Том 2 (1160084), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В случае прямоугольной области сходимость решения задачи (8), (9) к решению задачи (6), (7) в предположении достато'ной гладкости последнего и оценка погрешности метода могут быть получены с помощью принципа максимума для решения системы (8), (9); для доказательства сходимости решения задачи (11), (12) к решению задачи (б), (7) и вывода оценки погрешности метода этот подход уже неприменим '). ') Укажем один подход, не опирающийся на принцип максимума, приггдный как в случае системы (8), (9), так н в случае системы (11), (12).
Пусть требуется решить задачу Днрнхзе: ли=О, 0<х<а, 0<у<6; п1а-о=у(у), и!а-а — и)я-о=и! -ь=О где т (у) — нечетная периодическая с периодом 21 функция, имеющая прн — со<у<+со непрерывные производные до (р — 1)-го порядка н кусочно-непрерывную производную р-го порндка; р) 1. Вычитая нз точного решения втой задачи .~. СО и(Л. у) = ат С,„з1пЛ, у, Л 'мт БЬ Л„, (а — л) еш 88Люа ™ Ь яь-т полученного методом разделения переменных.
точное решение залачи (8), (9), представленное в виде из(х)= у С ошЛ у мю= "и 88 со,„(а — х) 2, Лмд а' а "' Вй м„,а ю 3В д 2 та о 544 методы РешениЯ дио. УРАВнений В чАстных НРоизВодных [гл. 1О Если область О имеет вид криволинейной трапеции (рис. 75), ограниченной прямыми у=уз, у=уз+1 и кривыми х= а(у), х — ага(У) (Уо (У (Уо-+1), то описанная схема применения метода прямых не является вполне корректной. Оказывается, что суще- ствуют очень простые области О, для которых краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений метода прямых при некоторых и будет неразрешима.
В связи с этим моакет быть предложена') другая схема метода прямых. свободная от указанного недостатка. Опишем эту схему на примере решения задачи Дирихле и! =Яа(х, у)) для уравнения Лапласа, если область имеет вид, изображенный на рис. 75, Строится контур зз, составленный из линий У = Уз+ 8; У =уо+1 — 8; х = а(у)+ 8; х =р(у) — 3, где о ) Π— достаточно ПОЛУЧИМ! пз, (х) = ~ и (х, у ) — ил (х) ! = ~~ + с„~ и ап -1 .апа Ъ~ ~з 15В Л,п (а — х) 58 п,п(а — х) Л 5нпа а / Уза ' ж=-1 па-пь При любом лао в силу свойств т (у) будет д =о( — ',). 1 1 причем константа, входящая в Π— 1, без труда выписывается явно.
шР/ о/ 1 Если ано уже выбрано, то, исследуя разности Лпа — оп н п — — Лм при ! ~< т~(иао, нетрудно получить: ап — ! ~ =О(Л'т,'Сйз "- ). па-1 Таким образом, для погрешиости метода получаем оценку ьз(х) =(и(х, у) — и,(х) (=О~ л тось '+Π— ). г з з злаопа, 1! '"о Аналогично в случае применения системы (11), (12) получаем: з !лопат, 11 Ьл(х) = ) и(х, у,) — ил(х) ! = О~ И тоС!а — )+О о 1 Таким же способом получается оценка погрешности метода прн применении систем (8), (9) и (!1), (12) к решению задачи Днрнхле для уравнения Пуассона.
(Прим. ред.) 1) Е. Х. Костюкович, О схааимостн метода прямьах..., ДАН СССР, 1!8, ай 3, 1958. ф 8) мвтод пвямых гвшвния гваничных задач для див. гвавнвний 545 УЙ ~ф Рис. 75. этих отрезков есть отрезок. Краевые условия для Ув(х) зададим следующим образом: ()в(х)= — е(а(уа), ув) при хы, (х (аа, У~(х) = — ~рф(у„), ув) при ~~ <х (х~ „ где е(х.
у) — заданная в задаче Дирихле граничная функция. Реше- ние рассматриваемой таким образом системы (8) с граничными условиями (25) ищем методом последовательных приближений, принимая за первое приближение. для (/а(х) на отрезке аа (х (рв: Ув (х)= . (х — аа)+Уз(ав) (к=1, 2, .... и). О) и,(.в) — (г,(й,) (25) а следующие приближения при и =2, 3, 4, ... находим из системы уравнений иГ'и>~- — „', 1и"',( ~ — ы1~~ ~-~иц,"( Я=о (л=!...., и), (26) С4 '=~(х. уз)=уз(х); (.Г','+ — — Их. уэ Л-1)=у,(х). Обозначая через Ул (х) значения СУ„(х) при данном д.
можно помп казать, что при наличии у решения и (х. у) непрерывных производных малое число. Рассмотрим систему прямых у = уз = уч +ь-(- мй (= +) 1 — 2Ь ~ И = ). Абсциссы точек, а также и сами точки пересече= и+1 ния прямой у = ул с контуром Г, обозначим через хв,, хм з. Решаем в-е уравнение системы (8), в которой положено ув(х)= О, только иа общей части (ав, ра) отрезков (хв ь .. ха, зК (хв,, хазК [х„ы, хвчьз), считаЯ, что д настолько мало, что общаЯ часть по у до третьего порядка включительно в области О и при соответствующем выборе и = !а (3) ( 1пп в(3) = 0) имеет место о<а ьо ию за- сходимость приближенного решения к точному решен дачи а(х, у): 1!ш гпак шах ~и(х, уа) — иаач(х) ! !=О ~-аа а-а~ х <е<е два(х, у) Если предположить, что ' у равномерно непрерывна в О, дуа то этот процесс можно проводить не строя вспомогательного контура Г,.
Эта схема обобщается на общие линейные эллиптические уравнения с переменными коэффициентами и на области более общего вида, чем изображенные на рис. 75. П р и м е р. Найти решение уравнения дав дав — + — = — 1 д' ду в квадрате — 0,5 ~( х, у ( 0,5, если граничные условия нулевые: .!. „,=.Щ„„',„=О. Зля решения задачи применим метод прямых с тремя промежуточными прямыми у=о, у=+ 0,25. Значения иа(х) решения на этих прямых будем находить используя систему уравнений метода прямых вида (8) с в=3.
Будем иметь систему иг (х)+16 (и,(х) — 2и,(х)! = — 1, Уа (х) + 1 6! из (х) — 2 ив (х) + и, (х) ! = — 1; и," (х) + 16 (и,(х) — 2иа(х) ! = и„(х) = и, (х) = о, с краевыми условиями и,( — о 5) = и,(+ о 5) = о (1 = 1, 2, 3). Частное решение неоднородной системы ищем в виде и; = А! — — сопя!. Подстановка в систему лает Аа — 2А, = — !6, 1 А, — 2Аа -1- А, = — —, Аа — 2А, 16 откуда 3 А,=Аз= 321 1 Аа =— 8 546 мвтоды ввшвния дне.
увлвнвний в члстнык пвоизводных (гл. 10 6 8! метод пРЯмых Решений ГРАничных 3АдАч длЯ див УРАВнений 547 Используя выражение (22) для общего решения соответствующей однородной системы. общее решение системы можно записать в виде ()т (х) = з!п 0,25л (Стеке+-О1е де) + з!п 0,5л (Сте' + Оте ~) +- +з!П0,75л(Сзе' +Озе-'е)+ — = — (С,е' '+О,е ')+ 3 2 32 2 +(Сее +Оае )+ 2 (Сзе +Озе ' )+ 32, (уз (х) = т(п 0,5тт (С,е' + О,е-"') -)- +-з!птг(Сзе' +Оее-'е)+з!п1,5л(С,е'Я+О,е-'е)+ — = ! 1 =(С,е' +О е-'*) — (Сзет*+Озе-Ь )+ 3-, (7, (х) = з!и 075л (Се+ив + О е -' ) + з!и 1.5л (Се'' + Оа-' ~) +- +-з!и 2,25л (С,е' л+ Оае-' ") + — = — (С,ейв+ О,е-'*)— 3 2 32 2 — (Сее' +Оее-ъ~)+ 2 (Сзе" +-Оэе-' )+ 32, где по (18) 3т = 4 ° 16 з!пз — = 9,3726, В, = 3,0611, 3зз = 4 ° 16 з!Пе — = 32, 3, = 5.6568, 4 3, = 4 16 з!Пе — = 54,6274, 3т = 7,3910.
8 Удовлетворяя граничным условиям и учитывая симметрию, т. е. считая С!=Оп получим: 'г' 2СтС!т 0,53,+2СЯСП0,53а+1г 2СЗС)т0,53,= — — 2, 0 У 2С,С)т0,53,— 2СЗС)т0,бее+ У 2С,С!т0,без=в Отсюда С, = — 0,0266, С, = О, С, = — 0,00009. Таким образом, О, (х) = О,(х) = 0,0938 — 0,0376 С!т 3,0611х — 0,00013 С)т 7,3910х, ()е (х) = 0,1250 — 0,0532 С!т 3,0611х + 0,000! 8 С!т 7,39!Ох. 548 методы гвшвния дне. твлвнвний в частных пвоизводных [гл.
1О Приближенное значение решения в центре квадрата будет Уз(0) = =0,0720, а точное же значение решения в этой точке и(0, 0)= = 0,0736. 3. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны. Рассмотрим сначала метод прямых приближен. ного решения простейшего уравнении колебаний струны деи дэи — — — =7(х. г) дтз дх' (27) в области 0 <х (1; и граничных условиях 0 «( г ( оо, при следующих начальных ди ~ дг =те(х) (0«(х«(1); г н-о и(1 !)=Фз(!) (О <!<со), (28) и[ =р,(х); и (О, !) = (, (!); Проведем систему параллельных прямых х=ха — — 7за (Ф=О, 1, 2, ..., и+1; и= ) л+1 —,[и(хлэн !) — 2и(ха. !)+и(х„„г)[, 1 то получим следующую систему уравнений метода прямых: (7," (!) — †„', [и„, (!) — 2( 7, (!) + и„ , т =У„ (!) (Уг =1.
2..... а), (29) (7,(г) =(, ®; (7„„(г) = ~,(г) с начальными условиями ().(0)=р,(х,)= уья (3=1, 2, ..., а), и'„(О) = уз(хз)= у,, аппроксимирующую уравнение (27) с точностью до йз. Чтобы получить систему уравнений метода прямых, более точно аппроксимирующую уравнение (27), воспользуемся равенством, ана- логичным равенству (10): и(ха+„1) — 2и(ха, !)+и(хз „1) = и обозначим через и„(х) значения точного решения и(х, у) задачи (27) — (28) на прямой х=хв, т, е. иь(х)=и(х„, г). Если дти ~ — заменить разностным отношением дхз! „ 9 8) метод птямых Решений ГРАничных ЗАдАч длЯ диФ.
УРАВнений 349 б ил(с)+ „[иь„,(,)+ иа,(с)[ — †„, (()а+, (1) — 2(7А (1) + ()А , (1)) = 0 1 (33) (Й = 1, 2, ..., и) (7,(1) = и„„,(1) =0. соответствующей системе (31). Частные решения этой системы будем искать в виде (7,(Г) = ТИ) о(1). Подставляя в систему (ЗЗ), получим: ()~б Т('")+ 12 Т(А+ )+ 12 Т( )) 5 1 1 — ад- (т (Тг+ 1) — 2Т (Й) + Т (Й вЂ” 1)1 = 0 и (г) Т (О) = Т (и+ 1) = 0 (й =1. 2, ..., и'), Иа дифференциального уравнения (27) дэи(хы Г) дти(хы Г) дхз дГЯ У( А' ) А( ) Лс()' дги(х,, Г) дРи(х„н Г) Тогда соотношение (10') после подстановки дха ' дха дэи (ха г Г) дает дхт 5 и" (1)+ — 2 [ив+,(1)+и",(г)1 — — „, (иа,(1) — 2иа(1)+и,(1)) = 5 = 5 уа(1) + !2 (ДА+1(1) +.РА-1(с)) + О (й~) ! Отбрасывая член 0(й") и заменяя при этом иа(1) на (7А(1), получим следующую систему уравнений метода прямых: 5 1 и и —, и,' (1) + -!2- [()Ае, (1) + (7а,(1)[— — —,(иа„,(1) — 2и,(1)+(7,,(1)) = 1 дз '+! (31) 5 ! = Е.УА(')+ !2 1УА (1)+уа- (1)) (Й=1 2 ") (7,(1)=ф,((У (7„„(1)=ф,(Г) с начальными условиями СУА (О) = ~р, (х„) = ~,А, (7'„(О) = ~р, (х„) = чч а (Й =- 1, 2,..., и), (32) Эта система уиге дает аппроксимацию порядка л~.
Здесь, как и в п. 2, легко построить общие решения однородных систем, соответствующих системам дифференциальных уравнений метода прямых (29) и (31). Построим для примера общее решение системы или " (О т (а + 1) — 21 (д) + т (а — 1) ! — — 5а — сопя!. (34) а ! — 1(Д)+ — т(а+1)+ — 'т(а — 1)~ (б 12 12 Для отыскания т Ов) получаем разностное уравнение ~1 ] — '5вДз~т(й+1) — ~2 — -'5зйа~т®+ + ~! + — 5айа ~ т (й — 1) = 0 (35) с граничными условиями т (О) = т (и + 1) = О. Его общее решение имеет вид (36) т®=с,л',+с,л,'. где Л, и Лл — корни уравнения 2]!2 — 5валз] ) 12+ Втдз + Из граничных условий имеем: т(0)=С,+С.=О; С,= — С„. т (и+ 1) = С,ЛТ+'+ С ЛГ+' = С, (ЛГ+' — Л,"+') = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
