Том 2 (1160084), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Но мы этим ограничимся, так как уверены, что читатель или сам сумеет получить удобные в данных конкретных условиях формулы, или найлет их в многочисленных руководствах, посвященных этому вопросу. Заметим только, что и в этом случае могут найти применение формулы типа (47) предыдущего параграфа. ф 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Линейные разностиые уравнения. Прежде чем перехолить к вопросам, указанным в заголовке данного параграфа, рассмотрим некоторые вопросы теории линейных разностных уравнений. Эта теория близка к теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому доказательства здесь приводиться не будут, Линейным разностным уравнением й-го порядка называгот выражение вила оь (л) учев + а» г (л) у„,ь, -)- ...
+ ае (л) у„= Ь (л), (1) 354 пгивлижвнныв мятоды вешания овыкноввнных гглвнвннй (гл. 9 ф Т) оцвикл поггвшности, сходимость и хстойчивость 355 где а»(л), Ь(п) — заданные функции целочисленного аргумента л, а„(п) + О, а,(п) Ф О. Если Ь(л) — = О, т. е. (1) принимает вид а„(л)у „+а,(л)у „,+ ... ~-аз(л)у„=О, (2) то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.
Решением уравнения (1) или (2) называется всякая функция целочисленного аргумента л, после подстановки которой в уравнение последнее обращается в тождество по п. Ясно, что если задать уз, у,...., уз, (начальные значения), то мы можем по (1) или (2) последовательно вычислить все у„.
Имеют место следующие утверждения: 1. Если у(„'>, у(3>, ..., у(з> являются частными решениями однородного линейного разностного уравнения (2), то и любая их линейная комбинация я„=С у~и>~-С Я+ ... ~-С„уР') (3) с постоянными коэффициентами С» будет являться решением уравнения (2). 2. Если, кроме того, определитель У(1) У~1) У~») Р У ... У~> (4) (3) ~з) ~з) У1+1 У1 »1 " ° У».1 (1) (3) (3) У,+3 У»+3 "° У,+3 Уз+3-1 (1> У(1) и У>+к-1 °" У>+3-1 уа> у(з> Ь (») Уз+1 У!+1 ° ° ° Уз+1 (1) (3) (3) (!) (3) (3) У»+з Уз+3 . У!+3 У»+3 " У +в (3> (3> отличен от нуля, то любое частное решение (2) может быть представлено в виде (3).
т, е. (3) дает общее решение уравнения (2). Частные решения у(„'>, у(3>, ..., у(З> в этом случае называют линейно независимыми. 3. Общее решение уравнения (1) можно представить как сумму какого-то частного его решения и общего решения однородного уравнения (2). 4.
Если у(„'>, у(3>, ..., у(з> являются частными решениями (2), для которых определитель (4) отличен от нуля, то функция 356 пгивлижяиныв мвтоды гзшяния озыкноввнных явлвняний (гл. 9 является частным решением неоднородного уравнения (1) (аналог метода вариации постоянных). Если коэффициенты аг(и) уравнения (1) или (2) ие зависят от а (тогда мы их будем обозначать просто аг), то будем говорить, что (1) или (2) являются уравнениями с постоянными коэффициентами. Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что аг(л) ие аависят от и.
Будем тогда разыскивать решение уравнения (2) в виде у~ =л ° (6) При этом для определения неизвестных значений я получим алгебраическое уравнение лаза+па яь-г + ... +а,я+аз=О (7) Это уравнение называется характеристическим для (2). Если все корни хо гм ..., вл характеристического уравнения простые, то яы яю "' 'и (8) образуют линейно независимую систему решений (2). Часть корней гг или все корни могут оказаться комплексными. Мы ограничимся случаем, когда все коэффициенты аз действительны.
Поэтому комплексные корни будут попарно сопряжеиы. Пусть, например, г„= р(соз <7+ 1 з1п ~р); гу = р (сез ар — 1з!и ~р). (9) Тогда этой паре комплексно-сопряженных корией будут соответствовать два действительных частных решения уравнения (2): р" соз и(у, р" з!п лф, (10) Если произвести такую замену для каждой'пары комплексно-сопряженных корней, то полученные решения совместно с решениями, соответствуюшими действительным корням, снова образуют и линейно независимых решения (2). Если яг является корнем (7) кратности г. то частными решениями (2) будут: г", ля"., и'л", ..., л'-'г"..
1' а' $' г' (11) И в этом случае комплексные корни можно заменить действительными. Во всех случаях мы сможем получить и линейно независимых действительных решения уравнения (2). 2. Разиостное уравнение для погрешности приближенного решения. Перейдем теперь к вопросу об оценке погрешности разностных способов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ограничимся случаем одного уравнения первого порядка †"„~ = 7(х, у). 9 71 оценка поспешности, сходимость и устойчивость 357 Будем предполагать, что у(х, у) обладает непрерывными производными до некоторого порядка р)~1 в области О'): )у у(х) ( ~( г (хо ~( х ~ «о+'т) (13) где у(х) — решение (12), удовлетворяющее начальному условию у(хо)=уо, а г таково, что приближенное решение, выходящее за пределы области О, становится неинтересным. При этом у(х) будет обладать в О непрерывными производными до порядка р-+ 1. Численное решение (12) будем отыскивать по формуле а а ~~~~ ~агуво, — Д ~ ~;/„„= О, (14) предполагая, что начальные значения уо, у,...,, у„, нам заданы. Прежде чем переходить к основным вопросам этого параграфа, наложим некоторые ограничения на коэффициенты формулы (14).
При этом будет удобно ввести в рассмотрение многочлены р (г) = алг" + ал,га — ' + ° .. + а г + ао, 1 (15) а(г)=1)агл+ра,гл-г+ ... +Р,г+ро 1 и оператор Е, определенный при помощи равенства Еу„=у„о, или Еу(х)=у(х+Ь). (18) Тогда (14) можно записать в виде р (Е) у„— гга (Е) у„= О.
(17) Естественно считать, что все коэффициенты аг и рг действительны и что аа чь О. Предположим, далее, что р(г) и а(г) не имеют общих иножиителей. Это связано со следующими соображениями. Если бы нашелся такой многочлен р(г), что р(г) = м(г) рг(г) и а(г) = о(г) а,(г), (18) где р,(г) и а,(г) — многочлены, то (17) можно было бы записать в виде р(Е) (р,(Е)у„— йаг(Е)7„1 = О. (19) г) По поводу сходимости и оценки погрешности разностного метода в случае разрывной правой части см.
Б. М. Будак и А. Д. Горбунов, О разностном методе решения задачи Коши для уравнения у'=у(х, у) и ллв системы УРавнений х,= Хг(с, хь..., х„), Г = 1,..., и с РазРывными правыми частями, Вестник МГу, сер. матем. гй 5, 1958, стр. 7 — 11, нли А Л. Горбунов и Б. М. Будак, О разностном методе решения задачи Коши длв системы УРавнений х,.
= Хг(б хт, ..., х„) (Г = 1, ..., и) с РазРывными правыми частями, Научные доклады Высшей школы, физ.-мат. науки, гй б, 1958, стр. 25 — 29. 358 пвивлижвнныв мвтоды гашения овыкноввнных явлвнвний [гл. 9 Если обозначить р, (Е) у„— йа, (Е) 7„= гр„, то (19) перейдет в (20) р(Е) ф„= О. (21) Здесь лй= х — хо. Вследствие (22) имеем: ~~.'„а»у (х) = Д а»(уе+»+ г!»), где ~г»»1( е. Таким образом, по (14) ~у(х) ! ~~.', а» ( е ~~ ~( а» )+ О (й). !го~го Так как, вообще говоря, у(х) фО, то ~'„~а»=0 нли р(1) =О.
(23) (24) Это третье ограничение на (14). Положим р (л) = (2 — 1) р» (2). При этом (14) перейдет в р (Е) (у» — у») — йо (Е) 㻠— — О. Суммируя равенства (26) по» от 0 до л, получим: р,(Е)(у„— у ) = (Е) ~~'.~ йу». »-о Переходя в (27) к пределу при п-+со, получим: р (1)(у( ) — у != (1) / УИ у(»)1И. огг (25) (26) (27) (28) Начальных условий уо, у,,..., уе, будет достаточно для того, чтобы найти сначала решение (2!), а затем (20). Так как разностное уравнение (21) линейно и имеет постоянные коэффициенты, то г)„находятся без труда.
Но тогда у„ будут находиться из уравнения (20), имеющего порядок ниже, чем уравнение (17), Нас будут интересовать только такие формулы (14), которые обеспечивают равномерную сходимость приближенного решения к точному при й -ь О. (Предполагается, конечно, что начальные значения задаются точно и все вычисления производятся точно.) Поэтому потребуем, чтобы для любого е ) 0 существовало такое 3) О, что как только й ( 3, то — е у„+» — у(х) (е (»=О, 1, 2, ..., й).
(22) 9 71 оцянка поггвшности, сходимость и кстойчивость 359 Так как у(х) должно удовлетворять уравнению)(12), а а(1) ~ 0 в силу второго предположения, то р,(1) =р'(1) =а(1). (29) Это четвертое ограничение на (14). Равенства (24) и (29) необходимы для равномерной сходимости точного решения разностного уравнения к точному решению дифференциального. Будем теперь под у„понимать значение точного решения у(х) дифференциального уравнения (12), удовлетворяющего начальному условию у(ле) =уз, в точке х„= хе+аз и под ӄ— значение 7(х„, у„). Эти величины не будут удовлетворять уравнению (14). но будут удовлетворять некоторому другому разностному уравнению р (Е) у„— 7гз (Е) У, -1- 1„= О (30) где („ можно выразить по формуле (42) 9 5 и в некоторых случаях можно оценить.
Обозначим через у„численное решение, фактически полученное по формуле (14), и через е„— разность (31) у„— у„= е„. Так как формула (14) применима лишь в том случае, если заданы первые л значений у;: уз, у„..., уз+„то будем предполагать, что известны оценки для первых Й значений еь Задача заключается в том, чтобы получить оценки для всех зп При численном решении мы получим у„, удовлетворяющие не уравнению (14), а некоторому другому уравнению: (32) р (Е) у„— Да (Е) У„+ 4ч. Здесь У„=У(х„, у„) и я„— некоторая величина, появление которой вызывается следующими причинами: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
