Том 2 (1160084), страница 75
Текст из файла (страница 75)
систем 487 Итерации проводим до тех пор, пока х)"', у~~"~, й"~, о~~"~ будут с заданной точностью равны соответственно х5 , уу , НУ 4 , о7"+ (5 11 Ы 1,7 1,4 Рис. 62. Для точки 7 (рис. б2) итерации величин х("', у(ч), и("1, о("1 ведут 7 ' 7 ' Т ' 7 себя следующим образом: х(ю 7 (сч У7 (ю йо "7 Ниже приведены окончательные результаты для двух слоев точек, округленные до третьего десятичного знака. В скобках указаны погрешности приближенных значений и; и он т. е. разности значений и! и о, и значений точного решения и, о в точках хн уы в единицах третьего десятичного разряда.
1О 0,021 0,010 1,4 1,5 0,168 (2) 0,071 (1) 0,065 (О) 0,088 (О) Хс Ус Лс ес 0,057 11 0 434 (6) 0,842 (0) 0,044 1,2 0,351 (4) 0,892 (0) 0,033 1,3 0,262 (3) 0,933 (0) 488 методы вешания див. авлвнвний в члстных пгоизводных [гл. 1О Продолжение 15 14 13 0,054 1,4 0',184 (3) 0,933 (О) 0,102 1,2 0,333 (5) 0,842 (О) 0,032 1,5 0,070 (2) 0,956 (О) 0,077 1,3 0,252 (4) 0,892 (О) х» У» и» о» На рис. 62 изображено примерное расположение точек (хо у») (масштаб по оси х в два раза больше, чем оси у). 7.
Основные задачи, встречающиеся при исследовании плоского безвихревого сверхзвукового установившегося течения идеального газа. Любые случаи плоского установившегося движения идеального газа при сверхзвуковых скоростях при отсутствии сильных разрывов (разрывов (7 и )г) можно получить, если известны методы решения следующих задач. 3 а д а ч а 1. Поле скоростей (т, е. (7 и 1») задано в плоскости х, у на дуге ао некоторой линии С, не являющейся характеристикой. Требуется найти поле скоростей в области, ограниченной дугой аЬ и двумя характеристиками разных семейств, выходящими из точека и Ь.
Рнс, 84. Рнс, 83. 3 а д а ч а 2. Поле скоростей известно на дугах ао и ас двух характеристик разных семейств, выходящих из точки а. Требуется найти поле скоростей в области, ограниченной этими дугами и дугами характеристик, выходящими из точек о и с. Задача 3. Поле скоростей задано на дуге ао характеристики того или другого семейства, выходящей из точки а, лежащей на твердой стенке ас, заданной уравнением. Предползгается, что ф 4) мвтод хлвлктвгистик числвнного вешания гипвгволич. сисгвм 489 граница стенки лежит между характеристиками, выходящими из точ- ки а. Требуется определить поле скоростей в области, ограниченной дугой аб, стенкой ас и характеристикой второго семейства, выходящей из у Ь точки о.
I 3 а д а ч а 4. Поле скоростей задано с на дуге аб характеристики. где а лежит на свободной границе ас, уравнение которой неизвестно (под свободной границей мы понимаем кривую, вдоль которой абсолютная величина Л скорости постоянна, а направление ее Рис. 65. совпадает с касательным направлением к этой кривой в данной точке). Требуется найти уравнение свобод- ной границы и поле скоростей в области, ограниченной дугой аб, свободной границей ас и характеристикой второго семейства, выхо- дящей из точки д.
Очевилно, что свободная граница расположена между характеристиками. выходящими из точки а. Для численного решения этих задач можно применить метод Массо. Подробно на этом методе останавливаться нет необходимости, так как задача ! есть задача Коши, задача 2 — задача Гурса, задача 3 — задача, которую мы раньше назвали второй смешанной задачей. В задаче 3 нужно только иметь в виду, что на твердой стенке усло- вием на СУ и Ъ' будет требование, что направление скорости совпа- дает с направлением, касательным к стенке. Решение этих задач Рнс. 66.
Рис. 67. было подробно рассмотрено раньше. Остановимся на решении задачи 4, 1ак как раньше мы не рассматривали аналогичную задачу, Для численного решения задачи 4 возьмем на дуге достаточно густую сетку точек (точки 7, 2, 3, 4 на рис. 67). Так как в точке а известны 77 и Ъ', то в этой точке можно вычислить абсолютную величину скорости и найти ее направление, т. е. направление свободной границы в этой точке.
В направлении ее проводим луч до 490 методы Решении дие. УРАвнений в чАстных пгоизводных [гл. 1О пересечения с лучом, выходящим из точки 7 в направлении характеристики второго семейства, проходящей через эту точку (точка 6 на рис. 67). Значения (7 и (г в точке 6 можно найти, используя дифференциальное соотношение вдоль характеристики второго семейства, выходящей из точки 1, если в нем дифференциалы заменим конечными разностями и постоянство абсолютной величины скорости вдоль свободной границы. Таким образом, мы найдем (/ и ьг в этой точке, а следовательно и направление свободной границы в этой точке.
По точкам 6 и 2 обычным приемом найдем точку 6, по 6 и 8 — точку 7, по 7 и 4 — точку 8. Таким образом, мы найдем новый ряд точек, расположенных на новой характеристике первого семейства. Далее, повторяем изложенный процесс, считая этот ряд исходным. Уточнение можно выполнить каждый рнз с помощью приемов, описанных ранее. Таким образом, после конечного числа шагов мы найдем приближенно свободную границу и поле скоростей в рассматриваемой в задаче области. Умея находить поле скоростей в каждой из четырех задач, можно решать более сложные задачи, комбинируя эти четыре, а также находить другие величины. характеризующие движение газовой среды (например, давление р и плотность р), используя соотношения, связывающие их со скоростями.
ф 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа Рассмотрим решение задачи Коши и смешанных задач для линейного дифференциального уравнения параболического типа') вида ди дти, ди Ьа= — — а — — о — — си= Е, дт дхх дх где а, о, с, с( — заданные функции переменных х и Е и а ) О. 1. Метод сеток для решения задачи Коши. Пусть необходимо найти решение и(х, Е) уравнения (1) в полуплоскости Е ) О, удовлетворяющее начальному условию и (х, 0) = р (х) ( — со с..
х ( со), (2) где р(х) — заданная функция. Для отыскания приближенного решения этой задачи методом сеток рассмотрим прямоугольную сетку узлов, образуемую точками ~) По поводу применения метода сеток в теории уравнений параболического типа смл И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, ГТТИ, 19531 О.
А. О л ей ни к, Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений, УМН, т. ХП, вып. 3 (75) 1957 (й 7 и библиография в конце. статьи); О. А. Ладыженская, обзорная статья, цит. нл стр. 412 (и библиография в конце статьи). 5 61 метод сеток еешения плелеолических телвнений 491 пересечения двух семейств параллельных прямых: х=й(1=0, +1, +2, ...): 1= 11 ((=О, 1, 2, ...) Для каждого узла (1, у) 0 1) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее с некоторой точностью уравнение (!). Для этого ди дзи заменим производные —, — в узле (б 1) соответственно разност- дх ' дхз ными отношениями иг+~ 1 иа-ь1 2Д и;+, — 2иж+ и; ди Производную — в узле (1, /) будем заменять одним из трех разностных отношений: и; +,— и, и; 1 — иг 1 Рнс.
68. и~ +,— и, И В соответствии с этими способами аппроксимации производных мы получим три типа разностной аппроксимации дифференциального уравнения (1): и „,— и иг+~ .— 2и; +и; 1О1и;1 — — ' ' — аЫ вЂ” да. '1 „'1 — сг)иб — — 111, (3) и; .— и;, иг, — 2ио+и; 1оци11 — — ' ' — а" 1 Ч "ьу+~ ьу-~ иг.~.ьу иы 2! 11 да — дб '~ху „' " — сби; =~1. (6) Разностное уравнение (3) содержит значения решения в четырех узлах, изображенных на рис.
69, и аппроксимирует уравнение (1) с точностью до 0(1+из); разностное уравнение (4) содержит 492 мятоды яяшания див. телвниний в частных пгоизводных !гл. 1О значения решения в четырех узлах, изображенных на рис. 70, и аппроксимирует уравнение (1) также с точностью до 0(1+Из): в разностное уравнение (5) входят значения решения в пяти узлах (рис.
71), и аппроксимация уравнения (1) в этом случае будет Рис. 70. Рнс. 69. 0((з+И'). Для узлов нулевого горизонтального ряда 7=0 из начального условия (2) имеем: ио — <р((И)=~р, (1=0, +1, +2, ...). (5) Первая и третья разностные схемы являются явными схемами, а вторая — неявная. Особенно простой вид разностные уравнения (3) — (5) приобретают для уравнения ди дои Ьи= — — —,= О. (1') дг дхо Если ввести обозначение а= — , Из ' то будем иметь: иь сю = (1 — 2а) и;7+ + а (и; ы + и;, 7), (3') (1+2а) ий — сс(ись, у+иг, )= =и, 7,, (4') Рнс. 7!. и, .„=2а(и;.„7 — 2и7+ и,, )+ +и,) о (5') Естественно возникает вопрос: какую из трех схем целесообразнее использовать и какое соотношение между И и 1 брать? С точки зрения простоты расчетных формул целесообразно выбирать а так, чтобы разностное уравнение было наиболее просто.
Из этих соображений в уравнениях (3') — (5') целесообразно поло- 1 жить а = —, Тогда будем иметь очень простые разностные урав- 2 ' пения: "ьеь 7+ "$-ь1 3" ис уг (3 ) 4и; — (и;„-1-и,, 7) = 2и, (4") иьу„,— — ис 1 .— 2и0+ис в~+яку и (5') 9 5) мзтод сзток вяшзния паялволичзских гглвнзний 493 ! — 6 ! — 3 ! — 4 0 Š— 2» 7» — 24» 89* — 338» 1311» 0 0 0 0 0 0 — 12» 0 0 0 0 0 — 10» 71» 0 0 0 0 — 8» 49» — 260» 0 0 — 4» 17» — 68» 273» — 1096»! А — 1 А а+1 1+2 а-~3 7»+ 4 1+5 а+6 0 0 0 — бе 31» — 144» 641» ! + 4 ( ! + 5 ~ ! + б ! + 2 0 0 — 4» 17» — 68» 273» — ! 096» 0 о 0 — бе 31» — 144» 641» 0 0 0 о Š— 8» 49» — 260» Л вЂ” 1 а+1 а+2 л+3 а+4 а+5 я+6 0 0 0 0 0 — 10» 7!е 0 0 о 0 0 0 Š— 12е Из этой таблицы видно. что малая погрешность. допущенная при вычислении ия„ быстро растет при переходе к следующим слоям.
Это, конечно, оченЬ упрощенная схема, так как на самом деле при Для вычислений проще всего первая схема, так как из начальных условий известны значения решения в узлах начального ряда, по ним легко находятся значения решения в узлах первого ряда, затем второго ряда и т. д. При использовании второй схемы приходится решать систему уравнений. При решении задачи с помощью третьей разностной схемы нужно каким-то образом вычислить значения решения в узлах первого ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
