Том 2 (1160084), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Естественно, что интерес могут представлять только такие разностные схемы, с помощью которых можно получить приближенное решение, достаточно близкое к точному, так называемые сходящиеся разностные схемы. Разностная схема называется сходяи1елся при заданном способе стремления л и 1 к нулю, если решения системы разностмых уравнений стремятся при этом к точному решению задачи для дифференциального уравнения. В этом определении предполагается, что мы умеем точно решать системы разностных уравнений, но практически мы можем найти лишь приближенное решение этой системы. Поэтому из сходяшихся разностных схем практический интерес могут представлять только те разностные схемы, для которых малые погрешности, допущенные в процессе решения разностных уравнений, не могут привести к большим отклонениям от точного решения системы. Такие схемы мы назвали устойчивыми. Пока мы оставим в стороне вопрос об исследовании сходимости разностных схем, а остановимся нз исследовании устойчивости разностных схем 17) — (9) для случая первой краевой задачи, т.
е. в предположении, что р,=р,=О, 7,=7,=1. В дальнейшем мы докажем некоторые общие теоремы о сходимости и устойчивости разностных схем, из которых можно будет сделать заключения о сходимости рассматриваемых нами разностных схем для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сначала уточним понятие устойчивости разностной схемы, о котором пойдет речь. Мы будем предполагать, что значения граничных функций в граничных узлах вычислены точно. Далее, будем предполагать, что при отыскании решения разностных уравнений погрешность допушена на р-м слое, а дальше счет ведется точно.
За счет погрешности на р-м слое мы получим добавок о;. к точному решению разностной схемы. Без ограничения общности можно считать, что погрешность допущена на начальном слое. Тогда добавки п,у будут являться решением той же самой системы уравнений, но только значения их в граничных узлах, лежащих на прямых х=О, х=1, равны нулю, а значения в граничных узлах начального слоя равньг допущенным погрешностям. Разностную схему будем называть услгодчивод, если для всякого е ) 0 найдется такое д ) О, что как только будет иметь место неравенство 500 мвтоды ввшвния див.
ввавнвний в частных пгоизводных !гл. 10 для любого 7', лишь бы /! (Т, причем 3 не зависит от й и !. Фактически зто понятие непрерывной зависимости решения разностной схемы от начальных значений. Поэтому этот тип устойчивости называют еще устойчивостью по начальным значениям. Перейдем теперь к исследованию на устойчивость схем (7) — (9). 1 Мы докажем, что схема (7) устойчива при ач, — и неустойчива 1, лри а > —; схема (8) устойчива лри всех а; схема (9) неустойчива при всех а. Здесь везде а= — „ Для доказательства этого утверждения рассмотрим функцию чгу(ш=з!п — ' (1=0, 1, 2, ..., и; )с=1, 2...,, и — 1). Легко проверить, что „-,с Г О (й+т), Х ° — ь чв((Ычв( ) = 7 з1п — Яп — = 1 л иву . тв! Будем искать частные решения разностных уравнений (7) — (9) вида (ь) у .
дв! оы = Лаз!и —, л где Ль — некоторое число, которое нужно определить. Рассмотрим сначала разностную схему (7). Подстановка в (7) дает Ль з1п — = (1 — 2а) Ль з!и — + аЛ),( з!п + з!п — г! Ьы Ьы ( Дв(у+ !) . Ь (! — 1) с л л л л нли 2 Ль = 1 — 4а з!п' —. 2л ' При каждом фиксированном й о(Ы удовлетворяет граничным су условиям о(ь) = о(Ы) = О. В силу линейности и однородности разе) лу постного уравнения линейная комбинация частных решений будет также решением разностного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям; л-1 Ьсс .
ог.= г аьЛьз!п —; ооу = о.) = О. Постоянные аь подберем так, чтобы были удовлетворены н начальные условия в узлах (1, 0) (1=1, 2, ..., и — 1), т. е. л-у йе! оя= ~ аьяп — '. л а-с 2 5! метод сеток Решения пАРАБОлических УРАВнений 501 ЬМ Для того чтобы найти ак, умножим обе части равенства на з!и— и просуммируем по 1 от 1 до п — 1. Получим: и-1 Лиг и пшз!и — = ак —.
и Далее, возводя то же самое равенство в квадрат и суммируя по Х от 1 до п — 1, получим: и-1 и-1 В точности таким же приемом для г, отличного от нуля, получим: и-! и-! А 2' =Х 2 ~! 2!22 и кк и к 2 I 1 1 2-1 Отсюда очевидно, что если при всех 72 л=гыарлг.1ГЛ имеет место неравенство !!2~ ( 1, то а г !г и-1 и-1 Х Ф,1 < Х зр <3. 1, ! 11 ' 1=1 1(рт+ -/ ! и, полагая а = е, докажем устойчивость разностной схемы.
Так как в нашем ал Рнс. 72. случае )А= 1 — 4аз!Па — „то )Хд( < 1 2и " 1 при о < —. Таким образом, разностная схема (7) устойчива прн 1 и( —. ! Покажем теперь геустойчивость этой схемы при а) —. В этом 2 ' случае для каждого достаточно большого п можно найти такое целое число йр( и. что ) Акр))! +р. где р ) О и не зависит от л.
Это можно видеть из построенного на рис. 72 графика. Рассмотрим теперь следующее частное решение разностного уравнения: !2„1,, Лриг О„" ='РАк„з!п —. и Для этого решения и-1 и-1 Х Аа'=1') к' — ") —." Р(1+ р)22=(1+р)2У,'~" (ра'. ,1 1 1 502 методы РешВния ДНФ. УРАВнений В чАстных НРоизводных [гл. 1О Подстановка в разностное уравнение (8) дает (1+2а) Л1 гйп — — аЛ! р!и йю Г . Еа(!+1) .
йя(! — 1)Ч . йл! й л й[ л + з[п 1 =Лг-1з!и— л ~ й л или Лй ~! — 2а(соз — — 1)~ = 1. Так как 2а(соз — — !)<0 ())=1, 2, ..., л — 1), л то при всех а имеет место неравенство О<Л = 1 С1, 1 — 23 (соз — — 1) л из которого следует, что при всех а разностная схема (8) устойчива, йв! Для разностной схемы (9) подстановка о';")=Л!йз!и — в раз- ностное уравнение дает ).1+' В!и — = 2аЛЗ (з!и й л йл! — 2З1п — + йч (! — 1) Л, )13! + 51П )+ Л! ! 31П л ) й л илн Лй + 8аЛА сйпз — — 1 = О. 3 йв 2л йв Обозначая 4а япа — через Тй, получим: 2л Лй+2)АЛй †1 или )'й. 1= Та+ 1 ! +Тй! Лй 3= Тй 1' 1+ )й.
Следовательно, если сумма квадратов погрешностей в узлах началь- 3-1 ного ряда ~ ог," не равна нулю, то при очень малом шаге л, Нн) 3 ! 1 когда для отыскания решения в прямоугольнике )с нужно сделать большое число шагов в направлении оси 1, сумма ~о,!" для боль- ~Ъ !й„)3 ших ) будет весьма велика, а это и означает, что разностная схема неустойчива. Рассмотрим теперь разностную схему (8). Следуя нашему метолу, ищем частные решения вида <й) У . йа! оы = Лй 5!и —. 2' 5! мвтод пяток гашения плвлволичвских гглвнвний 503 Таким образом, при всех п имеет место неравенство !)ма!> И Используя частное решение вида рй 7 ом =р)а,азгп— и и рассуждая точно так же, как и при доказательстве неустойчивости 1 схемы (7) при а > —, мы убеждаемся, что схема (9) неустойчива 2' при всех и.
Мы рассмотрели простейшие разностные схемы лля уравнения теплопроводности. Можно построить другие разностные схемы. например. используя способы построения разностных схем, описанные в 2 2, причем можно получить схемы, дающие значительно лучшую аппроксимацию, чем мы имели для рассматриваемых схем, но каждый раз необходимо исследовать их на устойчивость, так как только устойчивые схемы представляют практический интерес. Все разностные схемы разбиваются на два класса: явные схемы и неявные схемы. Явные схемы позволяют очень просто вычислить значения искомого решения в узлах и-го горизонтального ряда, если известны значения решения на предыдущих рядах.
Но они имеют существенный недостаток: для того чтобы они были устойчивы, необходимо налагать сильные ограничения на сетку. Так, в схеме (7) для устойчивости должно быть выполнено ограничение ! ! а= — „, «( —, что требует очень мелкого шага по С, т. е. если нужно Лз= 2' найти решение на конечном отрезке изменения С, то количество горизонтальных рядов узлов должно быть очень большим. Кроме того, если в ходе решения нужно уменьшить шаг по х, то нельзя этого сделать, не уменьшая шага по С. Неявные схемы, например схема (8), свободны от этого недо.
статка, но использование их связано с другой трудносчью: для отыскания значений решения в узлах т-го горизонтального ряда при известных значениях в узлах предыдущих рядов приходится решать систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. Если для решения этих систем применять метод итераций, то увеличение шага по времени, допустимое в этом случае, приводит к увеличению числа итераций, необходимых для отыскания решения системы с заданной точностью. Если за начальные приближения принимать соответствующие значения в узлах предыдущего ряда, что вполне естественно, то с увеличением шага по С число необходимых итераций растет, хотя и не пропорционально увеличению шага, а медленней, все же эффект выигрыша времени за счет увеличения шага по С в значительной мере пропадает.
В связи с этим возникает необходимость в более эффективных методах решения систем алгебраических уравнений, получающихся прн использовании 504 мвтоды вешания див. твлвнвний в частных пвоизводных [гл. 1О неявных разностных схем. В следующем параграфе мы изложим метод прогонки, разработанный в Математическом институте им. Стеклова АН СССР. П р и м е р. Методом сеток найти решение уравнения ди дги дГ дхз ' удовлетворяющее условиям и(х. 0)=з1пмх (О <х (1); и(0, Г) =и(1, 1)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
