Том 2 (1160084), страница 92
Текст из файла (страница 92)
9 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений В этом параграфе мы рассмотрим некоторые методы приближен- ного решения интегральных уравнений, ограничиваясь в основном линейными интегральными уравнениями Фредгольма первого рода ь Л / К (х, 8) у (8) сИ = у (х), а интегральными уравнениями Фредгольма второго рода ь у(х) — Л / К(х, з) у(з) ~й=у(х) (2) а и интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго рола. имеющими соответственно вид ( К(х, з)у(з) да= г'(х), а у(х) — Л ~ К(х. з)у(з)да =у(х). (4) а гле у(х) и К(х, з) — заданные функции, а у(х) — искомая функция.
1. Решение уравнений Фредгольма методом замены интеграла конечной суммой. При решении интегральных уравнений Фредгольма прихолится встречаться с решением двух задач: !) отыскание решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра Л и заданной правой части /(х); 2) отыскание собственных значений и собственных функций ядра К(х, з), т.
е. отыскание таких значения параметра Л, при которых однородное уравнение ь у(х) — Л ) К(х, з)у(з)да =0 (2') а 10] пгивлиженныв методы гашения интвгглльных гглвнвний 591 имеет нетривиальное решение у(х). Эти значения Л и соответствующие им нетривиальные решения и называются, соответственно, собственными значениями и собственными функциями ядра К(х, г). Будем сначала предполагать, что ядро К(х, а) и правая часть у(х) непрерывны н, даже больше, имеют непрерывные производные до некоторого порядка. Тогда и решение уравнения имеет производные до того же порядка.
)?ля решения интегральных уравнений можно применять метод замены интеграла, входящего в уравнение, конечной суммой, используя для этого те или иные квадратурные формулы, Пусть за основу принята некоторая квадратурная формула ~ )ч(х) Нх = ~~)„А)Р(ху)+)т (гч). (5) где абсциссы х,, х,, ..., х„, принадлежащие отрезку [а, Ь], и коэффициенты А,, Аз, ..., А„не зависят от выбора функции гч(х), а )с(г") — остаточный член квадратурной формулы, Положим в интегральном уравнении (2) х=хз (1= 1.
2, ..., л). Тогда ь у(хД вЂ” Л / К(хь а)у(а)с(з=((х~) (1=1, 2, .... л). (6) а Заменим в (5) интеграл с помощью квадратурной формулы (5). Будем иметь: у (х ) — Л ~~.', А)К (хо ху) у (ху) = 7(х ? + Лй,:, йз = )7 ]К(хв а) у (а)]. (7) г г Уа — Л ~ А~КцУ~ — — 7; (1=1, 2,..., и), (8) з где введены обозначения Кф — — К(хо ху). 7(хз) =7;. Решив зту систему.
мы найдем значения У,, У„..., У„, по которым процессом интерполяции можно получить и приближенное решение интегрального уравнения (2) на всем отрезке ]а, Ь]. За аналитическое выражение приближенного решения уравнения (2) можно принять функцию ?'(х) =7(х)+Л Х А К(х, х ) У~, д 1 (9) принимающую в узлах х,, х,, ..., х„значения У,, Уз, ..., У„. Отбрасывая в системе (7) Л(й;). получим для отыскания приближенных значений У, решения у(х) в узлах х,. х,, ..., х„линейную систему алгебраических уравнений 592 мзтоды гашения див. гвлвнвний в частных пгоизводных [гл. 10 В случае уравнений Фредгольма первого рода (1) вместо системы (8) будем иметь систему А1Кц Уу = Л (1 = 1, 2, ..., л). (8') у 1 Если в качестве квадратурной формулы берется обобщенная формула прямоугольников, то хг = а; хз = а + Ь; ...; х„= а+ (и — 1) Ь; Ь вЂ” а. А =Аз= ...
=А„= л если берется обобщенная формула трапепий, то ( Ь вЂ” а). х,=а-[-Ь; ...; х„=а+(и — 1)Ь=Ь х,=а; д А,=А„= 2, Аз=Аз= ° . — — Аз-~="' если же берется обобщенная формула Симпсона, то л=2т-[-1: б — а х,=о; хг — — и+Ь; ...; хг~~г — — и+2пИ=Ь; Ь= л Аг=А 3 ' 4И Аз=А = ''' ='1' = 3 йв Аз — — А-= ...
=Азм 3 и т. д. Этот метод может быть применен и для решения нелинейных интегральных уравнений вида ь ~ К (х, з, у (х), у (з) ) Нз = г'(х), а (1О) но в этом случае вместо системы (8) получим систему ~~,'з А1К(хо ху, У,, У)=/з (1=1, 2, ..., и), (11) которая уже будет нелинейной. Вернемся к интегральному уравнению (2). Если это уравнение однородно, то и система (8) будет однородной системой. Она будет иметь нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель системы (8) равен нулю. Приравнивая нулю этот определитель, получим алгебраическое уравнение, вообще говоря, степени л относительно ).
Решая это уравнение, найдем, вообще говоря, и корней йм 14, ..., ).„, которые будут приближенными значениями первых л собственных значений ядра К(х, з). Подставляя 9 !О) пвзвлижзнныз мвтоды гзшзния интвгвлльных гвлвнвний 593 в однородную систему, соответствующую системе (8), одно из найденных значений )ч и находя линейно независимые решения этой системы, получим приближения к линейно независимым собственным функциям ядра К(х, з), соответствующим данному собственному значению. Если ), не равно ни одному из этих корней. то однородная система имеет только тривиальное решение, а система (8) †единственное решение. При выборе квадратурной формулы в этом методе нужно иметь в виду, что чем более точную формулу мы применяем, тем большую гладкость ядра и решения, а следовательно и )(х).
нужно требовать. -Попытка применения более точных квадратурнык формул для получения более точного приближения при несоблюдении этого условия может привести совсем к обратному результату. В случае, если правая часть нли ядро К(х, з) (или их производные) имеет особенности, целесообразно предварительно выполнить некоторые преобразования с тем, чтобы получить более хорошее интегральное уравнение, с помощью которого можно будет получить более точное приближенное решение исходного уравнения.
Для этого могут быть полезны следующие приемы. Если ядро гладкое, а правая часть )'(х) имеет особенности, то можно вместо у(х) ввести новую неизвестную функцию; г(х) = у(х) — у(х). Подстановка ее в уравнение дает ь ь г(х) — Л ~ К(х, з)г(з)««з=), ~ К(х, з)У(з)дз, а к т. е. мы получим уравнение в точности того же вида, но в котором правая часть будет уже более гладкой, а следовательно, и решение г(х) будет более гладким. Найдя г(х), затем найдем и искомое решение у(х). Очень часто встречаются уравнения, в которых ядро К(х, з) или его производная по з имеет разрывы на диагонали х=з. В этом случае уравнение предварительно выгодно переписать в виде Ь ь «««[« — «) ««(. *««* ~ — «)К« .
««««« — ««««*=«««. а а Подынтегральная функция во втором интеграле будет правильной. так как на диагонали х=з разность у(з) — у(х) обращается в нуль, ь а ~ К(х. з)лз уже не будет содержать неизвестной функции и его а 594 мвтоды ввшвнин див. гвлвнвний в частных пгоизводных (гл. 10 часто можно вычислить в явном виде. Применение метода к этому последнему интегральному уравнению даст лучший результат. Часто встречаются интегральные уравнения с ядрами вила К(х, я)= ' (Ос.а(1), (х — я1" 1 сч г Из системы (7) будем иметь: 1 У(хз)= р 1 7а ()0 ()У+ЦЧ) (12) (12') г 1 Обозначим через ти погрешность приближенного решения в точке хо т. е.
чн=у(х) — уп а через ч1(х) обозначим разность у(х) — У(х), где г'(х) определяетсн формулой (9). Тогда из (12) н (12') имеем: =у(") — '= —,АРФ В(1) й э-г Если ввести обозначения ~ ~п„~ В=шах '; р= гпах )й(; Я=Я(К(х, з)у(я)], то (13) ~~,~ < ~л~вр. где Н(х, з) — гладкая функция. От уравнений с такими ядрами целесообразно перейти к уравнениям с итерированными ядрами, которые уже не будут иметь особенности при х= ж (Об итерации ядер см., например, И.
Г. Петровский, Лекции по теории интегральных уравнений.) Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности решения, получаемого по этому методу, предполагая в уравнении (2) наличие у ядра К(х, з) и правой части У(х) непрерывных производных до порядка д. Тогда и решение будет иметь непрерывные производные до порядка у. Если обозначить определитель системы (8) через О ().), а алгебраические дополнения его элементов через 1);у()), то решение системы (8) можно будет записать в виде ф 10! пРиБлиженные методы Решений интегг«льнык РР«Биений 595 Для 7)(х) получим следующее равенство: 71 (х) = у (х) — г (х) = =Л ~~.'~ АуК(х, х)) у(ху).+ЛЙ вЂ” Л ~~.', А К(х, ху) )7~. 7 1 7 1 Отсюда получается следующая оценка: а ! 11(х) ) ([Л! ~~~~ [Ау! ! К(х, хт) [ [у(ху) — Уу[+ [Л ! ! Й! или [т[(х)[()Л[р+[Л[«МБВр~, '[Ау[; Ме —— гпах )К(х, а)!.
(13') 1 а<а. а<« В оценках (13) и (13') все константы могут быть вычислены, кроме константы р. Константа р есть максимум абсолютной величины остаточного члена квадратурной формулы для Р = К(х, з)у(а) при всех х~[а, Ь!. Для формул трапеций. Симпсона, Гаусса и многих других остаточный член имеет вид )[7(7а) =й„Р ~(1), где 7«„— некоторая постоянная, зависящая от л, а е — некоторая точка отрезка [а, Ь!. Таким образом, ! 7с (Р) ! ((«„шах ! Р'~1 (г) [. (а, Ю В нашем случае Р(з)=К(х. Б)у(а)(х — параметр). Таким образом, пна1() ~ С«д К(х,а) < -ю() п1ак ! Р' '(а) ! (,,'~~~ С" М«К,„«, (а, «1 «-о где введены обозначения: М« = гпах «', «',' й(« = шах [у(«1(а)!. (14) Постоянные М«нам неизвестны, так как неизвестно решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
