Том 2 (1160084), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Заметим, что константа М, как и ранее, может быть выражена через известные функции. В случае замены производной по 1 разностным отношением, т. е. при выборе семейства прямых 1=(а=йй (И=О, 1, 2, ...), можно также построить системы уравнений метода прямых, аппроксимирующие с разной точностью дифференциальное уравнение (53) '). Приведем две системы з). ди ! Заменим — ~ разностным отношением дс !с 2И с-сл Тогда получим систему уравнений для отыскания приближенных значений ил(х) решения и(х, 1) на прямых 1=Ге вида 1 и;(х) — — (и„ь, (х) — и„,(х)) =ул(х), й> 1, (76) и,(х) = р(х) с граничными условиями ис, (О) = ф, (1а) = ф, л! ил (1) = фз (1а) = фя л (й = 1, 2, 3, ...).
(77) Эта система аппроксимирует уравнение (53) с точностью й'. Систему уравнений, аппроксимирующую уравнение (53) более точно, можно получить следующим образом. Предполагая, что решение и(х, 1) задачи (53), (54) достаточно гладко, запишем следующие разложения по формуле Тейлора: и(х,1л+И)=и(х, (а)+Ии', + — и,'„! + 6 и,"„'~ +0(И'), 'и с„2 '" с-с„б " с-с„ йя „ ! Из и(х, 1» — й)=и(х, 1л) — йис~ + — ис',( — 6 а'с.
+0(й'), с!с с„2 с(с с, 6 'и с„ ис(х,1 +И)=и'с(х, (л)+йас, + 2 а",,' +0(й'), и-с„2 ' ~с-сл ас(х Га й) =и!(сх (а) ис*~ + 2 ссс ~ +0(й'). '-'а ' 'а с) Метод прямых с сохранением производных по х широко применялся также к квазилинейным уравнениям параболического типа; см., например, Воске, Ечсе!д!тепз!опа!е рагаЬо!жсйе йапджеггансяаЬеп а!з Огепл1ан е!пйшепзюпа!ег йопдчсег1ан1йавеп, Май. Аппа1еп, т. 102, Ней 4/5, 1929; А. Н.
Колмогоров, И. Г, Петровский, Н. С. Пискунов, Исследование уравнения диффузии..., Бюлл. МГУ, вып. 6, 1937; О. А. Ол ей ни к, А. С. Кала шпиков, Ч жоу Юй-линь, Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа вестациоварной фильтрации, ИАН СССР, т. 22, № 5, 1%8; Ч жо у Ю й-л ин сь Краевые задачи для нелинейных параболических уравнений, Матем сб., т. 47 (89), № 4, 1959. т) Простейшую схему такого варианта метода прямых, ее сходниость и оценку погрешности см. в книге В. И.
Смирнова, Курс высшей математики, т. 4, Гостехиздат, 1951, стр. 737 †7:'. 9 8[ метод пгямых гвшвния гваничных задач для дне. гглвнвний 559 Л Л Умножая третье равенство на — —, четвертое на — и складывая 2 ' 2 их с первым и вторым равенствами, получим: и(х, !л+й)-+и(х, !л — й)— — — [и', (х, та + й) — и', (х, !а — й)] = 2и (х, !Л) + 0 (й') или и(х, !а+ й) — 2и (х, !Л) + и(х, !з — й) = = ~ ]и',(х, !а+й) — и',(х, Ю,— й))-[-0(й').
(78) Заменяя в (78) производные по ! из уравнения (53) и отбрасывая 0(й'), получим для определения приближенных значений (уз(х) решения и(х, !) на прямых ! =!а систему Ф 2 (7„, (х) — (7,, (х) — — „[(7„е, (х) — 2(7а (х) -[- (7а, (х) [ = =Д„,(х) — уа„,(х), (й= 1, 2, ...), У„(х) = ~а (х) (79) с граничными условиями (уа(О)=ф, а ЮЛЯ=фа а (й=!, 2, ...). (80) Системы (76) и (79) можно решать как рекуррентные системы, если каким-либо способом найти (7,(х). П р им е р. Построить методом прямых приближенное решение задачи !à —— д, +1; и[, ~=и[ ~=и[ „=О. ди дзи 5 ' 1 ' 16 — (7] + — (7з — — ((7 — 2(7 ) = 1.
6 12 6 (/з+ !2 ((7] + (/з) — — з((7~ — 2(7з+ (7г) = 1 (7е(!) = (74(!) = О„ 5 1 ~ 16 5 ° 1 ~ 16 — (7в+ — (7а — — Фз 2(уз) = ! 6 12 с начальными условиями (7,(О) =(7,(О) =(7,(О) =О. Для етого отрезок [О, к[ разделим на четыре части и проведем через точки деления прямые. Если (7л(!) (Л=О„!, 2, 3, 4) приял ближенные значения решения на прямых х = — (й = О, 1, 2, 3, 4), 4 то для отыскания (7„(!) имеем систему линейных дифференциальных уравнений 560 мвтоды ввшения дие.
гвавнвний в частных пгоизводных !гл. 1О Частное решение неоднородной системы можно искать в виде Ус = Ас — — сопя!. Подстановка в систему дает Заас ча А,=Аз — 32 ' Аа — 8 Общее решение однородной системы получаем из (62). Таким образом, общее решение неоднородной системы имеет вид аа -асС а ч -ааС 3 Зя -аас Зяа а У (!)=С з!п — е ' +С,з1п —,е ' +Ссз!п — е + 4 2 4 32 (Се ' +)с 2Се ' +Ссе ')+ 32 ' я -аС а -а,с Я вЂ”.
с В (/а(С)=Ссади — е ' +Саз(пив 1 +Сса!и 2 е + — = 2 ас Зя -ас а 3 — ас а 9аа -ааС Заас а ЕУ (!)=С а!п — е ' +Саз(п — е '" +Ссз(п — е ' + — = 4 2 4 32 ,а ,а а т где 16 ° 24 а!па— Зя 8 и = 2,2458. яс(5+ соа — ) Для определения С,, С,, С, из начальных условий получаем систему Зааа)' 2 С,+~ 2Са+Сз= 32 ааа С вЂ” С,= — —, 8 С,— )с 2Са+С, — 32 о~куда С,= — 1,2700; Се=О; Сэ= 0 0374 16 24 и!па— ча = 8 = 0,9984, ча(5+ соа — ) 16 ° 24 а!па— 4 = 38,9073, ча(5+ соа — ) $9) влгилционныв мвтоды гвшвния кглввых злдлч 561 Итак, окончательно (7 (7) = (7с(с) = 0 9253 — 0,8980е цз™ вЂ” 0,0264е-з,зазс (ус (Г) = 1 2337 — 1,2700е-цззза + 0,037 4е ' ы"с. л Для точного решения на прямой х = — имеем: 4 ( 1)а 12' ) 8 и ~а> (21+1)с а-о Для наглвдности приведем следующие данные: 0,5 Точное решение 0,4620 1,0 0,7558 Приближенное решение ~ 0,4750 0,7598 й 9.
Варнационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики Среди приближенных методов решения уравнений в частных производных значительное место занимают вариационные методы, В некоторых областях механики эти методы являются самыми распространенными. В 9 10 главы 9 мы уже рассматривали вариационные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Здесь мы рассмотрим применение этих методов к решению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных произ. По поводу других применений метода прямых к решению краевых задач для уравнений в частных производных см. цитированные выше статьи Б. М. Будака и В. И. Лебедева, а также Я. И. Алнхаш к и н, Решение задачи о несовершенной скважине методом прямых, Вычислит.
математ., № 1, 1957; Б. М. Буда к, А. Д. Горбун о в, Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи в области с криволинейной границей, ДАН, т. 118, № 5, 1958. стр. 858 — 862 или А. Д. Горбунов, Б. М, Будак, Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи в области с криволинейной границей, Вестник МГУ, № 3, 1958, стр. 3 — 11; О. М.
Белоцерковский, Расчет обтекания кругового цилиндра с отошедшей ударной волной, Вычислительная математика. сб. 3, 1958; Е. А. Григорьева, Метод прямых в смешанных задачах для параболических систем, ДАН, т. 119, № 4, стр. 649 — 651, 1958; Л. Р!. Кам ы ниц, О применении метода конечных рааностей к решению уравнения теплопроводности, ИАН СССР. Серия математическая, 17 (1953), стр. 163 — 180 и стр.
249 — 268; П. И. Ч у ш к и н, Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым потоком газа, Вычислит. математ., № 2, 1957. 562 методы эвшвния див. гвлвнвний в частных пвоизводных [гл. 10 водных второго порядка эллиптического типа. Как уже говорилось в основе вариационных методов лежит замена краевой задачи для дифференциального уравнения эквивалентной ей вариационной задачей. Приближенное решение краевой аадачи сводится к построению приближенного решения соответствующей ей вариационной задачи. Более подробно мы остановимся на не~оде Ритца приближенного решения вариационных задач, соответствующих тем или иным краевым задачам, поэтому, чтобы не обосновывать сходимость этого метода в каждом конкретном случае, мы изложим этот метод в общем виде, а в конкретных случаях будем лишь проверять выполнение условий, при которых этот метод применим.
1. Метод Ритца решения операторных уравнений н отыскания собственных значений операторов в гнльбертовом пространстве. Пусть на линейном множестве Нл, всюду плотном в гильбертовом пространстве Н, определен аддитивный оператор А и г'— некоторый элемент из Н. В Нл требуется найти элемент, являющийся решением уравнения Ау =г. (1) В $ !О главы 9 было показано, что если оператор А положителен„ то уравнение (1) имеет не более одного решения, и если решение уравнения (1) существует, то функционал !(у) =(Ау, р) — (.г, у) — (у, .г). определенный на Нл, достигает на этом элементе наименьшего значения, т. е.
если обозначить через г решение уравнения (1), то l(г) = !п! .У(У) =Р, (3) веня и наоборот, элемент, реализующий минимум функционала /(у) на Нд, является решением уравнения (1). В дальнейшем мы всегда будем предполагать существование решения уравнения (1) и будем лишь рассматривать способы приближенного построения этого решения. Для построения приближенного решения уравнения (1) в предположении, что А — положительный оператор, строят последовательность (л„) (г„~Нл), обладающую тем свойством. что 1!ш У(г„)= !и! „/(у)=Р. (4) »» эч» вйн Последовательности, для которых имеет место условие(4), называют минимизирующими.
Если минимизирующая последовательность окажется сходящейся к элементу л~ Нл, то этот элемент будет являться решением задачи о минимуме функционала /(у) в Нл, а следовательно и решением уравнения (1). За приближенное решение уравнения (1) принимают некоторый член л„этой последовательности. 5 9) вляилционныв методы явшяния кяьввых задач 563 Как уже отмечалось ранее, не каждая минимизирующая последовательность является сходящейся. Для того чтобы каждая минимиаирующая последовательность сходилась к решению г уравнения(1), нужно наложить на оператор А дополнительные ограничения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
