Том 2 (1160084), страница 67
Текст из файла (страница 67)
( = '= -'=-) 1! и) иЫ = ф! |Оп т и|'й При решении задачи Дирихле для уравнения (1) методом сеток, когда в граничных узлах решение определяется из уравнений Коллатца, погрешность имеет относительно й порядок и= 2. Следовательно, но не удовлетворяет граничным условиям при 1= 0 и 1= и.
Функцию р>г> целочисленного аргумента 1 найдем из условия, чтобы были удовлетворены уравнения для внутренних узлов. Подстановка дает (рД,+ф~,) яп гк/И+у(г> [з1п гп(/+1) И+э[о гиЦ вЂ” 1) И вЂ” 4 яп гк/И[= = (ср(г~>, + ф~, — 2(2 — соз гий) ф>) яп гп/И = 0 или р(">,+>о(г>,— 2(2 — созгей) ф,.">=0 (1=0, 1. 2, ..., и). Обшее решение этого имеет вид однородного разностного уравнения р'.">= А Л' -[-В Л' где Лг,> и Лг,о — корни характеристического уравнения ЛЯ вЂ” 2 (2 — соз гий) Л+ 1 = О, а А„и „— произвольные постоянные.
Таким образом, и[т — — (А„)„'., +- В,Л'„з) яп г»уй. Решение системы разностных уравнений, удовлетворяюшее всем граничным условиям, будем искать в виде о-1 иΠ— — ~ (А„Л'„, -4- В„Л'„,) яп ги>й, 1 где постоянные А„, В,(г=!, 2...,, и — 1) подберем так, чтобы были удовлетворены граничные условия при 1=0, (=и. В нашем случае из граничных условий имеем: о о-1 ~~.', (А„+ В„) яп гней = 0; ~~'., (А Л„", + В >и,) яп гп> И = яп к>й. Функции яп гней образуют на множестве [О, 1, 2, ..., и[ полную ортогональную систему функций, т. е.
~~.', яп гкуй з[п 1н>й = 0 г-о при г чь 1. В нашем случае это дает А,+В„=О (г=1,2, ..., и — 1), А Л>~ >+ В Л>~ о = 1, А„Л",+. В„Л„" о=0 (г= 2, 3, ..., и — 1), 440 методы вешания дне. гвлвнаний в частных пгоизводных [гл. 10 Это решение удовлетворяет граничным условиям ик>,= а~">„=О, Ио ия 9 2] метод сеток вешания кваевых задач для дие. илвнений 441 откуда 1 41= — г= ч в А,=В„=О (г=2,3, ..., а — 1У и и17 — — „„з(пе/д (1, /=О, 1, 2, ..., л). х — )чз В нашем случае и=8.
Ниже приведена таблица значений агу для 1= 0, 1, 2, ..., 8 и /= О. 1, 2, 3, 4. Значения иО при / = 5, 8, 7, 8 ие приводятся, так как и,у и точное решение и(х, у) симметричны относительно прямой у=0,5=46. (Значения иО даны в единицах четвертого десятичного знака.) б 7 8 4 ~ 0 Если при той же сетке применить более точную разностную аппроксимацию оператора Лапласа (д„) 4(~~ Ь +~~ Ь +визе +л,,Г )+ ы бдя +(иьеьть, +и. ь .+и;, „,+и.„ь, .) — 20лзт бдя то получим следующую систему уравнений лля иО.
4(иьь, 7+из, 7+из е,+и, ь)+ +(и,.ь1 .ь1+и1 ь, ~+и,, г+иььь, г) — 20и17 —— О' (1,7'=1, 2, ..., 7), ие7= иы — — иы — — О, иа7= з!пакуй (1, /=О, 1, 2...,, 8), Точно так же, как и раньше, можно показать, что решение этой. системы имеет вид г Ры иы ига = „„з1п куй ~и1 Ртв (1, 7'= О, 1, 2, ..., 8), 0 137 253 331 358 0 295 545 713 771 0 498 920 1203 1302 0 777 1435 1876 2030 0 1174 2169 2834 3067 0 1749 3232 4223 4571 0 2591 4787 6255 6771 0 3827 7071 9239 10000 442 мвтоды вешания дие. увавнвний в частных пгоизводных [гл. !О где рп и р„— корни уравнения Таблица значений этого решения приведена ниже: Ь 7 0 ~ 134 0 ( 0 1732 2578 320! 4764 4.86 6224 4527 6737 247 322 349 Точное решение поставленной задачи Дирихле имеет вид вн чу и(х,у)= япих.
вн в 'Таблица его значений в узлах сетки приведена ниже 2 ! В г ( г ( г О ~ 0 1158 ' 1734 2140 ! 3204 2796 ~ 4186 3027 ~ 4531 0 0 1 0 0 0 488 763 901 1410 1177 1843 1274 1995 Приведем еше таблицу отклонений полученных приближенных решений задачи от значений точного решения во внутренних узлах сетки (в единицах четвертого десятичного знака); Из этой таблицы видно, что уточненная схема дала значительно лучший результат. Если относительная погрешность результата, полученного в простейшей схеме, достигает 2,5%, то при уточненной схеме она не превосходит 0,3%.
0 134 247 323 349 0 288 532 695 752 0 288 532 696 753 0 487 900 1176 1273 0 763 1409 1841 1993 0 1157 2138 2793 3024 0 2581 4769 6231 6744 0 3827 7071 9239 10000 0 3827 7071 9239 10000 9 3! мвтод свток гвшвния гипвгволичвских гглвнвний 443 3 3.
Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа В этом параграфе мы изложим метод сеток решения основных задач для дифференциальных уравнений вида ') дои дои ди ди Еи = а — — д †.+ с + д — + ди = 7, дхо дуо иу ду где а, Ь, с, г(, у, 7' — заданные функции переменных х и у и ад) О в рассматриваемой области плоскости х, у. Для определенности будем считать а и Ь положительными. Мы рассмотрим решение двух основных задач: 1.
Решение задачи Коши, заключающейся в отыскании решения а(х, у) уравнения (!) в области 0 (у) О), удовлетворяющего начальным условиям: и~я=о=<7(х); ди ) =ф(х) ( — со(х(+со), (2) ду ~л-о где ~у и ф — заданные функции переменного х.
2. Решение смешанной задачи, заключающейся в отыскании решения и(х, у) уравнения (1) в области 0(р (х (7, у) О,', удовлетворяющего начальным условиям: д и ~л-о =р(х); (Р (х <7) (2') и некоторым условиям на прямых х = р и х = 7. Мы ограничимся тремя типами условий на этих прямых: краевое условие первого рода и )„а = Ф (у) (у )~ О), краевое условие второго рода ди ( ='Р(у) (у) О), (4) краевое условие третьего рода ~д — +8и~ = Г(у) (у) О), (5) где Ф, !Р, гч.
3 — заданные функции переменного у. ») О применении Метода сеток к более общим уравнениям гиперболического типа см. цитированную на стр. 411 обзорную статью О. А. Ладыженской, а также статью С К. Годунова орлзностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики», Матем. сб., т. 47 (89): 3„1939, 271 †3. 444 методы гашения дне.
ввлвнвннй в частных пгоизводных 1гл. 1О /=д /еу /= 4 /=у ,/ =Г /=/ /" д /--4 /=-У/= д/ -/ /=0 /'=/ /ьд /=.У /тл 1. Метод сеток для решения задачи Коши. Проведем два семейства параллельных прямых: «=/д (/=О/ 81, +2,...); у = у/ (/ = О. 1, 2), т. е. покроем полуплоскость Рис. 38. у ) О сеткой прямоугольников со сторонами й и / по осям х и у соответственно. Вершимы прямоугольников назовем узлами сетки. Узлы, расположенные на прямой у = О, несущей начальные данные, назовем граничными узлами. Для каждого внутреннего узла (Е у) составим разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1) в этом узле, заменив входящие в него производные разностными отношениями: ди и;,1,.— и/, ди и,,— и; д"и а/ ь,— 2и;/+и/, д~и и;,— 2и, + и/, дх~ Ьз ' дуэ где и;.= и(//г, //).
Получим разностное уравнение иг„, .— 2аО+и/, . аг /,,— 2ию+и/,+ /и// —— ас/ ' ' — д;/ +с// "'2Ь ' '+дО '"'2, ' +к// О=/О или /иы — — А//иь/.,+В//и; .,+С; иь, +Ог/и/ ь/+Е,.иО=Л/, (7') где Ьы й, Ь;. й; а; с/ ~О + 2 ' ВО т1 С1/ е+Ж 2/ ' /э 2/ 2а/ 2Ь, ЕО = — — „,'.+ —,', +К//. а// е// Ьа 2Ь' (8) Если на обеих прямых х = 'Р и х = 7 заданы краевые условия первого рода, то мы булем говорить, что имеем первую к//аевую задачу; если на обеих прямых заданы краевые условия второго рода, то будем говорить, что имеем вторую краевую задачу, и, наконец, если на обеих прямых мы имеем краевые условия третьего рода, то будем говорить о третьей краевой задаче. Часто встречаются и такие задачи, когда на прямых х = 'Р и х = 7 задаются условия разных типов.
Э 3! метод сеток гашения гипевволических уеавнений 445 Из этого уравнения видно, что если сетка настолько мала, что во всех узлах АВ ~ 0 (АВ < 0), то, зная значения решения в узлах (г' — 1)-го и г-го горизонтальных рядов, можно найти решение во всех узлах (г +- 1)-го горизонтального ряда. Лля того чтобы найти приближенное решение задачи Коши, необходимо знать значения решения на двух начальных рядах г' = 0 и г' = 1. Их можно найти из начальных условий одним из двух следующих способов. Первый способ. В начальных условиях (2) заменим ироде ~ иа1 — иоо неводную — ~ разностным отношением ~' " . Тогда для дУ 1„о определения значений в узлах первых двух горизонтальных рядов будем иметь: и$0 — т ((Д) — то " =')(И) =')г (9) или его=В' "ц=9~+дрь (9') Второй способ.
Привлечем еще один горизонтальный ряд ди ~ у = — ! и производную — ~ заменим разностным отношением дУ!э о ' . Тогда из начальных условий (2) будем иметь: 2! Шг мс — г о, ив — — То', 21 =Й. Значения ис, нам не нужны. Исключим их, используя разностное уравнение для узла (г, 0). считая, что уравнение (1) уловлетворяется н на начальной прямой: Аголн + ~оовь-1+ ~ооло~~ь о+ О~ол1 ьо +Еговоо =Ув. Получим: (Ав+ Вв) иг 1+Соло+по+Овио-ьо+Ьгои о =Ло+ 2(ЬвФо или (А о+Воо) иь ~ =.Гоо+ 2%о!Э вЂ” СвТоог — ОвТ1-~ — сгоТО Таким образом, аначения решения на первых двух рядах будут определяться следующим образом; 1 "о = 9, мн =,1 В (Ло+-21%оФг Сваг+~ — ()'о9'-1 — В;очаг!.
во+ в (10) Второй способ в некоторых случаях предпочтительнее, так как в этом случае мы имеем лучшую аппроксимацию начальных условий. 446 мвтоды вешания диф. веавнвний в частных пгоизводных [гл. 10 Особенно простые соотношения получаются для дифференциального уравнения деи деи — — — =У дхз дуя (1') в случае квадратной сетки И = 1. В этом случае рааностное урав- нение имеет вид (11) иту„, — иау, — иг, 1+ ие г д — — — ИЧ;И а для вычисления значений на первых двух рядах будем иметь: при первом способе (12) ию — — еб ии = р;+Ифе, при втором способе 1 ив=~и ив= 2 [ — И'Д~+2Иф1+~1+~+рг,! (13) Погрешность аппроксимации.
В результате замены дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (7) н начальных условий (2) условиями (9) или (10) мы вносим погрешность, которую назовем погрешностью аппроксимации (или погрешностью метода). Предполагая у решения и(х, у) задачи Коши существование ограниченных производных до четвертого порядка включительно и используя разложение решения по формуле Тейлора в окрестности узла (1, Я, точно так же, как и в случае эллиптических уравнений (см. э" 2), получим: (14) [1и11 Уы! = [(и — У[Н И+170=)70, гле а и „, и а обозначают И-е производные от и(х, у) в некоторой -(а) -(а1 1 точке, отличной от узла (1, Я, а и = — .
Если ввести обозначение И' Ма = шах ~ ~и,~, ~и1 1[[, то Иа [17„[< —, [([аг[-[-иг[дг1[) м,+2([агу[+и [ды[) И4,!. (16) Что касается погрешности аппроксимации начальных условий, то в первом способе аппроксимации начальных условий по формулам (9) первое начальное условие не вносит никакой погрешности, а второе начальное условие вносит следующую погрешность: иц~ — и1о ! ди т ~ душн ~ 9'3! метод сеток вешания гипегволических гглвнений 447 (и" — значение второй производной в некоторой точке).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
