Том 2 (1160084), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Проиллюстрируем зто примером. Будем искать решение дифференциального уравнения у' =у, удовлетворяющее начальному условию у(О) = 1. Решение будет разыскиваться на отрезке [О, 1) с шагом й= 0,1 по разностной формуле у .,а+ 4у„ь! — 5у„=)г!4У„.„!+2Уч).
(85) полученной в 9 5. Это — зкстраполяционная формула второго порядка, имеющая наивысший относительно )г порядок ошибки на шаге, равный 4. В нашем случае (85) перейдет в у„+, + 3.6уч+а — 5,2у„= О; уо = 1* (86) Точное решение уравнения (86) имеет внд у„=(1 — С)г",+Се,", (87) где г, 1,105168 и га — 4,705168 являются корнями квадратного уравнения л'+ 3,6г — 5,2 = О (88) и С вЂ” постоянная, зависящая от выбора у,.
Точным решением дифференциального уравнения будет е . Возьмем в качестве у, значение ец' с шестью верными десятичными знаками: у,= 1,105171, и будем последовательно находить у„по (85) также с шестью десятичными знаками. Результаты вычислений приведены в таблице: (у — у ) 10 Как мы видим, ошибки чрезвычайно быстро растут, Хотя было сделано мало шагов, последние значения совершенно не удовлетво- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,000000 1,105171 1,221384 1,349907 1,491532 1,650001 1,815963 2.042538 2,039871 3,097662 — 0,234254 0 0 19 — 48 293 — 1 230 6 156 — 28 785 135 670 — 638 059 3 002 536 868 пгивлижвнныз мвтоды гашения озыкноввнных твлвнвний [гл 9 рительны.
Взяв любую экстраполяцнонную формулу второго порядка с худшей ошибкой метода, например формулу Адамса, мы получили бы значительно лучшие результаты. В данном случае г~~ дает неплохое представление еаг« на отрезке (О, 1). Так при и = 10 разность еа'« — л«, достигает лишь 77 единиц шестого десятичного знака. Поэтому казалось бы, что, взяв более грубое значение у„ прн котором С в формуле (87) обратится в нуль, мы можем существенно улучшить результаты. Однако, в силу ошибок округления, второе слагаемое в (87) рано или поздно начнет сказываться и исказит результаты. Вычисления по (85) при у, = 1,106168 дают: (,аг«), 10а У« Сначала погрешности умеренны, но затем они все быстрее и быстрее растут.
Если бы продолжить наши вычисления дальше, то погрешности превысили бы значения у„. В связи с отмеченным явлением будем называть формулу численного интегрирования (14) устойчивой, если все корни уравнения (84) лежат нли внутри или на границе единичного круга, причем последние не являются кратными. В противном случае назовем формулу (14) неустойчивой. Вообще говоря, неустойчивые формулы дают неудовлетворительные численные результаты и должны применяться с большой осторожностью. б. Оценка погрешности н сходимость устойчивых разностных методов решения дифференциальных уравнений. Дальнейшую оценку будем производить для того случая, когда формула численного интегрирования (14) устойчива. Нам необходимо принять некоторые меры предосторожности для того, чтобы исследуемые функции не выходили из области О, в которой проводятся все рассуждения. Это потребует некоторых дополнительных предположений.
Прежде всего предположим, что гт 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 1,000000 1,105168 1,221395 1.349852 1,491787 1,648797 1,821623 2,015192 2,215192 2,507999 2,490202 0 3 8 7 38 — 76 496 — 2 149 10 349 — 48396 228 080 настолько мало, что для постоянной Липшица Л функции 7(х, у) выполнено неравенство (89) На основании принципа сжатых отображений можно утверждать, что если и(х) =у(х) — Л/'(х, у) (90) и и (х) — заданная непрерывная функция. удовлетворяющая нера- венству [и(х) — и(х)! 'г(1 — [Л[Ц, (91) где г было определено ранее (см.
начало п. 2), то уравнение и(х) =у(х) — Лу'(х, у) (92) имеет в 0 одно и только одно решение у(х). При этом [у — у[ «. ! и — и[+[Л[[~(х, у) — 7(х, у)[ ([и — и[+И,[у — у [ (93) или [у — у [ ~( (1 — [ Л [ Е) [ й — и [ = У., [ и — и [. (94) Необходимо также наложить некоторые ограничения на погрешности 11„, Ое, О,, ..., Оь,, 1„. Будем предполагать, что ,%~ !'О,[+ шах [Оу[(е < а 1«ь-г (951 и что для любой р+1 раз дифференцируемой функции у(х) [р(Е)у — Ы(Е)у'[(М +,С'~Р~', (96) тле Мя+т — — знр[у1Я+п(х)[ на [хе, хе+а! и С' — постоянная, не зависящая от у(х). Обозначим шах [и~ — и [=О. Так как формула (14) предпоа«ь-г лагается устойчивой, то можно найти такую постоянную й, что при любых п (97) Сначала получим искомую оценку, не исследуя вопрос о том, находятся ли й„и у„в области 6 или нет. Затем мы наложим еще олно ограничение на е и Ь, которое обеспечит нам невыхождение и„ и у„ из й.
ф 7! оцвнка погвяшности, сходимость и тстойчивость 369 379 привлижвнныа методы вешании овыкновянных трквнвний [гл. 9 Начнем е оценки )~уе!. Йо-(71) и (94) имеем.' к — ! ! 7,1= й 2. ! рт — ркак'а;1Е'~У,— Л1+1 1.Т+~1.~ < о о к-ы <Л ~~.'~ 1р, — ркак'а, ~1Е'И., ~ и„— и„~+-~ о1„~ -1-~ 1, ( < > о й-1 о Д7.Ц шах 1йр — и„~ .е~~~( ~, — ~)как а~~ + )'4„(+ ((о ), ос~-~к-1 о-о (98) или если обозначить к — о Е(-, ~~.",~~, — ~„ак 'а ~ = 1-,, '~-о (99) то аХ! 1,!+Ф <И (102) и о 196) ч о (103) Следовательно, и 1й „вЂ” и„+к) <Ь7еЕ~~.', шах ~и — и ~+Е(е+М~~,Садр).
(104) .-о р< ч+к-о Наряду с величинами ! и„— ие ! рассмотрим последовательность: величин ере, определенную рекуррентным соотношением; я.ок-1 тв„+к — Щд .~, ш, +д(е+ Мро,С'айр) (и) О). (105) ,-к-1 Возьмем ш~, а — — д(е+ Мр ыС'АР). (106) При этом, очевидно, тек,) шах ( и — и„~.
р~к-1 (107) 1д„) <Ме шах )и,,— и„(+(о1,)+(1„!. (100) о<., к-1 Г1оэтому формула (82) даст е ~и„.„— и„„к~ <~,Эо ИЬ, шах ~и — и,(+(4,~+(1„~~+80. (10!). -о ~ оа.+к-~ 1М по (95) 9 71 оцянк» погряшности, сходнмость и рстойчивосгь 371 Взяв в (105) и =О, получим: в» = И.ерш» + и (з+ Мр,С'а)гР)= = и (е -(- М +,С'а)еР) (! + М.ау) > тр», и кроме того, гр» ) шах ! и — и ~. Нетрудно доказать по индукции, ,с» что при любых и) 0 имеет место шр,») а„,» н -тр„д) шаХ ~ и — и ~.
(109) рСр~-» Заменим в (105) и+ А на и+й — 1. Получим: р+»-а гире — 1 (ек Х тр +а(а+ Мр+1С а)е г (110) =»-е Вычитая из (105) выражение (110), найдем: ярр+»= тр» (1+3( К). (111) Решение разностного уравнения (111) с начальным условием (106) имеет вид ..»=(1+И.аа)" р» (е'' ш~,, (112) Итак, ( й„„» — и„+» ~ ( й" (е + Мр,.,С'а)»Р) ее '~. (113) Искомая оценка получена.
Необходимо только обеспечить, чтобы мы не вышли за пределы области О. Обеспечим для этого выполнение условия (91). Это потребует еще одного ограничения. Будем предполагать, что де~ (е+ М,Садр) ( г(1 — )),! 5). (114) р При этом ! й„— и„~ ( лб ( ре ( г (1 — ! ), ! 1,) Предполагая, что неравенство ! и„— и„( ( г (1 — ! ), ! (.) (» ( й — 1). (115) (116) выполнено при э=й — 1, й, ..., й+и — 1, получаем по (113) и (1 14): 1й» вЂ” и»~( (1 — Р~~) (117) Таким образом, пока х„(а, неравенство (116) будет иметь место.
Неравенство (113) полностью обосновано. Теперь, использовав неравенство (94), будем иметь: !У„+» — У„+»/ (У(е-+Мр,,С'а)ев)ее "(1 — 1Л11) ". (118) Это и есть окончательная оценка. 372 пвивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных твлвнвний [гл. 9 Полученная нами оценка является очень грубой. Но и более точные оценки будут иметь очень ограниченное применение, так как обычно бывает трудно ограничить входящие в оценку величины. До сих пор хороших эффективных оценок не имеется.
Отметим одно следствие из полученной оценки. Если в (118) х — хв устремить й к нулю, зафиксировав х и считая и= „, то в пре деле получим: [ у„— у (х) [ ( Сае. (119) Это неравенство характерно для устойчивых формул. Неравенство (118) можно было бы обобщить на случай систем уравнений, если ввести в рассмотрение вместо абсолютных величин соответствую1цие нормы. 9 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей у" =Е'(х, у, у'), н нам требуется найти его решение, удовлетворяющее одному из условий следующего вида: у(а)=а, у(Ь)=р (2) у'(а) = а, у'(Ь)= р, у' (а) — Егу (а) = а; у'(Ь) + й,у (Ь) = р.
(3) или (4) Будем предполагать, что выполнены все условия, обеспечивающие существование такого решения. Разобьем отрезок [а, Ь[ на и равных частей точками х;=а+Ей (Е=О, 1, 2, ..., и; и= ). (5) Эти точки хе будем называть узлами. В каждом из узлов заменим производные через комбинацию значений функции в некоторых узлах по формулам численного дифференцирования, Получим систему и — 1 уравнений относительно у(хе) =уп Присоединяем к ним уравнения, получающиеся из краевых условий. Будем иметь и+ 1 уравнений относительно у, уо ..., у„. Решаем эту систему и находим приближенные значения искомого решения в узлах хь Замена дифференциального оператора разностным может быть использована не только при решении задачи Коши для обыкновен ных дифференциальных уравнений, но и при решении краевых задач.
Пусть дано дифференциальное уравнение 6 8] гвшвнив кгаввых аадлч для овыкноввнных дие. хвавнвний 373 Применение такого метода требует решения следующих вопросов: 1. Нужно выбрать формулы численного дифференцирования, достаточно хорошо аппроксимирующие производные и не выводящие нас за пределы промежутка, 2. Проверить разрешимость системы и указать метод ее решения. 3. Дать оценку точности полученных результатов, Первый вопрос несложен. В главе 3 мы дали много формул численного дифференцирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
