Том 2 (1160084), страница 96
Текст из файла (страница 96)
х)у(х)+), / К (х, е)у(е)в(е=г'(х), а и у(х) будет решением интегрального уравнения Вольтерра второго рола 9 !О) пгивлижянныя методы гашения интвггьльных зялвнаний 617 откуда У (х) = — 13839е е + 5е ьо — !Ое ' + 10е " — 5е зе+е 1 3840 Точное решение этого уравнения у(х)=е- . Лля сравнения приведем значения точного решения и приближенного решения при х = 0 и х = 1. Имеем: у(0) = 1,00000, у(1) = 0,36788, У, 10) = !.00000. В т о р о й с п о с о б. Будем вычислять значения решения в точках х = 0„ 0,2; 0.4; 0,6; 0,8; 1, хь Ко, Км Кв 0,8! 873 0,67032 0,54881 0.44933 0,36788 0.30119 0,67032 0,54881 0,44933 0,36788 о,зо! и 0,24660 0,54881 0,44933 0,36788 О,ЗОИ9 0,24660 0,20190 0,44933 0,36788 О,ЗОИ9 0,24660 0,2!!190 0„16530 0,36788 1,00000 0,30119 0,68377 0,24660 0,48576 0,20190 0,35706 0,16530 0,27002 0,13534 0,20883 1,00000 0,81873 0,67032 0,54881 0,44933 0,36788 Вычисления дают следующий результат У, = г; =1,0000.
У! =, ~у!+ — КьоУо~ = 0 8206 1 а 1 — — "Кп 2 Уз = л ~Л+, Кьо)о+ЬКм Уь~ = 0 6731, 1 — — Кьз 2 1 г Ь )з= д ~уз+ Кю)о+" 1Кыуь+Кьзуз)~=05518, 2 1 — — Км 2 1 Г Л Уь = л ~Уь+ — 2 Кьоуо ф- Д(КмУг+КьзУь+КььУь)~ =0,4522, 1-ФК " 1 )ь= л Х вЂ” Кьь 2 Х ~уь+ 2 КьоУо+7ь(КыУ, Ь Кыу, + К ьУ, + Кь,У)~ =0 3705. используя для замены интеграла в уравнении обобщенную формулу трапеций с шагом 7ь = 0,2.
Таблина значений КВ и уь имеет вид: Ниже приведена таблица значений точного решения и погрешность полученного приближенного решения: 4,6 0.2 0,4 0.8 0,6731 0,6703 0,0028 1,0000 1,0000 0,0000 0,8206 0,8187 0,0019 0,5518 0,5488 0.0030 0,4522 0,4493 0,0029 0,3705 0.3679 0,0026 1'а у (ха) «'л — у (хл) УПРАЖНВНИЯ 1. Построить разностную аппроксимацию оператора Лапласа, если сетка состоит из вершин правильных шестиугольников со стороной Ь. 2. Построить разностную аппроксимацию бигармонического оператора д»и»ии д»и дх» дхздуз ду» ' в которой участвуют узлы: (1, 1), (6 1 ~= 2), (1, 1 4 1), (1 й 1, 1), (! ~- 2, /), (! 4. 1, 1 4.
1), где через (1, 1) обозначен узел с координатами х» = !и, уу =/1, а И и 1 — соответственно шаг сетки по осям х и у. Рассмотреть случай И = 1. 3. Показать, что дла уравнения — — — = У(х, 1) (О (1 ( Т) ди ди д» дх с начальными условиями и(х, 0) = ч(х) разностная схема 1 Г 1 т 1 — ~~», 1+» — — (и»+»,1+»-ьу)) — 21, (~»ьь у — и»-ьу) =1(!И »1) где сетка состоит из точек с координатами х» = 1Ь, 1 =11, аппроксимирует уравнение только при 1~~ СИ (С= сопл!) и корректна при 1(И. 4.
В области 0(х, 1(а дано дифференциальное уравнение даи ди д»дхт + д1 с начальными условиями и(х, 0) = у(х) и граничными условиями и(0, 1) = = и(п. 1) = О. Пусть сетка состоит из точек с координатами х»= Ш; 11=1И (1, /= О, 1, 2, . „и; И = — 1 ° Показать, что разностная схема ).
1 — з(и»+ь1 — 2и»у+и»»,1 — и»ььу,+2ив1» — и» * 1 т) + 1 + — ( ьу — иь«-т) = У»11 и ищ = Ч(!И)» из! = 0; и„1=0 аппроксимирует краевую задачу, равномерно устойчива по начальным значениям и неустойчива по правой части. 618 методы гашения див. гвлвнвний в частных пгоизводных [гл. 1О 619 гпглжнения б. Пусть в области 0(Г < Т; О < х <а задано дифференциальное уравнение ди дги дт дхг с начальными условиями и (х, 0) = и (х) и граничными условиями Пусть выбрана сетка точек хг=И; Г ° =/1(Г О, 1, 2, ..., и; й= —; а у и 7*= 0, 1, 2...
„т; т1 < Т), Показатгп что разностное уравнение 1 1 — (пг,у+т — игу) = — (игьг,у — 2игу-1-пг г,у) с граничными условиями им = у(И); игу — по) =0; ипу — ип н у =0 1 устойчиво при а =„— < —, а если заменить условия (*) на следующие. пго = т (И); Зигу — 4игт+ игу= 0; Зилу — 4ип-г, у+ яп-г, у = О, то становится неустойчивым. У к а з а н и е. Лля доказательства последнего утверждения за начальные данные принять иго = —, где г — сколь угодно малое число, и найти общее Зт ' решение разностной схемы.
6. Используя метод прогонки, найти решение уравнения Пуассона дги дги г дхг дуг в квадрате О < х, у < ! с граничными условиям г ди п1а-о=и!а=г=1: ! ~ +и1 =0; п~ „=1, "х-о взяв квадратную сетку с шагом й = 0,1 и простейшую разностную аппроксимацию оператора Лапласа. 7. Методом Ритца найти первые два собственных значения оператора Лапласа, если область 0 квадрат со стороной 1, а функция на границе обращается в нуль. 8.
Различными методами найти решение интегрального уравнения гп (! 1' () ~ — з!пх (0<х<п), я,/ 5 — 3 соз (х+ з) 0 ( — я ~< х <0). 620 методы ввшкния дне. зелвнвний в частных пяонзводных 1гл. 10 ЛИТЕРАТУРА 1. Л,В, Канторович, В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1952. 2. Л. В. Канторович, Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, т. 3, вып. б, 1948. 3. Л.В. Канторович, Приближенное решение функциональных уравнений, УМН, т. 11, вып.
б, 195. 4. Л.Колл атц Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. 5. О.А. Ладыженская, Метод конечных разностей в теории уравнений в частных производных, УМН, т.12, вып. 5, 1957. б. Л. А. Л ю с т е р н и к, О разйостных аппроксимациях оператора Лапласа„УМН, т.9, вып. 2, 1954. 7. В. Э. М и л н, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. 8. С. Г. М и х л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. 9. Д.Ю. Панов, Справочник по численному решению уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1951.
10. Д. Ю. Панов, Численное решение квазилинейных гиперболических уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1957. 11. В,С, Рябенький, А.Ф. Филиппов, Об устойчивости разностных уравнений, Гостехиздат, 1956. 1Х Й1с 51ш а уег, РШегепсе ше1йобз 1ог 1прйа1 та1пе ргоЫешз, 1чт, 1957. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
