Том 2 (1160084), страница 49
Текст из файла (страница 49)
318 птивлижвнныв методы гашения овыкновенных гвэвненнй !гл. 9 Проанализируем теперь систему (164). Возьмем ! 1, 16, 16 н 17-е уравнения системы в левом столбце. Легко видеть, что этн уравнения эквивалентны системе уравнений 1 '24 ' яэч гчз аз Тэч Эчч аз Тэа Тэа (165) — — 1 Ч Т Т а„ чз Тм Тза (1 66) Тчч Тм Таким образом, вместо восьми исходных уравнений можно взять шесть следующих: — — — 1 Рээагээагэааа — ЧээТээТэааа = 94 (167) Рэч Рч.
Рэч Тчэ . э йчз Р (168) Тм Ь~ Тэч Тм э Ъ Тгэ Используя равенства (168), мы получим нз 8-х и 9-х уравнений (164): рэаяа+'гэээээ Тэгяа+ Тээ"э Р,а.-1-Рээаэ=Тэ Ь+т (169) Тринадцатые уравнения (164) будут являться следствиями 9-х уравнений и Т169). Исключая Тээ! и э)э~ из 10, !1 и 14-го уравнений н используя (169), найдем: рээяа"э ("а — "э) — Тээяаяэ ("а — эээ) = 9 (эъ — яа) Ы~аэЬ (1 70) вгэ~еа" э (еа "э) Тээээааэ (э'-э Яэ) = 2 ("а "з) Т4~ТэФа 3 Уравнения (170) не являются независимыми, так как по (168) (171) Четыре соответствующих уравнения правого столбца будут эквива- лентны счстеме 3!9 э 41 МЕТОД РУНГŠ— КУПА и, следовательно, опять по (168) 343 14ч "м Ти 4 Т43 Тзз 822 Тм (172) Кроме того, 34333232 гзз Тээтээаз 843 (173) Таким образом, достаточно взять одно из уравнений (170), например первое.
Оказывается и оно является следствием предыдущ~ х. Действительно, если рассматривать первые !1 уравнений (164) как системУ дла опРеделениЯ ао Рзр Ры, то должно быть выполнено четвертое из соотношений (130). Точно так же. если рассматривать эти уравнения как систему для определения аз. Тэр д„з, то должно быть выполнено соответствующее соотношение 2 аз (аз — аз) = 2Тззаз — 4Тззаз. (174) Итак, искомые постоянные должны удовлетворять 1 — 11 уравнениям (164) и, кроме того, (168) и (169). Проще всего решать полученную систему следующим образом. Находим аи ~0, р„з так, как это указывалось ранее.
Таким же образом находим аь Тгр д,э. Затем последовательно получаем Тзу и рзр используя первые три строки (164), (168) и (169). Это даст Тм = рмаз рзз = аз 'гзз аэ Тз24 (176) Тзэ = = 343РЗЗ 832 аз Тзэ = аз аз "3 "3 'г42 $42 + Т43 гзэ, Ь ="+Кз — '-' "з аз Т42 Т434 Т42 Уз! 1 У42 гээ' Т4! Последовательно упрощая первое из уравнений (170) и используя при этом (168) и указанные соотношения, мы придем в конце концов к тождеству аз — аз = аз аз. (176) 320 пгивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных твлвнвний [гл. 9 Проще всего просто положить аз=пи Ц=Ц, тзз=тзз, р,з д,и Легко видеть. что это не противоречит нашей системе.
Так, например, можно пользоваться формулами: пуо = б (из + 2лз+ 2лз + лз) о б (1з+ 21з+ 21з+1з) (177) А=йуо 1з=Мо йз = Ю(хо+ 2 ° Уо+ 2 ао+ 2 ) зз=лй(хо+ 2 Уо+ 2 хо+ 2,1 Ь лз 111 Аз 'зз(хо+2' Уо+ 2 ' о+ 2 !' Д Л 1 т 1з=М(хо+ — Уо+ — ао+ — / 2' 2' 2/' зз =ФУ(хо+'з Уз+~В' ао+1з)' 1з = ззК(хо + зз Уо + лз ао + 1з). (178) Последний вывод можно применить для произвольных систем обык- новенных дифференциальных уравнений первого порядка. У" =7(х, У, У') (179) и будем отыскивать его решение, удовлетворяющее начальным дан- ным: у(х)=у, у'(х)=у'. Это уравнение может быть сведено к системе У'=г, а'=7'(х, у, а).
(180) Чтобы сократить записи, будем подробно разбирать только формулы, имеющие порядок погрешности на одном шаге 7зз. При этом Я. Метод Рунге-Кутта решения уравнений второго порядка. Уравнения высших порядков могут быть сведены к системе уравнений первого порядка и, следовательно, к ним также будет применим метод Рунге — Кутта. Но так как в этом случае правые части будут иметь очень простой вид, то можно получить более простые схемы для их решения.
Рассмотрим уравнение второго порядка 321 Ф 41 метод гянге — кзттл "з = раь = тм аз=р +рм=т +т Чвь '+ Чва+ Чэз = 1 1 Чаааз+ Чззаз = 2 22 г21 121' аз= рэь +рва = 1м 3. Рзь+Рзз-+Р„=1, 1 Р 32 22 + Раза з 2' 1 5. Р„аз+Р,а",= —,, 1 6. Рзз(эзааа= б ' (181) ь 2 Чззаь+ Чззаз = 3 — — 1 ЧззТ32112 32 1вв «а ава твв Для системы (180) получим: "1 (12) = "Уо из()в) =)2(У,'+Т„Ид. 11(ьв) = Юо 1„(ть)=)в~(х„+а,тв, У,+~ыйу,', У,'+Т„Ц), "з (") = ьв (Уо+ ТЗФо+ +Т„Ч(хо+аьй Уо+Р31К Уо+Т31К)), 13 (ьв) = й~ ~ до+ аььв Уо + азтьУЗ + 1ззтвьль во Уо + + т„)в|, + Т,;Ч(хо+ а,тв У„+ р,в)вУ,'.
У,'+ т„ду;)). 12Уо = Рзвйь+ Рьвйь + Рэзйь йУо + Вв ~(Рзвтзв+ Рвзтз1) 1о + + „Т,,У(л. + Ф Уо+ КМ Уо+ Тз Ю.)) яо ЧЗ111+ Ч3212+ ЧЗЗ(э' Наиболее простые формулы получатся, если (182) РваТм +Рзв'(м = () (183) В этом случае в силу второго и четвертого уравнений (181) 1 Рыт,а — — —,. Такому условию удовлетворяет, если положить аз=а;; УРавнениЯ длЯ опРеделениа ан 'Р((, ть~, ан Ц, ТЗР Рзп Ч„з пРимУт ВИДЗ 822 пгивлиженные методы гешения овыкновенных гелвнений (гл. 9 Ц = Ц = Тг - = Тзю ваРиант б) фоР мУл, имеюших поРЯдок оши- ки Из, рассмотренной нами ранее.
При этом 1 па=па=8 ="Р =Тз =т = —, — 2 п.=п =Рм=рзз=ты='( = 3 ° (184) Рзз = 'гзз = 3 Рзз Чзз 4 Тзз = '1 аз = 0 1 Роз= Чае= 01 Роз = Чз1 = 4 дУо= ИУо+ 2 И.г(хо+ 3 И' Уо+ 3 Уо* Уо+ 3 лго) 1 з ! 1 1 1 1 3 г 2 2 Ьз =У вЂ” У = — Иу' + — Иу'1х„+ — И, уо+ — Иу, +. + -~о'Уз+3 ~1 о+3 'Уз+ 3Уо' о 3 11 (185) Проиллюстрируем применение этой формулы на примере урав- нения 6МФ1хз — хо 1о1№ — 11 1у(х,) — у, ~ с„ (187) У =У. (186) Найдем два его частные решения. Одно из них должно удовлетворять начальным условиям у(0) = 1, у'(О) = 1, другое у(0) = 1. У'(О) = — 1. Точными решениями в этом случае будут е и е™. Правый столбец отведем для значений точного решения.
Вычисления в нашем случае упростятся благодаря тому, что в правой частк отсутствует у'. Ход вычислений будет виден из первой таблицы. (См. стр. 328). Как мы видим, результаты получились неплохие. Аналогичные схемы можно получить и для других вариантов значений ап ~)зР Р„ь ПРиведем тРи готовые схемы, не входа в подробности их получения (см. стр.
326). Мы уже говорили о том, как можно производить оценку погрешности формул Рунге — Кутта для одного уравнения первого порядка. Аналогичные рассуждения годятся и для систем уравнений и уравнений высших порядков. Но оценки эти будут очень грубыми, так как они получатся в результате сложения большого числа отдельно оцениваемых выражений. Не будем здесь проводить всех выкладок. так как они очень громоздки, а практически ценность результата незначительна. Для варианта а) формул Рунге — Кутта, имеюших порядок погрешности на одном шаге Ио, Бибербахом была получена следующая оценка: З2З МЕТОВ РУНГŠ— КУПА У"=У; ко —— 0' Уо=!1 У =1: 5=01' х 6 (О, 11 Уо Уо = "оУо уоо= "оУ (хон Уо1) Уоо = Уо+ — хо 3 Уоо="'У(хоъ Уо ) 1,1052 1,2214 1,4918 1,8221 2,0138 «о 1 "' — хо+ 3" 2 хоо = хо+ — " 3 0 О,ОЗЗЗ 0.0667 1 0,1 0,1333 0,1667 2 0,2 0,2333 0,2667 3 0,3 0,3333 0,3667 0,4 0.4333 0,4667 5 0,5 0,5333 0,5667 6 0,6 0,6333 0,6667 0,7 0,7333 0,7667 Уо 1 Уоо = Уо+ 3 1 1,0333 1,0669 1,1052 1,1420 1,1813 1,2214 1,2621 1,3055 1,3498 1,3948 1,4428 1,4918 1,5415 1,5946 1,6487 1,7036 1,7622 1,8220 1,8827 1,9475 2,0135 2,0806 2,1522 1- Ео=Е,+ — Уо 3 1- Ауо = )Г1+ УоГ 2 0,1 0,1003 0,1052 0.1105 0,1142 0,1162 0,1221 0,1262 0,1284 0,1350 0,1395 0,1420 0,1492 0,1542 0,1569 0,1648 0,1703 0,1733 1,1821 0,1882 0,1915 0,2013 0,2080 0,2П7 0,01 0,0103 0,0107 0,0111 0,0114 0,0118 0,0122 0,0126 0,0131 0,0135 0,0139 0,0144 0,0149 0,0154 0,0159 0,0165 0,0170 0,0176 0,0182 0,0188 0,0195 0,0201 0,0208 0,0215 326 пвивлиженные методы вешения !гл.
9 овыкновенныл увлвнений х х оьх + и я и и <о ~сч сз (сч со + +-~ и и Ъ, .х (сч + + и + со( ф" + Г + с З ~.~ + р СЧ + + к !! + !! ч х (сч х ~~ч + + + + с о ч .о )ч Б о и х о о. о Р, + 4' + )со х + Д ~сч + о + + + )со х х о и о х о 1 о. о оф о(х к х )~о Н х + ~р и + (.ц ~о -!Я + () х (со + Р, + (ч + + („С 4 )со + + 3 + + д о ) + + Р, х + Я + и + ф 5! РАзностные метОды Решения УРАВнений 1-го пОРядкА 327 Здесь у(х,) — точное решение в точке х,, а у, — соответствующее приближенное значение, Предполагается, что в области ~ х — хв~ (а, !У УВ! (И 7(х, у) и ее производные до четвертого порядка включительно удовлетворяют условиям: дз+Ау Аг ~7(х У)~(~ д гд А < И(А (! 88) ~х — х,!7т'(!. аЛ4(И.
(189) Беря вместо (188) условия (190) Лоткнн получил другую оценку; ! у (х,) — У, ! ~ ~, Ла 7-'И', И = х1 — хо, 73 (191) ф 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Большим недостатком метода Рунге — Кутта является то, что для получения одного нового значения решения дифференциального уравнения приходится подсчитывать правую часть уравнения в нескольких точках. Если правая часть сложна, это связано с большой вычислительной работой. Сейчас мы перейдем к разностным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, применение которых требует только однократного вычисления правой части на каждом шаге. Ограничимся пока случаем одного уравнения первого порядка.
Пусть требуется найти решение уравнения у' = 7(х, у), Удовлетворяюшее начальному условию у(хв) =ув, Предположим, что нам удалось каким-то образом найти приближенные значения у(х) в точках х, х„, Р ..., х„, А (х„,;=хм — !И, И вЂ” шаг). Обозначим У(х!)» У! и У(хо У;)=7Р По 7,А, 7"„, о ..., 1„, А можно которая иногда выгоднее (187). И та и другая оценки очень грубы и практически малопригодны. На практике пользуются приемом Рунге, производя вычисления И дважды: один раз с шагом И, а вгором — с шагом 2И, или —.
Об этом 2' мы уже говорили в главе 3, когда обсуждали вопрос о практической пригодности формул остаточных членов при численном интегрировании. 328 пгивлиженныя мвтоды ввшвния овыкноввнных гглвнвний [гл. 9 построить то или иное приближенное представление у[х. у(х)] в виде функции, которая легко интегрируется. Пусть это будет у(х). Тогда можно приближенно считать у~+~=у~-~+ ] ~( ) пх" (2) (3) где Р,(х) не зависят от /~. Введем новое временное г', положив х — х,э = гл. Тогда Рг(х) перейдут в многочлены О1(() степени л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
