Том 2 (1160084), страница 59
Текст из файла (страница 59)
9 то дифференциальное уравнение соответствующей краевой задачи будет представляться в виде дч ин р'„— — „рв', + — „,Р'„. — ... +. ( — 1) ~ „Р~„, = О (у) Однако вариационное исчисление не является единственным путем для получения функционалов, принимающих минимальное значение при подстановке в них решения краевых задач.
Можно, например, решая краевую задачу для дифференциального уравнения (8) рассматривать функционал ь у= ~ [1.(у) — г[гс(х а (9) в классе всех функций, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих достаточным количеством непрерывных производных. Можно заменить функционал (9) более общим функционалом У= ~ Р(х) [1,(у) — Дгбх, а (10) где Р(х) — некоторая положительная весовая функция. Ясно, что функционалы (9) и (10) принимают наименьшее значение, равное нулю, при подстановке в них решения краевой задачи. Такой способ полу» чения функционалов, минимизирующихся решением краевой задачи, иногда называют методом наименьших квадратов.
1. Вариационные методы решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Рассмотрим теперь указанные способы с более обшей точки зрения. Пусть Н вЂ” некоторое гильбертово пространство и А — алдитивный оператор, определенный на каком-то всюду плотном в Н множестве Нл. Назовем оператор А положил)вльным, если для любого элемента у~На имеет место (Ау, у)~ О, (11) (12) (Ау. г)=(у, Аг). Заметим. что для симметричности оператора А в комплексном гильбвртовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы причем равенство нулю возможно только при у = О.
Оператор называется симмвтричкым, если для любых двух элементов у, г, приналлежащих Нл, имеет место 10[ гвшвнив квлввых злдлч для овыкновенных диф. эвьвняний 393 скалярное произведение (Ау, у) было действительным числом для любого у ~ Нл. Действительно, если оператор А симметричен, то (Ау. у) =(у, Ау)=(Ау, у), (13) т. е. (Ау, у) — действительное число. Для доказательства достаточности рассмотрим тождество 4 (Ау, г) = (А (у +- г), у + г) — (А (у — г), у — г) + +1[(А(у+ге), у[-1г) — (А(у — [г), у — (г)!. (14) Поменяв здесь местами у и г, получим: 4 (Аг, у) = (А (у +- г), у + г) — (А (г — у), г — у) + +1[(А(г+(у), г+(у) — (А(г — 1у), г — 1у)!. (16) Если заменить все входящие в (15) величины на комплексно-сопряженные и воспользоваться свойствами скалярного произведения и предположенной действительностью (Ау, у), то найдем: 4(у, Аг)=(А(у+г), у+г) — (А(у — г), у — г)+ +.1[(А(у+(г) у+(г) — (А(у — (г), у — (г)!.
(Рд) Из (14) и (16) получаем: (Ау, г) =(у. Аг), (17) т. е. оператор А симметричен. В силу только что показанного положительный оператор в комплексном гильбертовом пространстве симметричен. В дальнейшем мы будем предполагать, что наш оператор А положителен, а если гильбертово пространство Н действительно, то. дополнительно предположим, что он симметричен. Рассмотрим уравнение Ау=у, (18) где у~ Н вЂ” заданный элемент и у~ Нл — искомый элемент, Это уравнение не может иметь более одного решения.
Если бы имелось два решения у, и у, (у, чьуа), то мы имели бы А(у, — уз)=0 (19) и (А(у, — уз), у, — у ) = О, (20) что невозможно, так как А положительный оператор и у,— уачьО. Далее, если уравнение (18) имеет некоторое решение у„то оно дает Функционалу у(у) = (Ау, у) — (у, Π— ф у) (21) минимальное значение. Действительно э'(у) принимает только действительные значения. Возьмем произвольный элемент « ~ Нл. Положим « = у, + с.
Тогда у(«) =(А«, «) — («, [) — (у, «)=(А (у +(), у,+() — (у +(, 7) — (у, у,+4) = =У(у,)+(Аг. у,)+(Ау. ()+-(А(. ~) — (Г У) — (У ~)= =У(у,)+-(с, Ау, — 7)-[-(Ау, — )', () [-(Ас, (), (22) и так как Ау, — 7=0 и (АГ, () ) О, то )( ) = У(у ) [- (АГ. Г) ) У(у ) (23) Утверждение доказано. Обратно, если найдется такой элемент у,~На, который дает функционалу /(у) наименьшее значение, то у, будет реше.нием уравнения (18). Для доказательства возьмем произвольный элемент «~ Нл и произвольное действительное число Л. Тогда у, +Л«~ Нл и (24) У(уг+~ )) 7(уг).
Но у(у + Л«) = (А (у, + Л«), у, + Л«) — ® у + Л«) — (у, + Л«, у) = =у(у,)+Л(А«, уг)+Л(Ау,, «)-+Лг(А«, «) — Л(у, «) — Л(, 7) = =у(у,)+Л(«Ау,— 7)+Л(Ау,— 7" «)[-Лг(А««) (25) Отсюда 2ЛКе [(Ау, — 7, «)[+Лг(А«, «)) О, (26) или 2Ке[(Ау,— 7,«)[-+).(А«, «)) 0 при Л) О, 2Ке[(Ау,— 7',«)[+) (А«, «) (О при Л(0. Соотношения (27) будут справедливы для любых действительных Л только в том случае, если Ке [(Ау, — 7", «) [ = О. (28) (27) Заменив «на !«и проведя те же рассуждения, получим: (29) ! ш [(Ау, — 7", «)[ = О.
(Ау, — у', «) = О. Таким образом, (30) В случае действительного пространства мы вместо (28) сразу полу~им (30). Так как Нл всюду плотно в Н, то из (30) следует: Ау, — 7"= О, (31) что и требовалось доказать. 294 пгивлиженные методы гашения овыкновенных гглвнеиий [гл. 9 9 !О! ввшвнив кваввых задач для овыкновинных дие. гвавнинии 395 Функционалы (3) и (5) можно было бы получить как раз таким образом.
Так, если Ау = — — „(ру') + ду, то уравнение (1) можно записать в виде Ау = — у. Будем сначала рассматривать олноролные краевые условия (4), т. е. положим там а=р=О. Пусть у и г — две какие-то функции, удовлетворяющие однородным условиям (4). Тогда ь ь (Ау, г) = ~ ~ — — „(ру') + ду~ г с(х = — / — „(ру') г с(х + а а ь ь ь ь + ~ ууг~х= — ру'г ~ + / ру'г'ь(х.+ / уугь(х= О 1а а Я )ь ь =( — Ру'г+Р»'у) 1+ / ~ — — (р»')+ог~ уах. а а Но, в силу (4) (при а=р=О), имеем: ( — ру'» + рг'у) !, = О. Таким образом ь (Ау, г) = / ~ — — (р»)+д~у1х =(у, Аг) а и оператор А симметричен. В ланном случае функционал (21) примет вид ь ь .)(У) = (Ау. У) + 2 (у.
у) = / ~ — — „(ру) + с)у~ у ~1х + 2 ~ уу Ях = а а ь = — Руу~ +~ (ру" +И'+2УУ! ах = ~а а ь — (Ру 3+ 3 + 2уу! ь( + РОР (Ь) У~ (Ь) ОР (а) У (а) а1 а Это совпадает с (5) при а= — 5 = О. Отбросим теперь предположение, что а = р = О. Обозначим через г произвольную, но фиксированную, достаточное число раз дифференцируемую функцию, удовлетворяюшую неоднородным краевым условиям (4), и будем разыскивать у в виде У=уь+» 396 игизлиженные методы вешания овыкновеннык гвавнений [гл. 9 Тогда у, будет удовлетворять однородным краевым условиям (4) и дифференциальному уравнению — „(ру,') — Чу» = — [р (у' — г') ! — с)(у — г) = = — (ру') — »)у — ! — (рг') — ») ~ = 1 — [ — (рг') — ») тах ! х 1= 1ах Таким образом, у, должна обращать в минимум функционал ь .»(у) = — / ~ ру' +»»уз + 2у [» — — (рг) +»)г~ ~ с»х + Ьор(Ь) уг(Ь) аор(а) уг(а) о» Но ь ь ь 2 ~ ~ — — „(рг') +- »)г~ у с»х = — 2рг'у ~ + 2 ~ [рг'у'+ (»гу! о(х = о о 2зо 2оо 2Ь = — ор(Ь) г(Ь)у(Ь) — — ор (а) г(а)у(а) — — р(Ь) у(Ь)+ р» а» ь» ь + — р(а)у(а)+2 ~ [рг'у'+(»гу! а»х.
о Поэтому у(у) можно заиисать в виде ь 1(у) = ! [р(У+ ')'+Ч(у+г)'+2У6+г)!с(х— о ь р» — '[рг'г -[- уго + 2 ух] с(х + о р (Ь) [ у (Ь) + г (Ь) [г — — 'р(а) [у(а)+г(а)[г+ — р(а) [у(а)-+г(а)!— 2рр(Ь) [у(Ь) 4 г(Ь)! [»о (Ь)гг(Ь)+ "о (а) г(а) р» о» вЂ” — р (а) г (а) -[- — р (Ь) г (Ь)„ 2о 2Ь о» р» Так как г(х) — фиксированная функция, то отсюда следует, что искомое решение задачи (1), (4) будет минимизировать функционал ь 1(у) = ~ [р)~'+Вд+2М( + а + — [РоУг (Ь) — 2РУ (Ь)! — — „[аоУг (а) — 2аУ (а)!. ф 1О1 гашения кглевых задач для ояыкноввнных див. твлвнвний 397 Аналогично можно было бы получить и функционал (3). Функционалы (9) и (10) можно рассматривать как частные случаи у(у) = И~ — у!Р (32) Перейдем теперь к вопросам, связанным с приближенным отысканием функций, реализующих минимум функционала.
Теоретико- функциональная сущность этих методов состоит в следующем. Находят какую-то последовательность подпространств Н„: Нл с.Нл'с ... сНл"'с ... с=На, (33) такую, что задача о минимуме функционала (21) при у~ Н~~) решается элементарными средствами (хотя бы принципиально). Такое решение у„и принимается за приближенное решение задачи. Чаще всего каждое из подпространств Нл бывает конечномерным. Если, а] например, в Нл имеется счетный базис й,, ез, ..., д„, ..., то в качестве Нл можно взять подпространство, порожденное а) л1 Кю ° ° ° А'а. При этом приходится сталкиваться со следующими вопросами.
Последовательность приближенных минимизирующих функций у„ Уз ° ° " у, ... такова, что у(уг)) у(уз) » ... у(у„) » ... а, (34) где через т обозначено минимальное значение функционала (21) при у Е Нл. Следовательно, существует Иа У(у„) = гИ) лг. (35) Нужно подбирать Н!ю так, чтобы было гй= а. Но даже и при этом условии нельзя делать вывода, что Иа у„существует и !'нп у„=у, В+со 2. Метод Ритца решения вариационных задач. Посмотрим, как решаются эти задачи в случае функционала у(у) = / 7 (х, у, у ) с(х а (37) где через у обозначена функция, реализующая минимум (21) при у~На.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
