Том 2 (1160084), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+азу,„= = "РлУ + +Р»- У,„+а- + +РзУ') (37) где у,'.= 7 (х,, у,), а, н р, — постоянные, не зависящие нн от у(х), нн от й, аз+ О. Характерным для полученных ранее формул было то, что онн давали точное значение для у(х), если у(х) является алгебранческнм многочленом степени не выше некоторого р, 6 51 рлзностныя методы рвшвния ррлвнвний 1-го порядка 337 разности будет равен и ир+' ааа (р+ !)1 л.а ~ !ачР+' — ()з+ 1) ~,ая! у1Р+'1 = С ИР+'у(Р+0. (42) щ р+1 щ а Можно было бы ожидать, что чем больше булет р, тем точнее булет формула (37).
Однако это не всегла так в связи с возникаюшими при вычислениях по этой формуле погрешностями округления. Выведенные нами ранее формулы булут являться частными случаями формулы (37). Приведем таблицу значений р и С,«р+' лля этих формул: ср,ив+' Формулы иа 1 2 — из 5 12 — ив 3 8 l у„„— у„= иу 1 1 = — И [23у — 1бу' +, + 5у,„] 1 = 24 [55ущ+3 9тщвз+ +37у +з — 9у ] 2 2 Ущ+з Ущ+ а 3 3 Ущ+3 Ущ+а Ущ+з Уои.з — из 251 720 из 1 3 — из 1 3 Ущеа Ущ = 2«ущ+з 2 2 = - и [7У вЂ” 2У, + Ущ] 1 = 3« [бущ+з — 5Ущва+ + 4у + — у„,] 3 3 Ущ+з Ущвз Ущвз Ущ+а в у,— у„= иу„, 1 1 У,+а Ущ = 2 3 1О Ущва Ущ-и Ущ+з Ущ+а — — из 19 720 3 4 12 Ущва Ущ+3 из 3 180 1 — «з 90 4 5 !3 Ущ+2 Ущ 2 [ щвз "'] и = !2 [5тщ+з+ 8ущ+з — Ущ] и а = — [9ущ+з+ 19ущ„з— — 5у' +а+ у,„] 1 г I = 720 и!251ущ+4+ 64бу +3— — 264у + 106у', — 19у 3 и[ущ„+4ущ+,+Ущ] 29 из — — иа 1 2 — — из 1 12 — — из 1 24 338 пвизлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных гвавнений [гл.
9 Уже этот обзор формул дает основания ожидать, что интерполяционные формулы дают лучшую точность, чем экстраполяционные, Найдем теперь несколько формул типа (37) методом неопределенных коэффициентов. Условимся называть формулу (ЗУ) розностным уравнением или уравнением в конечных ровностях, Число 1в назовем порядном этого уравнения, а число р — степенью.
Попробуем найти формулу второго порядка, экстраполяционного типа, имеюшую степень 3. Тогда [)а=О. Коэффициент аа без уменьшения общности можно считать равным единице. При этом уравнения (40) и (41) примут вид аз+а,+1= 0, а, + 2 — (рь + рс) = О; а, + 4 — 28, = О, а, + 8 — 35, = О. (43) (44) Уравнения системы (44) дадут 5, = 4, а, = 4. Далее, получим р = 2, аь= — 5, Таким образом, искомая формула примет вид у „з+ 4у, — 5у = Ь ~4у',, +- 2у' ].
(45) аз+ а, [- 1 = О, а,+2 — Фо-[-~,-[-1з) = О, а, + 4 — 2 (р, + 25з) = О, а, +-8 — 3(р, + 4ре) = О, а, + 16 — 4 (р, + 85з) = О. (46) В этом случае последние три уравнения дадут 1 4 3' ' 3 и а,=0. Из остальных уравнений получаем рь= —, а = — 1. Мы 1 ь= 3 ° снова пришли к формуле (35). Можно рассматривать и более сложные разностные уравнения: ~а„у„„„-[-й, ь В,у, +Ь~ ~~', Т„у „= О.
(4Т) К формулам такого типа мы придем, например, если в качестве 1, ь (х) будем брать интерполяционный многочлен Эрмита. При- Найдем теперь при й = 2 формулу интерполяционного типа, имеющую р = 4. Уравнения (40) и (41) примут вид (опять полагаем а, = 1) ~ б] глзностньш методы гзшвния ввлвнвний 1-го погядкл 339 менять формулы типа (47) удобно лишь в тех случаях, когда производные от г (х, у) легко находятся и легко вычисляются. Можно еще усложнить (47), включив туда производные более высоких порядков. 4. Метод Крылова отыскания начальных значений решения.
Коснемся теперь немного способов вычисления начальных значений у,. уа, ..., у„, основанных на разностных формулах. Приведем один такой способ, предложенный академиком А. Н. Крыловым. Рнс. 25. Ограничимся случаем (а = 3. Возьмем кусок диаграммы Фрезера н запишем три интерполяцнонные формулы, пути для которых указаны пунктиром, тире и тире с пунктиром. Эти формулы имеют вид (48) +г +г(г — 1) а ае' г(г+ ц ь--,,' 2 г(г+ () ь--' 2 г (га — () б; ле — '' г(с+2) (г+ () ьг б 340 пвивлижинныв мвтоды ввшвния овыкноввнных тглвнвний [гл, 9 Интегрируя их в пределах от 0 до 1, получим: +з "+3 в а а+2д ! 12 да-! 8д 3 в (49) Положив в первом из равенств (49) 1=0, во втором Ф=! и и третьем Л = 2, будем иметь: д' — — д + —,д', 12 ! 24 а Т дз+ 12 д!+ я дв ° 1 Дул=до+ 2 1 2 (50) 1 2 У!а=уз+до+ 2 д'! = 1,1005.
1 2 (51) Поэтому исправленное значение для д, будет д, = 0,11005 и для д', будет д', = 0,0100. Найдем теперь первое приближение для у, †, по формуле ув, = у!а+ д!+ — д!! = 1,! 005+ 0,1100+ 0,0050 = 1,2155. (52) Выражения в правых и Левых частях зависят от уе, у,, у,, у,, и мы имеем систему уравнений для определения у,, у,, у,. Ход вычислений по этим формулам лучше всего показать на примере, Рассмотрим уравнение у'=у и будем отыскивать его решение, удовлетворяюшее начальному условию у(0)= 1.
При этом если шаг равен 0,1, то де = 0,1. Принимаем приближенно Ьуе = де. Отсюда находим первое приближение для у,, которое мы будем обозначать через уг,. В нашем случае ун = 1,01. Теперь мы имеем возможность найти первое приближение для д', = д, — де. В нашем случае д, = 0,101 а и д', =0,001. Вычисляем второе приближение для у, — у„и находим а 5! влзностныв мвтоды вешания хгавнвний 1-го погадка 341 Теперь мы можем найти оз, ф и ф д = 0,1216; о = 0,1216 — 0,1100 = 0,0116; двг = 0,0016. (53) Тогда Ум = Уг~ + Чг+ — Ч~~ + !2 Ч~ = 1,2155.+ О, 1216+ ! 5 +0,0050+0,0007 = 1,3425 (54) да=0,1342; дз = 0,1342 — 0,1216 = 0,0126; ~ д", = 0,0010; дзз = — 0,0006.
(55) значения у,, уз, ум находим: 1 з 1 !2 Чг + 24 ~з — — 1,1049, (56) 1 Узз=уз+Чз+2 Ч', + з Вычисляем заново значения разностей (7, = 0,1! 049; дз = 0,1268; ~', =о, — де= 0,0105, дз = 0 1448, (57) !), ='7з М+'7о = 0,0059, Ч', = д~ — Зч, + Зд, — д~ = — 0,0042. После нового пересчета у,, уз, у, находим: у„= 1,1049, узз = 1,2233, у„= 1,3562. (58) Так как расхождения с предыдущими приближениями еще очень велики, то проделываем вычисления еще раз.
Получим: д, =0,11049, дз —— 0,12233, Чз =0,13562, д', = 0,0105, оз, = 0,0013, дз = 0,0001, уы —— 1,1051, уз, — — 1,2213, ум = 1,3493. (59) Пересчитывая по формулам (50) Угз=уе+Че+ 2 Чг ! 2 ~~+ — 4з — — ~)з = 1,2685, 5 з ! !2 г 24 — дз.+ — ф =1,4482. 5 я 3 12 г 8 342 пвивлижвнныа мвтоды гвшвния овыкноввнных квлвнаний (гл. 9 з?з =0,12213, дз =0.13493, з?з, =0,0011, дзз =0,0001, у„= 1,2213, узз = 1 3499. (60) В дальнейшем изменений происходить не будет. Как мы видели ранее, для сходимости процесса последовательных приближений достаточно, чтобы собственные значения некоторой матрицы, составленной из частных производных правых частей, были по модулю меньше 1. В нашем случае решается методом последовательных приближений систезга Л Уз =Уо+24 (9Лхо Уо)+- 19У(хи У ) — 5У(хз, Уз)+У(хз, Уз)! Уз Уз + 24 ! (хо Уо) + 1 3У (~з Уз? +1 3.
(хю Уз) (~з Уз)1 (6 1) Уз=уз+2 ! — 1Ч("'о Уо)+197(лз Уз)+77(хз Уз)+9Лхз'Уз)!' = О. (62) Раскрывая определитель, получим: л — — м,лл'+~ ~— м,л — — м л) л— 41 з /37 аз 1 24 ' 133 4 М,Л вЂ” — — М,Л + — М,Л) =О. (63) /361 аз 11 зз 1 Л 3465 144 24 При достаточно малом Л все корни этого уравнения по модулю меньше единицы. 5.
Примеры. Проиллюстрируем теперь ход вычислений по разносгным формулам при решении дифференциального уравнения первого порядка у'=у с начальным условием у(0)=1 и шагом 0,1. Начальные приближения находились с помощью рядов с пятью верными десятичными знаками.
Все разностные формулы брались не более чем до третьих разностей. ?зля интерполяционных способов при отыскании Ьу методом последовательных приближений за начальные приближения брались результаты, полученные по экстраполяционным способам. Промежуточные результаты вычислялись с шестью десятичными знаками. Окончательные результаты округлялись до пяти десятичных знаков. Новый пересчет даст д, =0,11051, ф, = 0,0105, у,з = 1,1051, Соответствующее вековое уравнение 19М, Л 5мзЛ 24 24 !зм,л !зм,л + 1 24 24 19М~Л 7М,Л 24 24 примет вид Мзл 24 Мзл — Л 24 9мзЛ 24 з 1 в у — = 4ы+ 34 — + 34 -" о.о 1,10517 1,22140 1,34986 1,49182 О,1ООООО 0,110517 0,122140 0,134986 0,149182 0,164872 0,182211 0,201374 0,222552 0,245958 1О 517 0,1 1106 11 623 117 0,2 12 846 127 14 196 144 0,4 15 690 155 0,5 1,64872 1649 175 17 339 0,6 1,82211 2,01374 2,22552 1824 19 163 191 0,7 2015 21 178 0,8 2,45958 0,9 2.71825 1,0 1 в у,— у,=24 +34' 0,100000 0,11051 7 0,122140 0,134986 0,1491 82 0,164872 0,182211 0,0 1О 517 1,10517 0,1 1106 11 623 1,22140 0,2 12 846 0.3 14 196 1,49182 1494 0,4 15 690 1,64872 0,5 1649 17 339 О,б 1,82211 1825 19 164 2,01375 0,201375 0,7 2014 21 178 0,222553 0,245960 0,271827 о,е 23 407 0,9 2,45960 25 867 2,71827 1,0 344 пвивлижвнныв митомы ввшвния овыкноввнных гвввнвний ~гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
