Том 2 (1160084), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Помимо этого нужно всегда помнить, что не всякая разностная схема может быть использована лля практического счета, если лаже при выборе этой схемы имеет место сходимость послеловательности решений, полученных с помощью ее, при неограниченном измельчении сетки к точному решению задачи, так как схема может оказаться неприголной из-за резкого накопления погрешности при счете. Здесь мы приходим к понятию устойчивости разностных схем, которое будет подробно изложено в 9 б.
П р и м е р. Найдем методом сеток решение задачи дев дги —,— —,"-,=0; — =О, и (х, О) = ср (х) = 0,2х (1 — х) сйп кх; и! =и(~,=0. Для решения применим квадратную сетку с шагом к=0,05. Значения искомого решения и! и иц (!=0, 1, 2, ..., 20) находим по формулам: и!а = !7! = у(1)г), 1 лг! 2 !т! .1+тг-г)' )(ля отыскания приближенных значений на последующих горизонтальных рялах пользуемся уравнением и, 7е, — — и1„, 7+и!, 7 — и! 1 !. Результаты приведены в таблице (в единицах четвертого десятичного разряда): 0,15 0,20 0,40 0,45 0,05 0,10 0,35 0,30 0,50 !!б ~ 185 !22 457 489 447 478 4!9 447 377 397 321 335 260 262 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 196 190 139 120 92 64 49 26 — 2 — 2 и (х„0,5) 15 28 50 66 74 76 70 58 42 21 — 1 56 65 94 124 142 144 134 112 79 42 — 1 139 170 194 ЮО 186 155 112 57 0 190 198 209 228 236 221 186 1ЗЗ 70 — 2 265 264 260 256 25! 249 236 199 144 ?4 0 340 335 322 302 277 251 227 194 140 74 — 2 405 398 377 343 302 255 209 168 124 64 — 1 500 489 456 405 338 265 186 1!5 54 13 — 2 ф 4) мзтод хлглктевистик числанного вешания гипавволич.
систем 461 Значение решения при х) 0,5 не приведены, так как решение симметрично относительно прямой х = 0,5, В последней строке приведены значения точного решения задачи при у = 0,5. Сравнение последней и предпоследней строк показывает, что метод сеток дает очень хорошее совпадение с точным решением. ф 4.
Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных При изложении метода характеристик мы ограничимся случаем гиперболических систем двух и трех квазилинейных уравнений первого порядка и одним квазилинейным гиперболическим дифференциальным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными '). 1. Уравнения характеристик системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка ~(а»у д +50 — )=с, (»=1, 2, .... и), (1) где а», Ь»р с; — заданные функции переменных х, у, и,, из,.... и„— непрерывные и непрерывно дифференцируемые в некоторой области изменения своих аргументов. Такие системы называют каазилииейнмми. Пусть и,(х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у) — некоторое непрерывно дифференцируемое в области 6 плоскости х, у решение системы (1), а С вЂ” некоторая гладкая кривая без кратных точек, расположенная в области б. Поставим такой вопрос: можно ли по значениям решения и,(х, у), их(х, у), ..., и„(х, у) на кривой С, используя систему (1), найти на кривой С значения частных произди» ди» водных р.= —.
») = — ? дх ' ' ду Значения частных производных рь д» (1=1, 2, ..., и) на кривой С связаны и соотношениями ~~ч»(а»»ру+Ь»у»уу)=с» (1=1. 2, ..., л), 1 (2) ») По поводу применения метода характеристик к решению уравнений гиперболического типа см.
также статью Й. М. Гель ф аида, Некоторые задачи теории квазилннейных уравнений, УМН, т. Х!Ч, вып. 2 (86), 1959, 87 — 158. 462 мвтоды ввшвния дна. гвлвнвний в частных пгоизводных (гл. 10 получающимися из системы (1), и и дифференциальными соотношениями ра !(х+ д; Иу = с(и! (1 = 1, 2... „п), (3) где дифференциалы берутся вдоль кривой С. Таким образом, для определения рн д; (1=1, 2, ..., и) получаем систему 2п линейных уравнений первого порядка. Предполагая, что в рассматриваемой точке кривой С !тх + О. систему (3) можно переписать в таком виде: р;= — д; — «-+ ~ (1=1, 2, ..., п), Ну Ии! (4) а затем из системы (2) исключить неизвестные ро Для отыскания йа получим следующую систему уравнений: „.'.',(Ь!.!(х — а!у!(у)д.=с!с(х — ~а,уаиу (1=1, 2, ..., п). (5) ! ! у 1 Если из этой системы можно найти дг, ды ..., д„, то с помощью системы (4) найдутся и р,, р,..., р„(мы предполагали, что в рассматриваемой точке кривой С ах Ф О.
Если это не так, то г(у ~ О и систему (3) можно переписать в виде дг= — р; — + — ' (1=1, 2, ..., п) (4') и из системы (2) исключить 4о После исключения получим систему ~~,'з(а;ус!у — Ь;усгх)р~=с;с(у — ~Ьг!.!(и ((=1, 2, ..., п), (5') ! ! з ! определитель которой отличается, может быть, только знаком от определителя системы (5).
Обозначим определитель матрицы коэффициентов системы (5) через 5, т, е, Ьпах — а!!а« Ьгаах — агааУ ... Ьг„ах — ашИУ Ьмах — аз!ау ам ах — азагГ« ... Ь,пах — а,„Ну (6) Ь„! Нх — а„! й« Ьиа Нх — а,н МУ ... Ьии ах — аиил«. Рассмотрим два случая: 1) определитель й не обращается в нуль ни в одной точке кривой С; 2) определитель и на кривой С тождественно равен нулю. В первом случае система (5) имеет относительно !)! единственное решение, а следовательно, в каждой точке кривой С по значениям и,(х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у) на С и системе (1) можно однозначно найти частные производные этих функций.
Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения системы (1), система (5) должна быть совместной, но так в 41 мятод хлвлктвгистик численного гзшвния гипвгзолич. систем 463 как определитель ее равен нулю, то система (5) имеет бесконечно много решений. Таким образом, во втором случае по значениям и,(х, у), и,(х„ У), ..., и„(х, у) на С и системе (1) нельзя однозначно определить частные производные решения на кривой С. В этом случае кривую С называют характеристикой системы (1), соответствующей данному решению системы. Кривую С вместе со значениями решения вдоль нее, т. е.
кривую в и+ 2-мерном пространстве х, у, и,, и,, ..., и„, будем называть характеристической кривой. Характеристика С будет ее проекцией на плоскость х, у. Тангенс угла наклона касательной к характеристике С с осью х = — удовлетворяет уравнению лу йх Ьдд — Лап Ьдд — Лад ...
Ьди — Ласи Ь вЂ” Лаг Ь вЂ” Л ... Ьа„— Л (7) Ьга — Ла,и Ьт — Ладж ... Ь„„— Лаки В фиксированной точке (х, у, и,, иг, ..., и„) это будет уравненге степени и относительно Л. Если оно имеет л действительных различных корнеЯ, то говорят, что в этой точке система (1) является гиперболической системой.
Если это свойство имеет место в каждой точке некоторой области пространства х, у, и,, и,, ..., и„, то говорят, что система (1) суть гиперболическая система в этой области. Только такие системы мы и будем рассматривать. При заданном решении и,(х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у) гиперболической системы (1) в каждой точке области О. где это решение определено, уравнение (7) имеет л действительных различных корнеЯ, определяющих п направлений касательных к характеристикам, соответствующих данному решению.
Обозначая через Л,, )~, ..., Л„ корни уравнения (7), являющиеся (при заданном решении ид(х, У), иг(х, у), ..., и„(х, у)) функциями х и у, мы получим л дифференциальных уравнений йу=лс(х, У)йх (1=1, 2, ..., л). (8) Каждое уравнение определяет однопараметрическое семейство кривых — интегральных кривых этого уравнения, покрывающее область 0. Через каждую точку пройдет одна и только одна кривая семейства. Рассматривая все уравнения и.чи, что то же самое, рассматривая уравнение (7) как дифференциальное уравнение первого порядка и-й степени, мы получим при заданном решении сс, (х, У) иг(х У).
° .... и„(х, у) системы (1) и налагающихся однопараметрических семейств кривых, или и семейств характеристик. Через каждую точку области б будет проходить одна и только одна характеристика каждого семейства. 464 мятоды гяшячия див. гглвияиий в члстиых пгоизводиых (гл, 1О Вели система (1) существенно квазилииейиа, то ее характеристики существенно зависят от выбора решения системы и могут быть определены только, если известно решение. В случае линейной системы коэффициенты аип ЬО в (1) ие зависят от и,, и,, ..., и„ и из уравнения (7) характеристики могут быть найдены независимо от выбранного решения. Предположим, что кривая С плоскости х, у есть характеристика системы (1), соответствующая заааииому решению и, (х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у).
На кривой С определитель а обращается в нуль, ио так как система (5) совместна, то и все определители, получающиеся заменой в б й-го столбца столбцом правых частей системы (5), должны также обращаться в нуль. Обозначим определитель, получающийся заменой в б 1-го столбца столбцом свободиых членов системы (5), через йп Тогда иа кривой С фуикции и,(х, у), иг(х, у), ..., и„(х, у) будут связаны и+ 1 соотношениями б=б,=б,= ... =5„=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
