Том 2 (1160084), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Наконец, обозначим у(ха, уа, " „" ~~=уа, еа — оа — уа. уа+г — уа-г 1 Рассмотрим выражение ср 2ср + ср — Ио~р'„' (И= 1, 2, ..., и — 1). (99) 386 пгивлиженныв методы вешания овыкноввнных ввлвнвний (гл. 9 и граничным условиям (35), то, вычитая, получим. „,,— 2зл+ „,=И'(Ии — У„)-)-И"Рл (И=1, 2, ..., и — 1), ,,„—., -„"= — а,ИРе.
(105) Ре +Р И вЂ” =Р ИР ° Повторяя рассуждения, при помощи которых мы нашли у1итч (фор- мула (64)), получим: Из са = 1"юрч — "я~о(И вЂ” о) Ро — яАРо1+ — а ~гв я-1 Ила + а (а4~Ра+Я4оро)+ Из'~ два((Р,— У,)+Изр,). (106) <Р,' — "",И " ' (1= 1, 2, ..., и — 1). (107) Это выражение можно записать в виде — ы<-~ ы-з 2И ' 2И (108) Снова применяя разложение по формуле Тейлора, получим: ~Р' — ль' ~ '=И'ра-+ "е' " ' (И=1, 2, ..., п — 1), (109) 2И где )Ри~ ~( 6 з.
1 (110) Используя (106), найдем: — И = —, (4 Рв+Я,Рере)+ з-1 + и',~~ 1й, к+г — 8, и-~1 1(~г — Л)+ и'Рг) (111) Если вспомнить неравенство (85), то из (109) и (111) видно, что := стремится к Р' при И вЂ” ~ 0 (И= 1, 2, ..., и — 1). йа И Отсюда сразу же слеаует сходимость. Стремление к нулю при И-+ 0 первых двух членов правой части видно непосредственно. Стремление к нулю послелнего члена следует из неравенства (78).
Рассмотрим теперь э 9) 387 катод пгогонки Равенство (106) можно использовать и для оценки ~еь~. Обозначая через М верхнюю границу функции )У(х, у, х)~ в О из (106), получим: ~ ь~ (2д тИз(2ад1+4(Ь вЂ” ))+ 2Д '(а11о+ 41)+ да (Ь вЂ” а) ИМт + па (Ь вЂ” а) Л'",2М + 12(Ь вЂ” а)тЛт, М,, (112) 9 9. Метод прогонки ') Этот метод разработан в Математическом институте им. В.
А. Стеклова АН СССР. Проиллюстрируем его на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка: у" = р (х) у + а (х), где р(х) и д(х) — непрерывные функции, р(х) ) О. Пусть гранич- ные условия имеют вид у'(а) =асу(а)+ан У(Ы =1оу(Ь).+1 (2) (3) Залачу (1), (2), (3) можно, как мы видели, решать конечноразност- ными методами. Можно было бы применить и следующий прием. Задаемся произвольными начальными данными у (а) = а; у' (а) = аоа + а„ (4) лишь бы было выполнено граничное условие (2). Находим решение задачи (1), (4). При этом, возможно, придется применить один из численных методов, приспособленных для решения зааачи Коши. ') При напкяапии даниогр параграфа использована рукопись неопубликованной статьи И. М. Гельфаида и Локуциевского, любезно прелоставлениая авторами в наше распоряжение.
Мы не стремились дать здесь наилучшую оценку. Как и все оценки такого типа, она мало эффективна, а ее получение требовало бы громоздких рассуждений. Конечноразностные методы могут быть использованы и для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка. Они могут быть использованы и для решения краевых задач с другими не рассмотренными здесь типами граничных условий. При этом обычно не возникает никаких принципиальных затруднений при составлении конечноразностного аналога заданной задачи.
Но, естественно, возникают трудности при доказательстве сходимости и оценке погрешности. 388 пгивлиженныв мвтоды гвшвния озыкноввнных кялвнвний [гл. 9 Обозначим полученное решение через у,(х). Тогда общее решение уравнения (1) можно записать в виде у(х) =С,х,(х)-+С,х,(х)+-у,(х), (5) где х,(х) и х,(х) — линейно независимые решения уравнения х" (х) = р (х) х (х). (6) Так как для искомого решения у(х) должно быть выполнено граничное условие (2), то должно иметь место Сх',(а)-+С х',(а)-[-у',(а)=С,аех,(а)+.С,а х,(а).+а у,(а).+яп (7) нли С,х',(а) -[- С х,'(а) = а [С,х, (а) -[-Свх, (а)~.
(8) Таким образом, нам надо разыскивать все решения (6), удовлетворяющее условию х'(а) = аех(а). (9) Совокупность таких решений образует однопараметрическое семейство. Чтобы получить его, достаточно задать каким-либо образом х(а)= Т + О и найти решение х(х) уравнения (6), удовлетворяющее условиям: (10) При этом у (х) =у1 (х)+-Сх(х), (1 1) где С подбирается так, что для у(х) выполнено (3). Это дает Р~ У1( )+Реу1( ) х (Ь) — гех(Ь) Если, как мы предполагаем, задача (!), (2), (3) имеет единственное решение.
то С должно определиться однозначно. Теоретически изложенный метод идеален по своей простоте, Однако он может привести к большим вычислительным погрешностям. Для того чтобы показать это, исследуем поведение решения х(х) уравнения (6). Дифференцируя хх', получим: П (ххп) —,з — —, — — ж — =хг .+хх"=рх'+-х' ) О. Отсюда х(х) х' (х) = ~ [р (с) хз(с)+ х' Д)~ г(с+ в (а) х' (а), (14) а хз(х) = 2~ Л / [р(т[)х (4)+х' (п)~ А~+ 2х(а) х'(а)(х — а)+хз(а). а а (15) 389 6 9) мвтод пгогонки В нашем случае г(а)хп (а) =авва(а). Как и ранее, будем предполагать, что ае ) О, При этом формула (16) показывает, что я(х) будет расти по абсолютной величине вместе с возрастанием х.
Следовательно, х(х) может быть очень велика при х = Ь, особенно если нижняя граница р(х) большая. Вследствие этого для получения у(х) по формуле (11) с достаточной точностью нужно будет сохранять в у,(х) и л(х) большое количество разрядов. Метод прогонки и придуман лля того, чтобы избежать этих трудностей. Суть метода состоит в следующем. Формула (11) показывает, что совокупность решений дифференциального уравнения (1), удовлетворяющих граничному условию (2), есть семейство, зависящее от одного параметра. Будем разыскивать линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида у'(х) =ае(х)у(х)+а,(х) такое, что каждое решение (11) приналлежит к числу решений (16). Естественно, при х= а мы должны получить условие (2), и поэтому ае(а)=аз, а,(а)=а,.
(17) Так как (11) должна удовлетворять (16), то у', -+ Сх' = — ае (х) у, + Сав (х) х + а, (х). Это тождество, выполняющееся при любом значении С. Поэтому г = ае(х) х! У ао(х)У + а (х)' (19) или а' (х) -1- а~ ~(х) = р (х). (21) Точно так же, дифференцируя второе из равенств (19) и используя (1), получим: у,' =р(х)у,+д(х)=а'(х)у,+а (х)у',+-а',(х) = =~а'(х)+-а" (х))у,+а (х) а,(х)+а',(х), (22) или а,' (х) + а (х) а, (х) = 9 (х). (23) Таким образом, наша зааача свелась к отысканию функций ае(х) и а,(х), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений первого порядка а'(х) + аея(х) = Р(х), а' (х) -1- а (х) а, (х) = о (х) (24) Дифференцируя первое из этих равенств и используя (6), получим: л'"= Р(х) л= ао(х) в+ аз(х) х'=[ао(х)+ ко(х)3х. (29) 390 пвивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкновзнных гвлвнвний [гл.
9 и начальным паиным (17). Сначала мы интегрируем первое из уравнений (24), а затем второе. Найдя а (х) и а,(х), мы можем получить у' (Ь) = а (Ь) у (Ь) -+ а, (Ь). (25) Этим самым мы совершили прямую прогонку, перегнав граничное условие (2) с левого конца на правый. Равенства (25) и (3) рассматриваем как систему уравнений для определения у(Ь) и у'(Ь). Уравнения (25) и (3) могут совпадать, и тогда краевая задача имеет бесчисленное множество решений, представляемых формулой (11). Они могут быть несовместны и тогда краевая задача не имеет решения. Если же система (25), (3) имеет едимственное решение, то на правом комце мы получим данмые Коши для уравнения (1).
Но лучше использовать не уравнение (1), а уравнение (16), находя его решение на отрезке [а, Ь[, принимающее при х=Ь полученное нами значение у(Ь). Этот процесс называют обратной прогонкой. Исследуем теперь поведение решений уравмений (21) и (23) при прямой прогонке и уравнения (16) при обратной прогонке. Заметим, что уравнение (21) получается из уравнения (6), если произвести замену переменных (26) Действительно, г' = ав (х) гп г" = а', (х) г +. а' (х) г (27) н подстановка этих выражений в (6) даст (21).
Начальные условия для г, дающие нужное нам решение аз(х), будут: е(а)= 1, г'(п) =а, г' При этом, ав(х) = — будет представляться в виде отношения выражений (14) и (15), которые положительны. Если г быстро растет, то аз(х) будет быстро убывать. Уравнение (23) для определения а, (х) линейно и коэффициент при а,(х) положителен. Следовательно, его решение, имеющее вид е а — [,<*>л — [,спев и 1;озл, а,(х)=а,е л .+е " [ е" д(1)пЕ (26) а [ «, л(х1ен благодаря наличию множителя е не будет быстро расти. При обратной прогонке мы решаем уравнение (16) при заданном значении у на правом конце.
Это также не даст быстрого роста. й 10! вешания кглявых задач для овыкновянных дие. ьвлвнвний 391 О 1О. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами + — !Ю (л) — 2Ь(й)! (6) в классе всех непрерывно дифференцируемых функций (выполнения граничных условий можно не требовать). И в том и в другом случае дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера для вариационной задачи. Идя по этому пути, можно найти и другие функционалы, для которых минимум дости- гается после подстановки в них решения краевой задачи.
При этом, если функционал имеет вид ь з= ~ р(х, у, у'...,, уоо)дх, Р (6) В настоящем параграфе мы рассмотрим вариационные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав- нений, позволяющие получить приближенное решение краевой задачи в аналитической форме. Свое название эти методы получилн потому, что их первое применение было связано с заменой краевой задачи для дифференциального уравнения некоторой вариационной задачей. Так, решение краевой задачи — ! р (х) у' ! — с) (х) у = у (х), (1) у(а) =а, у(Ь) = р (2) заменяется залачей об отыскании функции у(х), удовлетворяющей условиям (2) и обращающей в минимум функционал ь У= / [р(х) у' + у(х)уз+2У'(х)у]с(х.
а Если р(х))0 и непрерывно дифференцируема, а д(х) и )(х) непрерывны и д(х))~0, то решение краевой задачи (1) и (2) суше- ствует и единственно в классе всех непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих (2), и обращает у в минимум. Более общая краевая задача (!) и аьу (а) +- а, у' (а) = а, рьу(б)+р у'(Ы =р (4) при а, Ф О, р, ~ 0 может быть заменена задачей об отыскании мини- мума функционала ь У= ~ [РУ' +дУз+ 2/У]ах+ — ! — аьУз(а)+2аУ(а)!+ а 392 пгивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных хвьвнвний [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
