Том 2 (1160084), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Определитель этой системы равен 1 — 1 ( — ') "' «о 1оп+ и по нашему предположению отличен от нуля. Таким образом, 1 — 1 1 «~Ц Ы -- — о,а, о о аа а (57) (58) 1 1 — г р, т ~ "ого —" + «о«о (59) где с. от, е, 7 — постоянные, подлежащие определению. Ясно, что при 1 Ф Ф для построенных таким образом величин лш будут выполнены верхние из условий (46), ибо агсо являются тогда много- членами первой степени по Ф. При 1=8 будем иметь: «о ь „— 2дц, + ац,, — (ей+ с!) (ей+/+ е) — 2(ей+ о!) (ей+7)+- +(сМ+с! — с)(ей+7) = е(с)о+е() — с(ел+7) = ео! — с/. (50) Итак, нижнее условие (46) даст ее( — с(= 1. (51) Условие (47) повлечет за собой 380 пгивлижвнныв мвтоды гашения овыкноввнных гвавнвний [гл.
9 Уравнениям (53), (55). (58), (59) удовлетворяет бесчисленное мно- жество решений. Чтобы закрепить какое-то из них, положим с = за. Тогда из (53) следует г( = — ', а (58) и (59) дают о = — о, а1 зо и' — ~1. Таким образом, Иа ,'~~~+" ии,И й,п р1) ( <И), д ("оИ+ И')(Ро' Рол — ~— ,) (1~~ И). Нетрудно видеть, что йш является симметрической функцией своих индексов, т.
е. что яоо — — я„о. Таким образом, соотношения (46), (47) и (48) будут справедливы при замене 1 на И, и наоборот. Рассмотрим ло = "' Х йа Ь (61) $1 Очевидно, В-1 зоо1 — 2зо+зв 1 — — и к~'.1(д1 я+1 — 2доо+л;. о 1)у<1 — Иоу)ю (62) 1=1 т. е. зо, определенные (61), удовлетворяют первому из равенств (39). Далее, В-1 )7о(з) =Из Х ~а арго а йн — его~~(ю 0 (63) Я„()=И 2", ГР,д,„+Р,йо" л'"-117(>=0, ~ т. е. и второе условие (39) выполнено. Окончательно находим: в — ! у[,"+Н = — [(аро (И вЂ” а) + зр1 + аЯ~+ — (вор — про) + Ио '~)' й;„7( >, (64) Мы можем раз и навсегда вычислить яг„и единообразным процессом находить последовательные приближения.
Перейдем теперь к исследованию сходпмости этого процесса, В-1 Прежде всего произведем некоторые оценки. Оценим Ио,У, 81оф> 11 Имеем: ! в-1 в-1 в-1 И' Д 81ьу' ~ ( И'Д~ [ зоо [ [Л ' ~ < И ш'х ! Й' ! Д [Иго [. (65) 1-1 ф 8! гвшинив квлввых злллч для овыкноввнных лие. зглвнений 38! и-1 Чтобы закончить оценку, нужно вычислить ~~до~. Лля этого заметим, что все иы имеют отрицательный знак.
Поэтому и-! (66) и-г Таким образом, ~~~~)йти( есть решение уравнения $ 1 л„+, — 2 го+ ль, — — — 1. (67) уловлетворяющее граничным условиям )7,(з) =)с„(г) =О. (68) Но из (67) следует, что — 1 са = — — (Из -!- иИ + о) 2 (69) тле и и о — некоторые постоянные. Потребуем выполнения условий (68). Условие )со(л) =0 ласт 1 1 1+и — —,о+ — а — = О, 2 о 2 (70) 1 о по+ил — (и — 1)о — и(л — 1) 2" Рг И вЂ” О. (71) Итак, и и о удовлетворяют системе уравнений аоИо — а,и = а,, У' +6оИ +1,) и= — 1,(2п — 1) — 1оИпз. (72) Определитель этой системы равен ! и М Ьи.+р, — И' = Изб+ О.
(73) Решая систему (72), найдем: о = Йи ()оИп(и+ 1)+ 2~,п| ° 1 Иа Ь~пИЬ+(п — 1) (аз~~ — а~1о)~ ° (74) (76) а условие Я„(я) = О: 1 — — ро (и'+ ил+ о) 2 о1 оо И гоо огол+ И 382 пгивлнжвнныв методы вешания овыкноввнных гглвнвннй [гл. 9 Квадратный трехчлен — — (Из+ иИ+ о) примет наибольшее зна 1 2 чение при И = — †, и зто значение равно 2 ' — (и — 4о).
-1 8 (76) Подставляя сюда вместо и и о их значения, найдем: В(и' — 4о)= ни" (Иаи ба+2(4, — аЯИ (и — 1) б+ 1 ! + (и — !)а(аав! — а!Ре)а — 4а!Рви(и+ 1) Иб — 8а!Р!иб) ( (Ь вЂ” а)! л! («ев! — а!Ве)з 2««И («ев!+ а!Зе) ! а!В!л (Ь вЂ” а)з + ВИ! ВИ«Д« ВИеа И!а ВИ' (Ь вЂ” а)т («ее! — а!Ве)! (Ь вЂ” а)т (аеа! + «!Ве) (Ь вЂ” а) «!р! + Вата« + 4Иеа! + ВИта! где б! определено в (43). Таким образом, ! «-! И ~~'.,ви,У~,"!~ ((Ь вЂ” а)зЛ«! шах (ф> (, ! ! (78» где 1 1 Г "А ( Ф~ — Ы'1 '!= В+4ае~~~!+"!~в+2(Ь вЂ” а)+ 2а, ~ (") Нам потребуется еше опенка И лг) ' 2 ' " ')!"!, Имеем: Но «-! Х~~! "+!~ 2! + )+ ( + )+ ! ! «-! ,~~~ ~кча- ! — — 2 ((И вЂ” !)'+ и(И вЂ” 1)+ 1.
1 (82) (83) ! «-! «-! И ~„в'"+' па 'ут'! <И шах~7м!!~ ~в!' ь+' и' " !~. (80) ь ! ! ! з-! Далее, «-!~ ~ « — ! «-! ~(«' +', Г« ')= — (» )ес,( — ~)е,,)!. !8!! ! ! ! ! ! ! а 8! гвшвние кваввых задач для оаыкноввнных диф. хвлвнвний 383 Таким образом. Е ч-1 И-1 2 Х !Кь "+1! Х(Кь а '! = — — (2)1+и). (84) 1~! 1 2 ! а 1 а ! Отсюда 1- 1 п1ах,~~~ '"+' 2 ' '!=-!и — 2 — „а (пер, — аД)~= 1-1 1 = — ! (и — 2) 4, — (л — 1) (пера — варе) ! ~( 2аа .С.— "! ае1е(Ь вЂ” и)+аогеа+ц4о+ !~А — цалко!! = = —" (аоро(Ь вЂ” а) -1- 2 гпах (аА, царе)! (85) Окончательно получаем: ч-! ~лаа! 2 аа ) з "171 (86) где )ч =,—, (аейе(Ь вЂ” а)+ 2 шах(аеР1, цайе)!. 1 (87) 1 Заметим, что в оценках (78) и (86) величины Е!"' не обязательно должны быть определены функцией Е(х, У, а), а могут быть произвольными заданными числами, Пусть Е(х, У, а) в рассматриваемой области О удовлетворяет условию Липшица по у и г: )Е(х.
У, л) — Е(х У а)1~(Е.1!У вЂ” У!+Еа!в — а!. (88) Рассмотрим множество ЕЕ всевозможных совокупностей и -)- 1 чисел уе, у,, ..., у„. Будем обозначать такие совокупности (у„,'. Множество Й можно сделать метрическим пространством, если определить РасстоЯние междУ двУмЯ совокУпностами (Уа! и (ла! как Р(!Уа), (ал)) =Е,, шах !Уь — аа)-+ о<а<в +Е.а паах ~"+' Уа ' — ~+' ва ' ! (89) 2Л га ! хю Уе — 2Ь вЂ” )ц О (А = 1, 2, ..., и — !).
(90) Нетрудно проверить. что все аксиомы метрического пространства при атом будут выполнены. В дальнейшем будем рассматривать только такие совокупности (уа), для которых 384 явивлиженные методы вешания овыкновенных тт»знаний [гл. 9 Для каждой такой совокупности формула л» вЂ” а [про(Ь вЂ” а)+ а8! -(- аф + — [вор — про[+ л » о-! +Ьг~~)~~8!»У(хг, у У'+' У! !) ()г=б.
1. 2, ..., и) (91) 2Л ! ! определит отображение (л») = А ((у»)) (92) элемента (у»), принадлежащего Й, в элемент (х»), принадлежащий А!. Если даны две такие совокупности (у„) и (у„), то в силу (78) получим: о-! (໠— з»(=Ь',~ Л!»~У(х! у ° У"' У' !) —,7(х у У"' У' ')1 < ! ! о-! <Ьг ~~)~~ ( ) ~ ( ( ) [ Г ~ Уг+! Уг-! Ув+! Уг-! ~~ ~~ г-! <(Ь вЂ” а)гЛ!(7.! шах (у! — у,(+ о<!Со + Ц !пах ) Уг+! — Уг-! Уг+! — Уг-! ~~< (Ь вЂ” а)г Л Р ((у») (у»)' (93) о(г<„1 2Л 2» Аналогично, используя (86), найдем: ~х»+! — а»-! г»+! — а»-! ~ <(Ь, )) (( ) (, )) (94) Таким образом, р ((х») (л»)) < [(Ь вЂ” а)' 1чЛ, + (Ь вЂ” а) (гЛг[ р ((у») (у») ) (96) Обозначим (Ь вЂ” а)г !.гЛ! + (Ь вЂ” а) Ц)я = 7.
(96) Если 7 < 1, то (95) показывает, что отображение А сжатое. В дальнейшем мы будем предполагать, что это условие выполнено. Для,применения принципа сжатых отображений требуется еще выбрать начальное приближение (у!»о!) и область О такими, чтобы все последующие приближения не выходили из области О. Для этого достаточно потребовать, чтобы для (у~~!) было выполнено условие (90) и чтобы к области 0 принадлежали все точки (х», у», х»), для которых (97) (98) 9 81 гвшвнив кгаввых задач для овыкноввнных дио.
хвавнвний 385 Разлагая оа.г, и уа, по формуле Тейлора относительно точки ха до членов, содержащих производные четвертого порялка, получим: ра+ — 2~ра+ ~ра- = ЬаРа+ И'ра (И = 1 2 и — 1) (100) где 1 ) Ра ! ь 12 М4' (101) Аналогично найдем: "о9о кг = к "гйро. тг то И (102) тле 1 1 2 о' 1Р~~ 2 (103) Так как у„удовлетворяет уравнению У„+, — 2У„+Уа, = Из~а (И = 1, 2, . „и — 1) (104) Действительно, в этом случае неравенства (93) и (94) обеспечивают приналлежность всех последующих приближений к О. Итак, при всех вышеуказанных предположениях булет применим принцип сжатых отображений, и следовательно, уравнения (34) и (35) имеют решения, удовлетворяющие неравенствам (97) и (98), и эти решения могут быть получены методом последовательных приближений (36) при подходящем выборе начальных приближений (у~~1~.
Нам остается исследовать вопрос о сходимости конечноразностного решения к точному решению краевой задачи и об оценке отклонения этих решений, Сделаем еше два предположения относительно функции Г"(х, у, х): 1, Функция г(х, у, х) непрерывна в области О вместе со всеми своими производными до второго порядка. 2, Краевая задача имеет решение р(х), лежащее в О. Используемое разностное уравнение также имеет решение, приналлежашее 6. Условимся о некоторых обозначениях. Точное решение краевой задачи (3!) и (32) будем обозначать через у(х) и его значение в узле ха через сра. Пусть г" (х, ср(х), ~'(х))=Р(х) и г".(ха)=г".а. Через Ма обозначим шах)фа1 (х)) при х~ (и, 3). Приближенное решение краевой задачи, полученное приведенным выше способом, булем обозначать через уа (И=О, 1, 2, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
