Том 2 (1160084), страница 64
Текст из файла (страница 64)
производные восьмого порядка, то, введя обозначение М ш ~ ( д«и ~ ! д«и ( ( д«и ! ~ для остаточного члена, дающего погрешность аппроксимации, будем иметь оценку 520И« ~~~ ~ 3.В1 а. Пользоваться полученной разностной аппроксимацией уравнения Пуассона можно только в случае, если функция г' задана аналитически, Если же она известна только в узлах сетки или имеет сложное аналитическое выражение, то дифференцирование ее будет затруднительно, Поэтому в этом случае аппроксимацию упрощают, отбрасывая член с И«и заменяя (Ьг)о через 1 —,р (Л -+Л+-Уз+Л вЂ” 4У«) ф 2! метод сеток Решения кРАеВых ВАдАч для дио. уРАВнений 423 в 144о = соио+ с, ) ив = [со+- 6св) 44о + -[-с ), 2 [и +и'„')+ 4,41[пи[+2а.'[„.+и"7) + + (11и~>~ + 1 ба~~1[„, + 45ифу, + 9и~дв) ) +... ~ .
Для того чтобы 1ио аппроксимировало оператор Лапласа, нужно положить со+ бс, = О, ЗЛв — с =1, 2 откуда 4 с = — — ' о — Л41 2 с,= —. ЗЛв ' Итак, [ао= З„, [и4-+аз+ив+ив+ив+ив — бвво!= 2 =(..-, +.У",) + б (а", + Д",) (..-, +.-,) +)[. Если разлагать иг по Формуле Тейлора с остаточным членом в про- изводных шестого порядка, то [Й ) < ЗЛв б1 [ 2+ 4 ( 2 ) ~ Мв — 444Л~ < — гИв, Уравнение Лапласа Да=О аппроксимируется раэностным уравнением и, + ив + и, + и, + ив+ и, — био = О [1У) с точностью до Л', а уравнение Пуассона Да =у аппроксимируется разностным уравнением ЗЛв 3Л4 аг + ив+ ив+ а4+ ив.+ив био= 2 .4о+ З2 144Г)о [18) с точностью Л4, а разностным уравнением ЗЛв и4+.ив+из+ив [ ив+ ив био= 2 4о 119) с точносзью до Л'.
Учитывая симметрию оператора Лапласа и симметричное расположение рассматриваемых узлов, можно положить с, = с,=... = св, Тогда В заключение приведем пример разностной аппроксимации уравнения дви д'и дви —,. + —... + —,=у(х. У) 120) для случая квадратной сетки с шагом И при выборе узлов, отмеченных на рнс. 31. В силу симметрии расположения узлов и симметрии уравнения относительно х н у можно искать разностную аппроксимацию в виде 1и =си +с,~ви;-1- св -+ с, 2,' и, + св Х ин Рис. 31.
При наличии производных шестого порядка у функции и разложение по формуле Тейлора дает ~,,01~ ~4Мвдв ив-4 т ', и ', и„=1ив ( 2И'(и" ( л",) (- — (исв)+би141 +св1в))+Я%, ~ д,з1 ~ 4 ' 2вМвлв 2. 24И» ив» ию ', Чс ', сы =1ав ! 1Иа(ии ( с",) , '— ' — --(и141+и%) +12~в1 откуда 1и„- ' „-'с 4с + 4 с + 4 с ) и + Иа (с, + 2с, + 4с ) (и" + и",) + э* в -)- ~, (с -+2с + 16с ) (и1в)+ и14~) 1 " бс (и1в) ) где сс = с,)сн) -+ сагсвв + св1си1. Чтобы разностный оператор 1ив аппроксимировал дифференциальдви дви дви ный оператор — — + 2 дхв дхв дув дув ' + —, нужно потребовать выполне- 424 методы гашения дне.
зглвнвний в члсгных пвоизводных 1гл. 1О ф 2! метод сетОк Решения кРАВВых 3АЛАч для дне. УРАВнений 425 ния условий со+ 4 (с, + со + с,) = О, с, +2са+4с,= О, И4 — (с, +2с, +1бсо) = 1, 12 И'са = 2, откуда 8, 2 1 о И41 4= 441 Таким образом, 1ио= И4 И4 (по+из+и4) + И, (из+по +по+из)+ 20ио 8 2 + — „(и +и, +-и„+и, ) =(и~'1 +2и~",у„( и(41) +Р где ) й ( = — ! — 8АЧ44+ 2й1о1 + )Р4 ~ < — М И' Следовательно, разностное уравнение 20ио — 8(и, + и,+из-+и4)+-2(и,+и, +и, +из) + +(ио+ ию+ ин+ им) = И'го (21) аппроксимирует уравнение (20) с точностью до И'. Этих примеров достаточно для уяснения способов построения разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, и, следуя им, читатель может построить разностные аппроксимации для других конкретных уравнений, имеющие необходимую точность.
Необходимо только помнить„ что, строя разностную аппроксимацию той или другой точности, нужно предполагать, что решение уравнения имеет необходимое число производных, а это накладывает определенные требования на коэффициенты уравнения, на область и на функции, входящие в краевые условия. Если они таковы, что решение может иметь производные только до какого-то определенного поРядка, то не имеет никакого смысла при решении задачи методом г ток использовать аппроксимации более высокого порядка, так гы ~х использование усложнит работу, но отнюдь не улучшит Результата. 8. Аппроксимация граничных условий.
Решая методом сеток краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных, мы заменяем заданную область О с границей Г, на котоРой заданы граничные условия, сеточной областью 44* с границей Г', 426 мвтоды ввшвния див. квлвнвний в частных пгоизводных [гл. 1О состоящей из граничных узлов.
Как правило, граничные узлы не будут находиться на Г. Поэтому возникает задача замены граничных условиЯ для дифференциального уравнения граничными условиями для разностного уравнения, составляемого только для внутренних узлов, даже в случае задачи Дирихле. При других типах краевых задач условия на границе будут содержать производные искомого решения, которые при переходе к разностным уравнениям должны быть заменены разностными отношениями, Таким образом, почти всегда приходится решать задачу аппроксимации граничных условий.
Остановимся сначала на задаче Дирихле, которую мы уже рассматривали в п. 1. Там был рассмотрен способ аппроксимации граничных условий, заключающийся в том, что значения искомого решения в граничных узлах мы задавали равными значениям заданной функции у в точках Г, ближайших к этим узлам. Иногда этот снос выполняют из точки Г, ближайшей к данному граничному узлу, в направлении одной из осей координат. И в том и в другом случае мы вносим погрешность, величина которой зависит от близости границ Г и Г*. Очевидно, что снесенное в граничный узел значение решения будет отличаться от значейия истинного решения краевой задачи в этом узле на величину порядка расстояния этого узла от точки Г, из которой происходит снос. Только в том случае, когда все граничные узлы попадут на Г, перенос граничных условий делать не нужно, и мы не вносим никакой дополнительной погрешности.
Поэтому сетку целесообразно выбирать так, чтобы гранина Г' сеточной области О* была бы воз. можно более близка к границе Г. Для этого иногда целесообразно отказаться от квадратной сетки, а рассматривать прямоугольную сетку или треугольную сетку, или какую-либо другую. Если сетка уже выбрана, выполнен снос граничных условий и методом сеток найдено приближенное решение во всех внутренних узлах, то погрешность, полученная за счет сноса граничного условия, может быть уменьшена.
Простейший способ уменьшения этой погрешности заключается в следующем. По найденным значениям решения во внутренних узлах экстра- полируем решение в точки границы Г, из которых сносились граничные значения в граничные узлы. Находятся равности экстраполированных и заданных значений и в соответствии с ними вносятся поправки значений в граничных узлах. По этим поправкам находятся поправки решения во внутренних узлах путем решения соответствующих однородных разностных уравнений.
Это требует повторных пересчетов. На рис, 32 изображена геометрическая картина описанного процесса уточнения решения. На этом рисунке изображено сечение плоскостью параллельной оси и (в пространстве х, у, и), пересекающейся с плоскостью хОу по узловой линии, на которой 3 2) метод свток гяшвния кглввых задач для див.
эвлвнвний 427 ьлпо+ "тп з +л (22) находится граничный узел М, Предположим. что в узел М сносится значение граничной функции э из точки М, где М вЂ” точка пересечения узловой линии с границей Г. Пусть во внутренних узлах М,, М,, .... расположенных на узловой линии, найденные значения решения изображаются ординатами М,М,. Экстраполируя по этим значениям в точку М, получим новое значение и, изображен- у А ное отрезком МЖе. График Ф ~ Л, интерполяционного многочлена с У~ )го изображен пунктирной линией, Разность экстраполированного значения и значения а(М) изо- г Мт бражается отрезком М№. Так как полученное экстраполяцией значение в М больше у(М), то значение в гранич- л р )э Ф лг, л(, л(„лг, лг, ном узле М изменяем в сторону уменьшения, т. е.
вносим Ркс. 32. поправку Гт"Гте. Находим поправки в каждом внутреннем узле путем решения однородных разностных уравнений с граничными условиями, равными соответствующим поправкам, внесенным в значения в граничных узлах, и, прибавляя эти поправки к ранее найденным значениям в соответствующих узлах, найдем новое приближение к искомому реше- Г нию (отрезки М,И,). Снова выполняем экстраполяцию и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
