Том 2 (1160084), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Такой прием был применен при построении разностного уравнения (4) в п. 1. В зависимости от того, какими формулами численного дифференцирования будем пользоваться, получим различную точность аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Рассмотрим, например, погрешность, получаемую в результате замены дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (4).
Предполагая, что решение краевой задачи для уравнения (1) имеет непрерывные производные до четвертого й 2) метод сеток вешания ке»евых злдлч для див. ув»веяний 4!о порядка включительно, имеем следующие равенства: и (х»+ Ь, у! ) — и (х» — », у») = и' (х», у»)+ — ии(х, у„) (х» — Ь <х <х»+Ь), и (х», у» + !) — и (х», у» — !) 2! — и ( ., «»)+ — а ( ., «) (у — ! < «<у»+!), и(х»+», у») — 2и(х», у»)+и(х» — », у»,) »» (х' «») + — иЯ~(х, у») (х» — Ь < х < х»+ Ь), и(х», у!»+!) — 2и (х», у»,)+ и (х», у»,— !) »Я и 1(х» у»)+ 12 и ~И(х ° «) (у» ! < у <«! +!) +2а»»изи'„")(х», у)! = (!.(и))И»!+)»» (6« где ! а= —, И' Ь(»»= — (а»и»»И(х, у»)+Ь.»а'и»'И(х., у) + + 2с,. й",(х, у,)+2с»»»изй" (х», у) !.
(7) Если ввести обозначения »Из = щах~(~ †»~, ~Ь-г~~; !И,= шах)!Ь†,,!, 1~ †!(, »з !)»»»! <,2 ! !а»»!+из!Ь»»!) !И»+2(!с»»!+и'!»(»»!)»Иэ! (8Г то Таким образом, !иы — у»»= (!.(и) — Ди»!+Я»» —— Я»», которые легко получить, разлагая левые части по формуле Тейлора в окрестности точки (хо у»). Используя зти соотношения, имеем + — (а.»и»'И(х, у»)+Ь.»изи(з»И(х., у)+ 2с.»и" (х, у»)+ 416 мвтоды ввшвния див. явлвнвний в частных пгоизводных !гл.
1О .т. е., заменяя дифференциальное уравнение (1) разностным уравнением (4), мы совершаем ошибку„равную )сг», которая имеет по- 1* рядок й' относительно шага й (полагая а= — = сопз1!. Ь Если мы возьмем уравнение Пуассона дти дзи —,+х —; —— ~(х, у) (9) и квадратную сетку й=1, то при описанном способе замены производных получим следующее разностное уравнение: и;, +и;, +из л+ + и; в — 4ич ' — Л„.
(1О) При этом для погрешности аппроксимации )(~ „будем иметь оценку !' зй1~~ 0 М4 ° (1 1) (Ох-г) Рнс. 27 В разностной схеме (10) для узла (1, и) 4 х) участвуют четыре соседних узла, расположенных по «кресту». Другой способ получения разностных уравнений состоит в следующем. Для получения разностного уравнения, аппроксимирующего дифференциальное уравнение в узле (1, и), рассмотрим М узлов, расположенных определенным образом около точки (1, й).
Для простоты записи узел (1, й) будем обозначать О, а остальные рассматриваемые узлы перенумеруем числами 1, 2, ..., гч'. Составим линейную комбинацию ~~.', суиу дяа с неопределенными коэффициентами с1, где иу — значение и в узле/. Предполагая у функции и наличие и.+1 производных, разложим иу по формуле Тейлора в окрестности узла О.
Подставим эти разло.жения в.линейную комбинацию и сгруппируем члены с одинаковыми производными от функции и. Получим ~~а~~~ У ' (,дхгд ) г д'+" их с иу = ~~~~~ Па ! — д ) +остаточный член. (12) (,дхгду )з 1=о з+ь <в Заметим, что Т, линейно выражаются через с..
Остаточный член будет иметь вид 0йй+'КМи+и где !0 ! ( 1, К вЂ” некоторое число, 1 ~ д"+'и ! ! д"+ги ! ! д" +'и не зависящее от ь М~+1 шах ~ д .и — наименьшая по абсолютной величине разность координат узла О ь 2) метод сеток РешениЯ кРАеВых злдАч длЯ Див, УРАвнений 417 (! 4) и узлов / (/=О, 1, 2, ..., М). Далее, подбираем коэффлциенты сл таким образом, чтобы правая часть в равенстве отличалась бы возможно меньше от дифференциального выражения с(и) в точке О. для этого потребуем, чтобы коэффициенты при производных в уравнении совпадали бы с коэффициентами при соответствующих производных в правой части (12): ив = ТЕВ1 (~о = Тоо' О = ТЫ1 со= Тго1 '(о= Тоб Ко= Тоо и, кроме того, коэффициенты при старших производных в (12) до порядка г (2 < г .. и) обращались бы в нуль, т.
е. Т,„= О при 2 <1+(о < г. Если при этом система уравнений относительно с имеет решение, то мы найдем такие ссз при которых А ,~с,и, =- ((. (и)), + ОК(г""'М„„Р (13) о-.о Используя достаточно большое число узлов М, можно получить достаточно хорошую аппроксимацию дифференциального уравнения в узле О, заменяя дифференциальное уравнение разностным уравнением ~суп,=УВ. л о =о Этот способ имеет то преимущество, что можно рассматривать не только прямоугольную сетку, но и другие сетки .7 (треугольную сетку, сетку параллелограммов и др.). Для внутренних узлов, достаточно удаленных от границы, расположение Ряс.
28. узлов, участвующих в линейной комбинации для составления разностного уравнения в них, можно и целесообразно сохранять. Для узлов, близких к границе, это не всегда удается. Но этот способ для этих узлов при другой косфигурации узлов, участвующих в линейной комбинации, часто позволяет получать разностные уравнения той же точности. В частности, этот способ позволяет и граничные условия аппроксимировать достаточно точно. Если имеется произвол в выборе решения системы для с, то .г' выбирают наиболее простое решение с тем, чтобы получить наиболее простые разностиые уравнения.
Рассмотрим этот метод на примерах аппроксимации уравнений Пуассона для разных сеток и некоторых других примерах. Сначала рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения Пуассона, если сетка квадратная с шагом Ь и в разностном уравнении для узда О участвуют узлы, помеченные номерами 1, 2, 3, 4 на 418 методы езшвиия див, ввавивний в частных пяоизводиых [гл. 10 рис. 28. Учитывая равноправие в уравнении х и у и симметричное расположение узлов, очевидно, имеет смысл искать разиостиую аппроксимацию вида 1ио = соло+ с~ М + ио + из + ио). Предполагая у функции и наличие достаточного числа производных и разлагая и; по формуле Тейлора в окрестности узла О, будем иметь: гд д1 1дх ду) !д дт и, = и 1хо — й, уо — й) = ио+ ) — 1Ч вЂ” + — ) и + 1дх ду) д д1 йо! д д1о и,=и1хо — й, Уо+й)=ио-+~й~ — — + — )и.+ — 1 — — +- — ) и+ дх ду ) 211 дх ду) (13') 1ао — — (со+ 4с,) ио.+ +-4с, ~ — (а",+ а",) +" (ии%1+бал О+ иоч)) Для того чтобы 1и аппроксимировало оператор Лапласа дои дои Ьи= — + —, дхо дуе ' необходимо потребовать выполнения условий с +4с,=О; 2сй'=1, т, е.
2 1 с — — —,, с,— —,. Окончательно получаем: 1 1ао= 2й,1иг+аа+ио+ио — 4ио) = )о+ ( +би '*+ ~' )о+ '' ~ ")о+1~ 4 2! мвтод свток гвшвчия кгиввых задач для диэ. уггвнвний 419 Если в разложении (13) ограничиться разложением по формуле Тейлора с остаточным членом в производных четвертого порядка и положить М, = шах~! — (, то для гс будем иметь следующую оценку: Ио 4Иг (й~ (4сг 24 2 М4= Заменяя (Ьа)о через Г' и отбрасывая гг', получим разностное уравнение аг+аз+-аз+ко — 4ао= 2Иг('о, (14') аппроксимирующее уравнение Пуас- дои дга сона — +. — = у, причем погреш- дхо дуг ность аппроксимации не превосхо- 4дг дит — М,. 3 Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию уравнения Пуассона, в которой используются узлы, изо- Рис.
29. браженные на рис. 29. Из тех же соображений, что и в предыдущем примере, будем искать разностную аппроксимацию вида (ао = сомо -(- сг (аг +. аг + аг.+ ао) -+ сг (ао -+ аз + аг + ао). Разлагая а( по формуле Тейлора и приводя подобные члены, будем иметь: 2Иг а,+ аз+ аз+ ко =4ао+ — (ао,+ а„',) + ( (4>+ а(о>) 1 (а(о>+ ар) 1 ~а(о> 1 а(о>) + 2 во 2Ив 2Из ао+- ао+ аг+- аз — — 4ио+ 2дг (а„". + а„,), + + — (а(о>+ба(о(о -+иф) +- —, (и(о> -+15а<~, +15аа(о)„,-1- а6~) + + — (а(о> + 28а(о(з, + 70а(о> + 28аа(о( + а(~о>) +..., 420 мвтоды гвшвния дие.
увлвнвний в частных пвоизводнык [гл. 10 1и„=(с„+ 4с, 4- 4св) и +. Йв(с, + 2с,) (и1в1 .+ иГО) + + —., (с,-г- 2св)(иф+ иД .+ — св(и<'~„,+ и')~„,) + Для того чтобы 1ив аппроксимировало оператор Лапласа, поло ким с, ч-4сг+ 4с,= О, И(с, +2с,) = 1, Подберем с, из того условия, чтобы члены с производными четвертого порядка могли быть получены путем дифференцирования опе- 1 ратора Лапласа. Для эч ого нужно положить с, = —,. Тогда для с, с, 6зй ' получим следующие значения: 10 с = — —.
ЗИ' 2 ЗИ И де дв + 61 11дхв+ дуя) ( ~'+ и)'+ дхтдут (им'+'~Ы)~е+ 1т' где Я зависит от производных восьмого порядка и имеет порядок ив. Так как дти д"и д т+д'- дхт дуя то И1двУ о'У1 Ы~ГдгУ, д4У дгУ~ о о+12~дхэ+ду%+ Ы (дхч т дхвдут+ду%+ и разностное уравнение 4(иг+ит+ив+ иг) + (ив+ иа+иг+ ив) — 20ио 6 Лв =~ Уо+ 12 гбйо + 61 (~~ г+ 4 д — вд в+ д —,~ (15) ду' в дает аппроксимацию уравнения Пуассона с точностью до й'. Если при выводе разностной аппроксимации воспользоваться разложением по формуле Тейлора с остаточным членом, содержащим ф 2) метод сетОк РешениЯ кРАеВых зАЕАч длЯ дио. УРАВнений 421 В самом леле, 1 и.
(Л+Л+Л-1-Л вЂ” 4У«) = =(Юо+ гт где )й) ( —., м«; ай Рнс. 30. Подставлаа вместо (й1')о комбннзцию —. (Л+ Л+У«+Л вЂ” 41«) 1 Ио мы отбрасываем члены шестого порядка относительно И и получаем разностную аппроксимацию 4 (и, +.
и, + и, + и,) + (и« + и, + и, + иа) — 20ио —— И« = — (3Го+Л+Л+1«+Л) (16) аппроксимирующую уравнение Пуассона с точностью до И'. Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию уравнения Пуассона для сетки из правильных треугольников со стороной И (рис, 30). При составлении разностного уравнения для узла 0 возьмем шесть ближайших окружающих его узлов 1, 2, 3, 4, 6, 6 и составим линейную комбинацию 1ио= 2~ с«иь «-о Разлагая и; по формуле Тейлора в окрестности узла О. будем иметь, учитывая, что координаты точек 1, 2, ..., 6 соответственно будуг (см. стр. 422).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
