Том 2 (1160084), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Как правило, мы можем находить не точные значения У„, а лишь приближенные 7'„ 2. Вычисления по формуле (14) ведутся с округлениями. 3. Если(14) — интерполяционная формула, то уравнение для определения у„а может быть решено только приближенно. Таким образом, 4„определяется ошибками, возникающими на данном шаге пРи вычислении У„а по фоРмУле (14) без Учета ошибок начальных значений и ошибки метода. ВеличинУ 4а иногда также удается оценить. Вычитая (ЗО) из (32), получим: р(Е)(у„— у„) = лз(Е) (7„— )'„) +т)„+1„. (ЗЗ) 360 пвивлижвннь«я методы вешания овыкновенных эв»знании [гл.
9 и обозначив Дя(х„, С ) =и„, мы можем переписать (ЗЗ) в виде р (Е) е„= ла (Е) и„е„+ «1„+ 1„. (35) Отсюда мы можем получить последовательно оценки для всех е«, если известны оценки для ее, ео ..., еа,, 1„, т»„, и„. 3. Оценки погрешности решений, получаемых по формулам Адамса. Чтобы проиллюстрировать предыдущие рассуждения и показать, как их можно применять в практических случаях, рассмотрим подробнее экстраполяционную и интерполяционную формулы Адамса. При этом мы будем считать, что т»„= — О. Экстраполяционная формула Адамса может быть записана в виде Уае« =У»+" Х и Уа-« (36) » о где а» = ( — 1)« ~~Р~ С~а, (37) а„= — / Ф (г + 1)... (» -+ т — 1) ««г. о При этом (38) еа+«=Уа+« — Уа+« =У»+« — У» — / 7 [$, У(Ц»(6. (39) Последнее выражение можно записать в виде Г еа+, —— еа+ А ~~'., а» [ га « — 7» «) + 1».
» о (40) Здесь через 1» обозначено следующее выражение: г ' а+« 1» — — и ) а«7» « — ~ 7 [с, у(с)[«»6, (41) Величину 1» нетрудно оценить. 1(ля этого заменим подынтегральное выражение в . (41) интерполяционным многочленом Ньютона для Применив формулу Лагранжа 7 „— $„= $ (х„, У„) — 7 (х„, У„) = (ӄ— У„) гя (х„, („) ((„Е(у„. У„)) (34) $7) оценка поггяшности, сходимость и устойчивость 361 интерполирования назад с остаточным членом 7'(Е, у Е))=уз+гу1„.1+" +г(г+1)"'(г+ 1) у", „,-+ + (+ )'"(+ ) ( ))~ (42) (г+ 1)! 1Ег+ 1 Проинтегрировав интерполяционный многочлен, мы получим первую сумму в левой части (41).
Таким образом, 1 1гг+а ~ 1(1+ !) "(Г+') К"+'у(Е, у(Е)) (г+1)! Используя теорему о среднем, получим: 1 11г+ол" г(Е у(Е)1 ! ~" г (г+ !) . ° (1+ г) оГЕг+! (, .1 (г+ 1)! Е о о (44) и. обозначая через М„+, максимум модуля ', в рассмат- а"+1г [Е, у(Е)) юг+ 1 риваемой области, найдем: ~ 1а! ~С 1 = 71 а»М„ (45) ! еа ! < ! а !+ ь1 Х ! аг 1 1 а-1! +1 (46) 1-О Это неравенство можно получить прямо из формулы (35) при 1Е„= О, используя оценки для 1„ и лг„. Покажем теперь, как можно перейти от этой рекуррентной оценки к оценке !ео~ через данные в начале счета величины.
Рассмотрим разностное уравнение Еа+, —— Е1, + И.,г ~ а! ~ Еь, +1, 1-о (47) Если в качестве начальных значений для Еа выбрать положительные величины, большие чем модули соответствующих еь, то при любом В будем иметь Еа) !еь~. Характеристическое уравнение для (47) будет иметь вид 9 (л) = а㻠— ໠— гоь о'о 1 ао ! я" = О. (48) 1 О Переходя к абсолютным величинам и обозначая через Ь постоянную. Липшица для функции 7(х. у), будем иметь: 362 пвивлижзнныи мвтоды ввшвния овыкновинных явлвнений [гл. 9 Если обозначить его корни через г,, ла, ..., г„е, и частное решение уравнения (47) через с), то общее решение (47) может быть записано в виде (4 9) Так как е(1) < 0 и У ~р(1+7гЕА) = — (1+ИА)" ИА — И.
Х~о~~ (1+ИА)' ~» О, (50) ~-о где Г А= ~~.', (а~), (51) то уравнение (48) имеет корень лм заключенный в пределах (52) 1 < л, < 1+И А. (+И. „~~~~ (а~( с)= О, (53) откуда (54) ЛЕА лЛ~ )а~1 Поэтому Е =Сяа — —. 1 гг ЙА' (55) Подберем теперь постоянную Сп Пусть начальные г значений ее, е„..., е„, нам известны н все они не превышают по абсолютной величине е) О. Тогда, для того чтобы все Еь(в=О, 1, ..., г — 1) были не меньше е, достаточно взять ! С,=.+„,„. (56) Таким образом, мы находим: 1 ~ӄ— У ~ < Е„= ~~-(-Й„А(~~ — 1). (57) Поэтому, полагая С,=С,= ...
=С,е,=О в (49), мы получим такое решение Ел=С,я~+7) уравнения (47), котороа при достаточно большом положительном С, будет удовлетворять неравенству Еа) )еа) при всех и= О, 1, ..., г — 1, а следовательно и при всех А)~0. Выбором С, займемся после определения константы с), представляющей собой частное решение уравнения (47). Подставляя в (47) О вместо Еа, получим: $71 оцвнкь поггвшности, сходимость и тстойчивость 363 Воспользуемся теперь неравенством (1+ — ) е" (59) и заменим 11 на " е. Тогда л (Уь — Увы ~ее ( ь е)+ ~е ( ь е) — 1~. (60) Если подставить сюда выражение для 1 и положить в=О, то увидим, что при )ь-+ О правая часть стремится к нулю при фиксированном положении хь. Таким образом, приближенное решение, полученное по методу Адамса, сходится и точному решению. если начальные значения задавать точно и все вычисления производить точно.
Лля интерполяционного метода Адамса рассуждения будут аналогичны. формулу записываем в виде уз+~ =уз+" Х яггук-ч+г ч-о (61) где (62) (63) Как и ранее, находим: ~;„,~<~.„~+1ДрР У,Ц.„„,~+А""И„„~М„„,. МажорируюШее уравнение примет вид (64) Еь =Еь+ЫДХ!Ь!Еь+ -1+1 1=А"+ 1д.+а! М+ (65) ч-О Его частное решение равно О= — —, 1 ЕЬВ ' В=ч; ~~,~. (66) Если воспользоваться правой частью неравенства (51), то (57) можно заменить более грубым неравенством: ~уь — у„) (е(!+ Ь(.А) +„— [(1+Ь(.А) — 1), (58) 364 НРиБлиженные метОды Решений ОБыкновенных УРАВнений !гл.
9 Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид ло — л~-г+ ).й ~~~', ~ ~. (е~ — г г-о (67) Оно имеет единственный корень, заключенный между 1 и + со, если только ЬИ)~о) <,1. Обозначим его через го. Тогда получаем следующую оценку: ~еи ) < ого+ — И-1го — 1), (68) где через е, как и раньше, обозначено наибольшее из значений ~ о ~, ~ ~, ..., ! При этом мы считали, что уравнение относительно уй+, на каждом шаге может быть решено точно. Для сравнения двух формул Адамса в смысле точности приведем уравнения для определения го и коэффициенты при й"+ М„+,/(. в том и другом случае. поляционная формула Адамса ло Коофф- яцие 0,5 , = ( ' + ' 5И) + ~/ (,' + , '5И)'+ — '," 0,2033 !ба+5) 1 < ло < 1+ 5И '— 11 3 59ло+ 37л+ 9) 1 < ло < 1+ — ИИ 20 3 Экстра Уравнение 0,0523 Интерполяционная формула Адамса Уравнение ло Коэффи- циент 0,5 г=1+5йг а=1+ — (а+1) йй 2 0,0333 ло = л+ — (5РЕ+ 3л+ 1) 5И 12 ао = ло.! — (9ло+ 19ао+ 5л+ 1) 5И 24 а4 = ло -1- — (25!го+ 646го + 264ло + 1Обл+ 19) 5И 720 0,0357 0.0130 0,0105 а=1+ 5И 5И го = а+ — (За+ 1) 2 ао = Го+ — (23ао+ йй 12 ао = ~о -1- — (55ло+ Ий 24 1 1 — 5И 1+— 5И 2 5И 1 —— 2 3 71 оценка поггвшности, сходимость и тстоичивость 365 Как мы видим из этой таблицы, оценки для интерполяционной формулы Адамса получились лучшими, чем для экстраполяционной.
Это подтверждает, до некоторой степени, факт, обнаруженный нами при практических вычислениях. Совершенно аналогично можно получить оценки и для других формул, которые нами введены. 4. Устойчивость разностных методов решения дифференциальных уравнений. Вернемся снова к обшей формуле (14). Нам будет полезно иметь выражение е„еь через все предыдущие ео Введем обозначения: Л=йрааь ', и, =у„— Л(,; й, =у„— Л~„. При этом (33) можно записать в виде р (Е) (и„— и„) = д„, (70) где (1 р(Е) а.=~ '(о при 1 "й (75) при 1=(г.
при и=О, при и) О. (76) При этом ьоа Х К...7, -о о+К о+К ь = ~~~, е.„+ь „Р(Е) г„= "„Е„„ь „~~„', ага„+г— -о .-о о=о ь о+а =Х ~ХЕ...,~„о (77) ь-1 д„= ~ Я( — Ла() Е'(Ą— /„)+о1„+(„. (71) а=о Обращаем внимание на тот факт, что в правой части суммирование происходит до 7'= Д вЂ” 1, а не до (= и. В этом и смысл указан- ного преобразования. Будем разыскивать решение уравнения (70) в виде й„— и„= до+8„, (72) где ав является решением неоднородного уравнения (70) и удовлет- воряет нулевым начальным условиям, а 8„удовлетворяет уравне- нию (70) при д„— = 0 и тем же начальным условиям, что и и„— и„. Таким образом, р(Е)а„=Ч„, го=а,= ... =аь,=О; (73) р(Е)6„=0, 0„= и„— и„(э=О, 1, 2, ..., (о — 1).
(74) Для отыскания г„введем величины и„(аналог функции Грина), удовлетворяющие следующим условиям: 366 пгивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных ггавнвний [гл. 9 Введем вместо э новый индекс суммирования, положив э+г = /, Тогда я+а а ежа+а Х И. -,4,=Х Х И.+ -1 а-а г э а г (78) Так как гу = 0 при 7с. и, то нижний индекс во внутренней сумме (78) можно считать нулем.
Верхний предел суммирования по 7 можно положить равным и+И в силу начальных условий для а„. Поэтому в+а а ьча э+а а ~~~„К„+а „д„= ~~.', аг ~~,', у„+а реггу = ~ гу ~ а,д„.ьа у+а— -о г=в г-о 1-о г-о в+а = Х г)р(Е)6 ~а-( (79) а-о Отсюда. в силу (76), получим: ьэа ге+а= Х Кь+а-.г7- 1 О (80) или по (75) гя- а = Х К ч-а-.г7' .-о (81) Следовательно, и„ а — и„+„ — ~~~, 6„+ . ,л„ + 6„+ . ч 0 (82) р(Е) и„= О.
(83) Поведение решений этого уравнения при возрастании и будет опре- деляться расположением корней характеристического уравнения р(г)=0. (84) Если все корни уравнения (84) расположены внутри или на гра нице единичного круга, причем корни, лежащие на границе, не являются кратными, то при любых начальных значениях п„будут оставаться ограниченными. Если же уравнение (84) имеет корни, расположенные вне единичной окружности или же кратные на втой окружности, то имеется бесчисленное множество решений уравнения (83), неограниченно возрастающих по абсолютной величине по показательному или степенному закону при п -+ со. Эти выводы основываются на представлении общего решения линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, данном в начале параграфа.
Отметим тот факт, что длЯ отысканиЯ йи и 6„нам пРидетсЯ находить решения одного и того же уравнения а 7) оцвнкл поггвшности, сходимость и тстойчивость 367 Таким образом, при наличии кратных корней уравнения (84) на единичной окружности или при наличии корней, расположенных вне единичной окружности, мы столкнемся, вообще говоря, с неограниченным возрастанием )8„~ и (д„~. Это вызовет по (82) неограниченное возрастание ~и„+ь — и„ч.ь), а тем самым и )уяч.а — у„ч.а!. Такое явление чрезвычайно невыгодно для вычислительной практики, так как связано с быстрым накоплением ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
