннога решения 'г'„(х) л=,~~ Л'~у, (х), ъ О если все квадратуры вычисляются точно. Если же квадратуры нельзя выполнить, то дяя вычисления интегралов можно применить те или иные квадратурнь1е формулы.
В этом случае удобно пользоваться следующей вычислительной схемой. Пусть К12=К(хо х), где х,, ха... „х„— абсциссы квадратурной формулы; э„(хг) =ср„~', у(хг) = у~', у'(х ) =д. Приближенное значение для ~у„(хг) будем обозначать через у„а а лля у(ха)— через Уо Если А; — коэффициенты квадратурной формулы, то ч э„, ьг = ~А„Кга~„д,. а-1 Исходя из этого соотношения, вычисления можно вести по следую- щей схеме: Ф 10] НРивлиженные методы РешениЯ интегРАльных УРАВнений 613 Сначала в столбцах 1, 2, ..., и выписывается указанная в схеме матрица, а в следующем столбце выписываются значения ха(х) =у(х) в узлах х,, х,, ..., х„.
Для заполнения следующего столбца умножаем элементы первого столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов. Сумма попарных произведений их даст первый элемент нового столбца. Для получения второго элемента этого столбца берем сумму попарных произведений элементов второго столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов и т. д. После заполнения столбца уы для заполнения следующего столбца поступаем совершенно аналогично, только вместо столбца свободных членов берем последний полученный столбец.
Процесс продолжают до тех пор, пока с точностью, с которой ведутся вычисления, следующий столбец становится нулевым. Значения приближенного решения в узлах получим, суммируя соответствующие элементы вычисленных столбцов по строкам. (4) имеет единственное непрерывное решение у (х) при любом значении Л. Это решение можно искать в виде са у(х) = "Р~ Л"са,(х). л-о Подставляя этот ряд в уравнение (4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим: х Уа (Х) = Г (Х); саа э, (Х) = ~ К (Х, З) сРЯ (З) Г(З. (5! ) а (50) Если дг= шах ]г"(х)], а Л4= шах]К(х, з)].
а<х<Ь н то ]Уа(х)] ( (52) Отсюда, если мы примем за приближенное решение уравнения (4) п-ю частичную сумму ряда (50): Г„(х) =- ~; "р„(х), (53) з а 6. Прнблингенное решение уравнений Вольтерра. Из теории интегральных уравнений известно, что если ядро К(х, з) есть непрерывная функция В области гс]а (з (х (Ь], а у'(х) — непрерывная функция на отрезке ]а, Ь], то интегральное уравнение Воль- терра второго рода у(х) — Л] К(х, з)у(з)г(з=/(х) а 614 мятоды гяшяния дне. ггавняний в частных производных (гл.
10 то погрешность его может быть оценена следующим образом: /у(х) — У„(х) /= ~ Лара(х) ! < ~)~~, . (54) а лак Более грубая, но вместе с тем более простая оценка погрешности следующая: обозначим через 5 произведение ~Л( М(Ь вЂ” а) и в оценке (."о ~дг (54) вынесем общий множитель ! 1! получим: (л+ П! ' 1.""'ЛГ ! А (л+!)1 1 + л+2 +(л+2)(л+3) + ''' ~' Ряд, стоящий в фигурной скобке, мажорируем рядом + л+2 +(л+2) +(л+2) + ''' Тогда получим следующую оценку: р."+'дг 1 !у(х) — у„(х)( < + (55) ! —— л+2 При этом предполагается, что л настолько велико, что ь С л-+2.
Если в (51) квадратуры не берутся, то для их вычисления можно использовать квадратурные формулы, лучше всего с равно- отстоящими абсциссами. Будем. например, использовать обобщенную формулу трапеций, Если отрезок (а, 51 разбить на 5 равных частей о — а и ввести обозначения И= —; ха =а+лИ; К(хь ху) =К!!! 8 ~р„(ха) = ~р а, а приближенные значения для у к обозначить через р„а, то будем иметь: ~а р а ь а = р' К (ха, з) ор„(з) с(з а Ь вЂ” — [К~9до+2(Ка19ог+Кккрпа+ ° ° . +Кк,а 1ро,к-г)+Какала! или а 9чкь а = 2 (Каотоо+ 2 (Ко~рог+ Каотоа + ° ° ° + Ка, а-к9, а-0 + +Калибр„к( (4=0, 1, 2...., 5).
(56) Вычислив о„к, ю мы получим приближенные значения решения интегрального уравнения (4) в узлах ха по формулам 'г'„а=ХЛ'рг,к (и=0, 1, 2, ..., 5). (57) ! о з 101 пгивлиженныя методы гашения интвп альных тгквнвний 615 При использовании обобщенной формулы Симпсонд разбиваем о — а отрезок (а, Ь) на 23 равных частей точками ха =а+(г(г; (г = Тогда, применяя формулу Симпсона для вычисления интеграла р„„г, гк = ~ К(хаы з) о„(з) сгз. а будем иметь: Ь 9~+ г гк = 3 1Кга, о9 о + 4 (Кам Рог + Кга, гзоог+ + Кам ы-гто, ш-г) + 2 (Кьи гтв. г + Кж.
гто. г + + Кьь га-гтго га-г) + Кга. гаго, га) (и=О, 1, 2, ...; (о=1. 2, 3, ..., 5). (5 8) ал Уа Л / К(хк з)У(а)'гз Уа 2 (КаоУо+2(КыУг+КагУг+ ° а ° ° ° + Ка, а-гУк-г) + Кк. кУк1 гг(ха) или ЬЛ Уа — — (Каоуо+ 2(Каз Уг+ ° ° ° +Ка, а-гуа г) + Кыук) ~(хк) = 0 откуда Таким образом, шаг за шагом найдем все значения Уа. Что касается интегральных уравнений Вольтерра первого рода Л ~ К (х, з) у (з) егз = у (х), а (3') то при дополнительном предположении, что ядро К(х, з) и у(х)— непрерывно дифференцируемые функции. К(х, х) ) а .ь О, его можно Значения го„~г к для нечетных Ф придется находить интерполяцией.
Для приближенного решения уравнения (4) можно применять также метод прямой замены интеграла, входящего в уравнение, конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле, Например, при использовании обобщенной формулы трапеции, разбивая отрезок 1а. Ь) на и частей точками х, =а;х, = а.+ (г; ...;х„ =а + п(г = Ь, будем иметь: 616 метолы РешениЯ ЕНФ.
УРАВнений в чАстных пгоизводных [гл. 10 х [ К (х а) 1 У'(х) У( )+,/ К(х, х) У( ) Л К(х, х) а (60) П риме р. Найти решение интегрального уравнения е-х+ е-вх у(х) — / е-х-ву (е) о(е = 2 о Первы й способ. Ишем решение в виде У(Х) в'4(Х) = ~РО(Х) .+ ~Р,(Х) +вРЯ(Х) +вРВ(Х) +Ф, (Х). где р,(х)=у(х); р„(х)= ~ К(х, е) р„,(е)е(е. В результате интегрирования получим: 'ро(х) = (е-х+е-эх) 1 2 р,(х) = ~ е-х-вро(е) де = — [Зе- — 2е-вх — е-™[. 1 8 о Ра(х)хх ~ е- -вР,(е)све= — [5е- — 9е-' +Зе-' +е-тх[. 1 48 о (х) — [ е-х-ввр (е) веем о 1 = — [уе-х — 20е-зх-[- 1Зе-ох — 4е-гх — е-ох]. 384 р,(х)= / е- -врв(ерг(е= о 1 [9е- — 35е-'"+50е-' — 30е-тх-[- 5е-о +е нх[, 3840 свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В самом деле, дифференцируя уравнение (3), будем иметь: х ЛК(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
