Том 2 (1160084), страница 81
Текст из файла (страница 81)
(12) [!ив[! пв ~(И([[Ув[[лв+Л 1'(411В в[[„, (11') Это означает, что решение ив непрерывно зависит от правой части уравнения и правых частей граничных условий, причем зависимость равномерная по И. Если уравнение (3) и граничные условия (4) линейны, то данное выше определение корректности равносильно следующему: разностная схема (3) — (4) корректна, если решение ив существует при любых Ув и угв, причем э 7) СХОДИМОСТЪ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 521 Разностную схему (3) — (4) называют устойчивой ло правой части, если ее Решение сУШествУет и 11ил — йл!)и ( е длЯ любых ил, удовлетворяющих (10), при 11у" — Д .
(3 и срыл —— ~рьл (г'=1, 2, 3, .... т). Разностную схему называют устойчивой пор граничным условиям гьл(ил)=4зл (1=1, 2., р (т). если неравенство (11) имеет место при р=,р и у;л=рьл (г=р+ -1-1, .... т) и 6ь — рг~Л, (3 (1=1 2 "" р). Если разностная схема такова, что условия. входящие в последнее определение, являются аналогичными начальным условиям для дифференциальных уравнений гиперболического или параболического типа, то их называют начальными условиями для разностного уравнения и говорят об устойчивости разностной схемы по начальным условиям.
Так как это понятие в дальнейшем встречается достаточно часто, то уточним его. Пусть Г. х,, х, ...,х„ — координаты точек рассматриваемого пространства и сетка Ол лежит в полупространстве ( )~ (з и состоит из слоев 5ь, 5,, 5г, ... Под слоем 5у мы понимаем множество точек сетки, лежащих в плоскости г=гв(1)+ г1, где гь(1)-ьгь при 1-+О. Пусть первые р граничных условий (4) (р (т) однозначно определяют значения и„ в узлах слоев 5в, 5,, ..., 5в ,. Эти р условий мы и назовем начальными условиями разностного уравнения (3)„ если для любого у (/= д, д.+ 1, ...) Ио значениям ил в узлах слоев 5в 5у г, " , 5Ф в. используя только те уравнения из (3) — (4), которые связывают значения и„ в узлах слоев 5в в 5г в+о ..., 5~, можно однозначно определить значения ил во всех узлах слоя 5р При этих условиях решение ил уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям (4), существует и единственно.
В примере, приведенном в п. 1. условия гьл(и„) = 4ь и ггл(ил) = игл являются начальными условиями в этом смысле и р=д=2, а Гь(В=РВ=О. Если разностная схема удовлетворяет требованиям, входящим в определение начальных условий, то начальные условия можно задавать на любых о последовательных слоях 53 я+,. 5 ..., 5, при этом решение будет однозначно определено на всех последующих слоях 5~,О 5уьг, ... Для таких начальных условий введем обозначение г,л у(ил)=~ргл,В (1=1, 2. "" Р) (13) Пусть !)ггл В(ил) )(в — норма функции г;л В(ил). аналогичная норв~е ))г „(ил)11 (1 = 1, 2...., р).
Помимо нормы )(ил)/и, 522 методы вешания див. ввьвнений в частных пгоизводных [гл. 10 характеризующей поведение иь на всей сетке Оь, введем нормы, характеризующие поведение иь на каждом слое 5, т. е. введем норму )(иь)(з, зависящую только от значений иь в узлах слоя 5.
При всех ( зти нормы должны определяться совершенно одинаково, Потребуем, чтобы норма !1иь!1в была согласована с нормой !)иь()п ь в том смысле, что существует такая константа С, не зависящая от й и иь, что для любой функции иь~(Уь имеет место неравенство ))иь!) < С гпах!!иь11 (14) Назовем разностную схему (3) — (4) равномерно устойчивой ио начальным условиям в области Оь, если найдутся такие по- стоянные К, 3е и йь, что при любых ()~д — 1, ч (ее и а<йь для любых иь и иь, заданных на слоях 5 вчы 5в ч+и ... из соот- ношений !!гьь у(иь) — ггь ~(иьЯ (Ь (1=1. 2...,, р), гьь (иь) = — "ь(иь) ((=р+1, ..., т), Йьиь = Йь (иь), при любом И)~(' — у+1 и 5н г" Оь следует неравенство (! иь — и,Д ( КЗ.
Зто означает, что при изменении меньше чем на Ь начальных уело. вий, задаваемых на любых д последовательных слоях, и сохранении без изменений разностного уравнения и остальных граничных условий решение разностной схемы на любом из последующих слоев изменится не больше чем на Кз. Устойчивость по начальным условиям всегда следует иа равномерной устойчивости по начальным условиям. В случае линейной разностной схемы равномерная устойчивость по начальным условиям означает, что иь соотношениЯ Кань=0; ((гчь,,(иь)Цвьь<Ь (1=! 2 р)' гсь(иь)=0 ((=р+1, ..., т) следует неравенство )!иь11 (КЗ при всех М)~1' — 4+1 и 5л ~- Оь. Пусть область О лежит в полосе сь <г ( Т. Пусть при любом !') д — 1 для любой функции. заданной на а последовательных слоях сетки 5в е+,, ..., 5р определена норма )) 1!о), где нижний индекс д указывает количество последовательных слоев, от значений функции иь на которых зависит норма, а верхний индекс (' указывает номер самого верхнего слоя из них.
$7! сходимость и зстойчивость ялзиостиых схем 523 Теорема. Если при любом г' . о — 1 для любых функций и„ и и„. заданных на слоях 57 я+,, 5 я+г, ..., 5В+, и удовлетворяющих уравнениям Йьиь=У: )алин — — Л гт(иь)=~рва: гьь(иь)=<рь (1=р+1, ..., т), (15) имеет место неравенство |! иь — иь |! я(~+ 1 ( (1 + К1) |! ив — ив |! я('1, (16) где постоянная К не зависит от й, 7', и„, и„(1 — щаг сетки по переменкой г), то разностная схема (3) — (4) равномерно устойчива по начальным условиям при любых нормах |! ||е и |! еьл зу удовлетворяющих неравенствам |!.,— ь||,, (Ц., - ив||",, р |! иь — ив|! ~~Д ( ь1ь Х |! гьь, ) (ил) — гчл, В (иь) |! е чь (17) в которых Е и Мв не зависят от й, и„, и„.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть иь и иь определены в узлах слоев 8 яьг, ... и удовлетворяют уравнениям (15). Тогда по неравенству (16) при всех М)~7' имеем: |! ил ™ь ||в ( (1 + К() |! ил "«|! е ° Так как (М вЂ” /)1(Т вЂ” гь, то(1+К() '(е 1 "'. Отсюда и из неравенств (17) следует, что !!ив — ив!!в (ЕЮеех1™ ~в!!гид 7(иг~ — гь В(иь)||,, $ 1 а это и означает, что разиостиая схема равномерно устойчива по начальным значениям. Эту теорему, дающую признак равномерной устойчивости разкостиой схемы по начальным условиям, грубо можно сформулировать следующим образом: Для равномерной устойчивости по начальным условиям, достаточно, чтобы ошибка допущенная при вычислении решения при переходе от одного слоя к другому возрастала бы не более чем в (1+К1) раз, где 1 — шаг сетки по Г, Рассмотрим теперь связь равномерной устойчивости по начальным условиям с устойчивостью по правой части.
Будем рассматривать разиостиую схему (3) — (4), предполагая, что первые р граничных условий в ией являются начальными условиями в ранее определенном смысле. Разиостиое уравнение (3) 824 методы лишения диф. ге»знаний в члстных пгоизводных (гл. 1О и граничные условия (4) есть система уравнений, в которой неизвестными являются значения и„в узлах сетки б». Все уравнения этой системы разобьем на группы, включив в й-ю группу все те уравнения, в которые входят значения и» на й-м слое, но не входят значения в узлах вышележаших слоев 5»+,, 5»+,,...
Совокупность этих уравнений обозначим так: ~~~1а» У' ф(и») 9 (1 р+ 1, р-+2,..., т) (18) Если и» известна на слоях 5ь, 5,, ..., 5» „то система (18) однозначно разрешима относительно значений и» на 5». Обозначим через »УЗ норму, зависяшую только от значений у. входяших в систему (18), согласованную с йУ!)з в том смысле, что для произвольной функции у, определенной на О», выполняется не- равенство шах !)~!) < т !)у!) „, 'зи» вЂ” и»йз <С1 Ь и для любых и„и и„, совпадающих на слоях 5»,. 5» г, выпал(сено неравенство (20) ~~г,»» (и») — г,»» (и»)~~ < — /!иь — и»З „(1 = 1, 2,..., р).
'"щ Ев ' (21) где 1) — постоянная, а р — порядок дифференциального уравнения по Г, то разностная схема (3) — (4) устойчива по правой части. До к азате л ь ство. Пусть и» и и» удовлетворяют уравнениям гс»и» = Ь; рс»и» = 3», где т — постоянная, не зависяшая от Ь и г. Т е о р е м а.
Если разностная схема (3) — (4) равномерно устойчива по начальным значениям для всех таких г', что 'З7 — Я~я <йь, область О» лежит в полосе Гв <С <Т, существуют такие постоянные С, йь, йь, что при Ф)~ д, 3 < йе, »<йь и любых и» и иь, совпадающих на слоях 5»,, 5» г,... и удовлепьворяющих соотношениям ~~й)щ(и») — )с)щ(и»)~(( ~ <Ь; гф(и»)=гф(и»). (19) функции и» и й» на 5» удовлетворяют неравенству Обозначим через иаь функцию, удовлетворяющую граничным условиям г,ь(иаь) =яр,ь, совпадающую с иь иа слоях 5». 5о..., 5» (т. е. удовлетворяющую уравнению ртьиаь — — 7), а ма слоях 5»+,, 5р,еа,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
