Том 2 (1160084), страница 50
Текст из файла (страница 50)
не зависящие ни от шага л, ни от лг. Таким образом, .ути-ы= ул~-у+ ~ Евь»(х)с[х= уж )+й ~~ реут о (4) где — постоянные, не зависящие ни от у, ни от лк ни от л. Беря различные значения / и различные формы интерполяционного многочлена, получим различные разностные формулы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Эти формулы носят название зкстраполяциоиных в связи с тем, что они полу- Таким образом, мы продвинем таблицу значений у(х) на один шаг. Затем можно снова применить такой же прием и продвинуться еп»е на один шаг и т. д. Для того чтобы было возможно начать этот процесс, нам необходимо знать, кроме начального значения ув, значения у(х) в точках х,. х,, ..., х».
Их можно отыскивать либо методом Рунге— Кутта. либо одним из тех аналитических методов, о которых говорилось выше, Сами разностные методы дают итерационные способы для отыскания у,, уа,..., у». Как это делается, мы укажем несколько позже. Наиболее простой способ приближенного представления у [х, у(х)] дает интерполяция алгебраическими многочленами. Только его мы и будем рассматривать.
Обозначим через».„,, »(х) алгебраический интерполяционный многочлен, принимающий в точках х, х,, ..., х» соответственно значениЯ У,», У',„о ..., У"„, ». ПРи этом ф 5) Р«зностные метолы Ращения уРАВнений 1-го погядк«329 чаны путем интегрирования интерполяпионного многочлена, проэкстраполированного на отрезок [х„„ х„,+!) При построении интерполянионного многочлена можно использовать, кроме 1„, 7 !, ..., 7„, „, еще неизвестное нам значение /„,«!. Повторяя предыдущие рассуждения, мы придем к формуле « у „=у,+«Х,т'.7 —; (6) при этом и в правую н в левую части входит неизвестное значение у . Поэтому для отыскания у нужно решить алгебраичем«!' «! ! ское или трансцендентное уравнение.
Чаще всего это уравнение решают методом последовательных приближений. Для схолимости его придется потребовать выполнения условия « )Т ,1М,с. 1, где дУ М!=зпр! — ~ в рассматриваемой области. Формулы типа (6) назыду ваются интерполяционными. Из второй главы известно, что точность экстраполирования обычно бывает меньше точности интерполирования. Поэтому следует ожидать, что формулы типа (6) будут давать лучшую точность, чем формулы типа (4). В справедливости этого утверждения мы убедимся при исследовании остаточных членов.
7-,«(х)=7' +тут + 2 Уи !+- 1(т+П г(1+1)" (1+А — 1) « «1 (7) Тогда «у =у — у = ~ Е. «(х)дх — — « ~ (.!„,«(х +1«) Ж = Я О ! =«~~~.+ Ч +'"+" 7';в,+ ... + 1) ''' (т + « 1) =«~Ут+аД!, +п«.Г' !+ ... +а«уэ «~. (8) 1. Некоторые экстраполяцизвные формулы для интегрировании лифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые частные случаи разностных формул. Возьмем 7=0 и запишем Е «(х) в виде интерполяпионного многочлена Ньютона для интерполирования назад: а,= / гдг= —. 1 2 ' о ! 1' 4(1+1) 5 о 1 г (г+ 1) (г+ 2) 3 6 8' о (+1) «+2)(1+3)„г 4 24 "' — 720 о 1 Г((+1) (1+2) (1+ 3) ((+4) 95 Ь= 120 288 ' о (9) Дальнейшие значения для коэффициентов ав будут 19087 5275 1070017 1082753 В= 60480 1 !7280 ° В 3628800' О 7257600' Таким образом, формула (8) примет вид дщ 4т+ 2 ~щ — 1+ 12~щ-1+ 8 ~о — а+ 1 5 1 3 251 95 +720 щ-а+ 288 щ-о+ 1 Целесообразно ввести в рассмотрение величины 74 = 747 (х1, ув).
Тогда формулу (!!) можно переписать в виде 1 3 1 -)т 7щ+ 2 7щ 1+129щ-1+ 8 7щ 4+ 251 1 95 +1У~1)о4-в+288'7щ о+ ''' (12) в эта формула носит название анстраполялионяой форзоулм Адамса. Схема для вычислений Ьу и у по экстраеоляционной формуле щ т+1 Адамса будет выглядеть так: 330 приелиженные методы решения ОБыкнОВенных Урлвнений [Гл. 9 Здесь ф 51 гвзностные мвтоды вешания гвлвнвний 1-го погадка 331 х хвФ-3 Ущ-в Чщ, 5 3 ау -в хщ-з Чщ-3 Ч в з в з Чщ — —, в ау -з в Чщ-! хщ Ч!! — ! Ущ-! ! Чав з Предполагая, что третьи разности почти постоянны, можно ограничиться первыми четырьмя членами формулы (!2).
По известным Ущ-в -Ущ-з Ущ-! У!з "'" "" Чщ-в Чщ-з Чзв-! Чвг Затем по формуле Адамса находим значение ау и, прибавляя его к у, находим у . Это позволит нам продвинуться в таблице знащ' щ+!' чений Ч и ее разностей на один шаг вниз и получить по формуле Адамса еще одно значение в!у и т. д.
Иногда бывает целесообразно выражать значения Ьу непосредственно через у,'. =у,. Для этого выразим разности, входящие в формулу (12), через значения у,'. Получим: л 5й l Уще! Ущ )зУщ+ 2 (Ущ Ущ-!)+ 12 ГзУщ 2Ущ-!+Ущ з) + + н (Ущ Ущ-в+ Ущ-з Уз!-з)'+ Если ограничиться одним членом правой части, то придем снова к формуле Эйлера (14) Ущ+! = Ущ+ "У!в' Два члена правой части дадут — 3 Ущ+! Ущ+ 2 ( Ущ Ущ-!)' (15) Три члена правой части дадут формулу У,+,=У +12(23Ущ — 16У'„,,+5У'„, з).
(16) Четыре члена правой части приведут к У,=У + — (55У вЂ” 59У',+ 3 У' з — 9У' ). (17) Возьмем теперь у= 1 и в качестве (..з (х) снова интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад (7). При этом у „,— у,= ) (! г-~х' -!- ', /',-в" гв-! ;! ь! з!--1,/ гз--' — ! ГП+1) г(!+1) ... (!+а — 1) а 1Ж 2 т-! = а,(г + ~ у, + ~,г7', + ... + а уз !и —, га!! ьт а 3 з (18) Здесь !.
! а,= ~ И=2, -! +1 а, = ~ (г(! = 0, -! +! !аз / " г(!+1) 1 2 3' гуГ = —, -! ! Г(!+1)(!+2) 1 а,= ! 6 3* — 1 Г (г+ 1) (г+ 2) (Г+ 3) Ю а,= ! — ! 28 18 229 35 424 з = 90 ° з = 60 480 ° ! = 120 960 ° 1 036 064 2 025 472 в=3628800 в 7257600' (19) Если ограничиться разностями до четвертого порядка и взять в ка- 29 30 1 честве коэффициента при четвертой разности вместо — число — = — , 90 90 3 ' 1 т. е.
изменить этот коэффициент всего лишь на —, то получим 90' особенно простую для вычислений формулу: 1 з 1 з 1 Угз+! У!з ~зг+ 3 ~зг-г+ 3 7 з 3 ~зг-з' 2. Примеры интерполяциоиных формул. Рассмотрим теперь примеры иитерполяциоииых формул. Возьмем в качестве иитерполяциоииого миогочлена опять формулу Ньютона для интерполиро- ЗЗ2 пвивлижвниыв методы ввшвния овыкноввнных эвввнвиий (гл.
9 получим: ф 51 влзностные методы вешения явлвнений 1-го повядкл 333 ванна назад, но за начальную точку примем не х, а х +~~ !+ 2! -~ + г(г+ ц ... (!+а — ц л! Р„.!, а. (21) При 7 = О интегрирование по1 придется проводить по отрезку( — 1, 01. Получим: В этом случае о ао= ! о а,= / гН= — —, 1 2' — 1 о ! 1(г+ц ! а= ( Н= —— 12* -! о г(г+Ц (!+2) 1 6 24' -! о Г (Г+ Ц (Г+ 2) (Г+ 3) 19 а,= 24 720 ' -! о г (г+ Ц (г+ 2) (г+ 3) (г+ 4) 9 120 160 ' — ! 863 275 а = — —, з 60480' ! 24195' 33 953 57 281 аз 3628800' о 7257600' (23) ~о!о! !! =х,— ! = / [У„„Ч-~Р„-!- 5 У„-~- атв о а! о!+ ! —, л! Ж+-' ! сы+ц, г(г+ц...
(!+а — ц 2 а! а ~о(!— =а!7 ~,+а,г)г,+ао!)з„,+ ... +ав!)о „, (22) о!+в о!-~-!- —, 334 пвизлижвнныв методы гашения овыкноввнных явлвнвний [гл. 9 Мы получили интерполяционную формулу Адамса: 1 з ,з ! 3 зз+! 2 + ! 12 зз 24 — — !7 — — !7 —... (24) 19 ! 9 з 720 !з-! 160 з а Эта формула может быть использована для контроля вычислений, произведенных по экстраполяционной формуле. Ее можно использовать и для уточнения приближенных значений для ЬУ~, полученных другими способами, При этом можно пользоваться той же схемой, что и для экстраполяционной формулы Адамса, По приближенному значению у находим с), !7з,, !7~, !7з,. Затем з!+ ! ж+!' ~~а з используем интерполяционную формулу Адамса и уточняем значение Ьу .
Исправляем с7, ф,, !7з, !7з,. Снова по интерзз-~ — з!— 3 з поляционной формуле Адамса уточняем Ьу и затем с7 „, ф зз ззэ- !7", !7з !. Это продолжаем до тех пор, пока исправляемые величины з не будут изменяться при той точности, с которой производятся вычисления. Первое приближение для Ьу можно получить также зз путем экстраполяции вьшшей разности с)з, на один шаг и поз следующего вычисления разностей низшего порядка. Можно также предварительно представить Ьу в виде линейной комбинации у! и у'., а уж затем производить последовательные приближения. Прн этом если ограничиться первым членом формулы, то получим: Уч!+! = У,н+ "У .~!.
Если взять два члена, то будем иметь: У„,е,— У„,+ 2 (У„,+!+У,„). При трех членах получим: — 5 ' / I У, = У +- — (5У, -+ 8У вЂ” У,), (25) (26) (27) при четырех при пяти У,, =У + — (251У', + 646У' — 264У', + 106У',— 19У',,). (29) Рассмотрим еще один случай. Пусть у'=1, а в качестве 1.„, з возьмем интерполяционную формулу Стирлинга! 1 г (г 1) з г (г (вч И (Х) — У + ГУ,„ + 2 У„, + б У,„ + — 24 У„, + (30) В результате интегрирования получим: У!а+1 Уч! — 1 = е!а — 1 -!- ! =й ДХ + У + — 'У'+'"' —" Х +""' —" Х + ...~ (1= — 1 = Ь1(азу +а,/' + а у~ + а !'з +аз~~ + ...~.
(31) При этом ао= 2 а,= ~ (гй= о, -1 41 Рта 1 а = ( — а!1= ! 2 3* +1 а,= 1 и=О, Г (11 — 1) б 1 (32) )' 11(à — Ц а,= ~ 24 90' Ж= — —, 1 Таким образом, наша формула примет вид у, — у, = 1) ~2У + — гз — — У~~+ ... ~, (33) Если выразить здесь разности через у',, то получим, принимая во внимание разности первого, второго и третьего порядка: — 2а У,ч+ У ! = 2"У,„ л 4 Г У~+ — У,= з (У~+ +4У~+У -1 $ 51 влзностныв методы гашения гвлвнвний 1-го повядкл 335 336 пгналнжаннык матоды гашання оаыкноаянных энланвннй [гл. 9 3. Метод неопределенных коэффициентов вывода разностных формул.
Можно н не прибегать к помощи ннтерполнроэання для получения формул (37), а воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Разложим у, н у' по формуле Тейлора до членов с пронзводнымн порядка р+ 1. Получим: 'тйт ~я ия у „=у +тпу + — у + ... + — у~м+ .Р 'дяч' + у~я+ н+- о (йг ), (р+ 1)1 + — У1"+Н+ о(пэ). (38) (39) Потребуем, чтобы после подстановки (38) н (39) а (37) коэффициенты прн пз, Ь', и', ..., йг а правой н левой частях полученного равенства былн бы равны для произвольной функции у(х).
Это даст нам следующие равенства: ~ а,=О, (40) о л'.~ ат †.~З.=О (41) .У,'(а„ч' — з~„ы Ч = 0 (з= 2, ..., Я; Всего имеем р+1 однородных линейных алгебраических уравнении относительно 2л+ 2 неизвестных а; н рн Таким образом, максимальное значение р равно 2)г. Ошибка метода на одном шаге нлн локальная ошибка метода будет определяться разностью между девой н правой частямн. Член с наименьшей степенью й в гной Последняя формула содержит у' ., н вряд лн будет полезна на практике. Прн желании набор формул можно было бы значительно увеличнть. Можно получать новые формулы беря линейные комбннацнн формул, полученных для различных 7 н разлнчных Е~,л(х). Все этн формулы можно записать а анде атумеа+а„,у„, „,+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
