Том 2 (1160084), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. (50) 1 = 2разаз 1 = 2рыК. Третья производная у" (0) будет равна Р" (О) = А (Я+ Аг(Уо) ~~ — ЗРыВР(Уо) у (51) рм+р = 1 1 2' (52) 1 Рза1а — 2, мы получим формулы, имеющие порядок ошибки ло. Из (52) следУет. что Рю чь О, а, ~ О, Р„~ 0 и за= 1)ао Равенства (52! ЯвлЯютсЯ системой трех уравнений относительно четырех неизвестных. Эта система имеет бесчисленное множество решений.
Каждое решение даст формулу, имеющую порядок ошибки До. На практике следует выбирать такие решения (52), которые дают удобные для вычислений фор- 1 мулы. Можно, например, взять а = !)а, = 1. Тогда Ры=рю = ° 2' и получаем приближенную формулу 1 йУо 2 (Йг+Да)! Д! = ДУ(хо. Уо)! Да = ЛУ(хо+" Уо+ дг) (55) ! озьмем еще вариант: па=1)„= —. Тогда ры=!, Р„=О, и получим формулу ~Уо ьа, ь!= Ч(хо Уо)! Аа —— Ч(хо+ 2 ~ Уо+ 2!.
(54) л ожно также подбиРать Ра,, Ры, аа, 1)а, так, чтобы в (51) сокРатнлась часть членов. Так, например, если потребовать, чтобы "12 ( Уо) = 8рааВэ (Уо) (55) и, вообще говоря, в нуль не обращается. Таким образом, беря ран р„, аа, 'ран удовлетворяющие условиям 294 пзивлижвнныв мвтоды звшвния овыкноввнных язлвнвний [гл. 9 то, используя (15), (36) и (49), найдем 4рз =Зр,г или р„= —. 3 2 1 При этом аз=!)гв= — и рг,= —, Получаем формулу 3 в 4' йУо 4 "в + 4 (гг1 (вв = ввГ(хо Уо)' 1 3 2 2 'во= ИУ(хо + 3 Й, Уо+ 3 Йв), (56) Остаточный член при выбранных рг,, рг,, аг.
'ргв, удовлетворяющих системе (52), оценивается по общей формуле (23), причем в нашем случае '~"'(Д) = Ул(хо+ Л) — !РгМ," (й) + М '," ЯИ = =Аз(з'(хо+)з У(хо~-3)))+ Ав (в'(хо+-Ь. У(хо+Ь))! Х Х~~~ о~~ду~"о~~» — р„(звн>(у(1,, ~))+т1ы(у(3, ))!!. (5у) 3-й случай: г= 3. В этом случае ~Рз(0) =Уо — 1рввФв(0)+РзФз(0)-+-Рззйз (0)1 = =Уо !Рзв+Ри+Рва!Уо. (58) Отсюда Рзв + Рзг + Ры = 1 ° (59) Ав= 2рыВв ~+2Р Ввй (61) или 1 = 2рогЪ'+ 2рзвзз 1 = 2рзгРгв .+ 2Рвз Озв + 1зг).
(62) Равенство нулю третьей производной даст У',о — 1Р„и',"(0) +Р„й,"'(0)+Р и',"(0)! = — дуо г дго = 4г(Уо) + Ав (Уо) д' — ~ЗрмВг(Уо)+Зрвзз), (0) — '.+ + ЗР„Вон (А)+ Зр , "(0) Ъ~ =0. (63) Далее, 'Рз (0) = Уо 1Р, л, (0) + Р лв (0)+- Р (вз (0)! = = Ав (Уо) — !2рзгВ1 (Уо) + 2рвзВв ((о)!. (60) Чтобы у,"(О) обращалась в нуль при произвольной у, необходимо и достаточно, чтобы 295 9 4) метод юнга — куттл Но 2)2(/2)=уъ+р21)21(Ь) и 2),"()2)=0. Далее. 2)з(й) =уз~-~21)21()))+ -(-рзз)22()2) и, следовательно, ), (0) = р„д'„'(0) = 2р„В7) (7,). (64) Поэтому равенство (63) можно записать в виде —, (УД 1 А (У ~ДУв = ЗРи В)1 ' (Уо) + ЗРвзВЗ1 ) (Л) +- 6РьфввВ7) Оз) у (65) Оно может выполняться для произвольных 7' только в том случае, когда Р) В) =аъА1, Въ )21 (68) и равенство (66) переходит в 1 Р (69) Равенства (68) и (61) показывают, что операторы А, и В, также и) отличаются лишь постоянным множителем.
Это возможно лишь прн условии аз = )221 + Рзв. (70) При этом Ввз) = азА1. В силу (71), (68), (37) и (15) мы получим из (67): Аз = (Зрзъаз + Зрвзъзв) Ав (71) (72) или в 2 1 Рмдз+ Рззлз= 3 ° (73) Приравняв четвертую производную нулю и использовав (68) и (71), мы получим равенство Ав(72) -+ЗА)(гго) А)(д )+Аз(Уо) ду +А1(го)(ду) =4р„,а)А 17 )+4р зазАъ()з).+24рм(зззссзА)(Уо)згзА)(д )+ -+ )ирзвРм)22А2(уо) ° ( ) ду ' А, = бръз))22В), а)) -гз) -гз) Аз = ЗрззВв + ЗрззВ2 . Из равенства (66) следует, что операторы А, и В, могут отличаться и) только постоянным множителем.
Поэтому Его, вообще говоря, удовлетворить не удастся. так как в левой части содержится член А (73)!! — 3), а в правой такого члена нет, Итак, если подобрать величины рзэ рзэ, Рзз "2 яз рзэ рзэ (332 удовлетворяющими системе Лэ = !ЭЗЭ ВЗ ГЗЭ + Гэз' Рзэ+ Рзз-т-Рзз= 1 1 Рззэз +Рзз~з (75) 2 3 1 Р .+-Р.Р.= 3.
1 Рзэгыоз б то получим формулу Рунге — Кутта, с порядком погрешности на одном шаге лэ. Последние три равенства (75) при выбранных аз и аэ можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно рзз н р,з. Для совместности втой системы необходимо и достаточно обращение в нуль определителя аэ аэ 1 3 аэ аз эз аз (76) 1 0 аээзэ б Отсюда ! аэ 2 (77) ! 3 или озвэ (сэз — аз) — гзэкэ (2 — Заз) = О. (78) Последнее иа УРавнений (75) показывает, что Рэ, Ф О, аз чь О, 832 -ь О, Повтому мы можем поделить (78) на аз. Это даст яз (яз — аз) — !!муз (2 — Заэ) = О.
(79) Итак, мы сначала должны подобрать аэ, аз, ~)зэ, рээ, рзз так, чтобы они удовлетворяли системе ВЗ Г31 + ГЗЗ аз (лэ — ай — ()зяте (2 — Заз) = О, ) (80) 296 пгивлижвнныв митоды гашения овыкноввнных кгавнений !гл. 9 41 м ет од Рун Г е — кугтА и затем найти Р„, Р„, Рм последовательным исключением из си- стемы (81) 1 Рзгаг+Рззвз= 2 ° Рз«+ Рзг+ Ры = 1 ° рассмотрим некоторые варианты, а) Возьмем О~=()2«= —, аз=1. Тогда третье из уравнений(80) 1 2«2 3 даст (332=2.
Второе уравнение (80) дает рз«= — 1. Затем последо- ! 2 1 вательно находим р33, р„= —, р„= —. Получаем прибли- б' 3' б' женную формулу Ьуо —. (13«+ 4122+»«31, 1 0 б (82) где «,=«»«*,, »»; «,=«»(33 « —,«. «2«- —,«); ~ 1 1 333= 337(хо(- 33 Уо 33«+ 2ег). (83) Уо 4~~+4 3 (84) где »3«=Ч(хо Уо)* 332=И(хо + 3" Уо+ 3 "«)» 1 1 2 2 Йз= Й.» (ХО( — Й, .УО + Йг), 3 ' 3 (85) 1 3 3 в) Возьмем аз =рг«= —, а,= —.
При этом (332= 4, рз«=0, 2' 4 ! 2 Рзв= о Ры= 3 ° Рз«= о ° йуо — 14е в+. 3ег+ 2»3«1 * ! о о (86) где »«« = »вг (хо Уо)1»вг = »«» (хо + 2 И 3 3 Ев = Ю(ХО .+ 4 " Уо.+ 4 !22) В последнем случае левая часть (74) будет лищь на член А«(7 ) ( — ) ° ау Уо+ 2)' (87) отличаться от правой 1 2 2 б) Возьмем аз= рг«= —, аз= —. При этом рзг= —, (33«=0, 3' 1 ры —— -'-, р32=0, р„= —, Получаем вторую формулу 4' 298 пвнвлнжвнныв матовы ввшвния овыкноввнных узавнвний [гл. 9 Остаточный член выражается по общей формуле >ьь ь» (ь) „~~т~(а) (88) Мы не бУдем алесь выписывать выРажениЯ дла Уз>>т>(й) ввидУ его громоздкости. 4-й случай: а=4.
Имеем: ьгь ( ) уо 1Р„+Р„+Раз+ Р„)Уо (89) (90) Приравняв нулю третью производную. получим: Аз(ььо) + А> (ььо) д ЗРьзВаа"'(ььо) + ЗрьзВь '(аьо) -1- +-броарззВ>'(ьо) д т- ЗрыВь (Уо)-+ + бр~фзВ> '(Я вЂ” о 4-бр~иВ~> '(Я вЂ” о. — >з> дУо дуо ду ду ' (93) Отсюда А,= ЗР.,В>ь>+-Зрь>В>>+ ЗР.,Вть>, — „Р> Аь = 6рьз~ззаа> '+ бритой; + бры~ьзВ> . >з> (94) (95) Наконец, приравнивание нулю четвертой .производной ласт Аз(ьао)+ЗА>(ьао)А>(д )+Аз(ьао) д +А> Уо)(ду) = 4рьз В(ь > (аьо) -1- 4рьз Вз з> Цо) -1- 4рььВ~ь > (Я + -(-24рьз~)гаВ>' (ЯВ> ( д ) т. 24рь>рьаВ>>ж(Я В>"'~ д )+- +24рифьзВ> (Уо) В> ( — ~)-4-12рырзаВз (Уо) — о+ >з> >ь> l дхо 1 — >з> дуо ~ду) ду ~- 12ры~)ьз Вз (Уо) — + 12рыДз Вз (Я вЂ” ' + — й> дУо — й> дУо ду ду -)-24рььрмрззВ> (уо>( '~~) ° (96) Отсюда ~р,(0) =0 тогда и только тогла, когда Ры + Рьз + Раз + Рьь Далее ц, '(0) =у" — [р й, "(0) -1-р й, "(0)-з-рый, '(0) = = А>(ььо) 2~РьзВ> '(ььо) +РьзВ> (аьо) +.РыВ> > (>о)3.
(91) Отсюда — А,=рдВ> +рыВ>'+рыВ, . 1 — — й> — >з> — <ь> (92) 9 41 метод Рунгв — кутта В (96) 1-в — ) входит множителем только в последние члены слева 1' дуз 12 ду и справа. Поэтому А! — — 24Р4АД2 В7!. (97) Равенство (97) показывает, что А, и оь (а! ным множителем. Это возможно лишь в «12 г21' отличаются лишь постоян- том случае, когда (98) Тогда а (97) перехолит в — !а! В, =ааА,, (99) 1 Р 'рыр (100) Из (99) и (95) следует, что А, и В«ь" также отличаются лишь постоянным множителем. При этом должно быть ~3 1331+ гзз (101) и (102) Поэтому (95) переходит в 1 Р43133~%2+ Р44!342аа+ Р44134аа = 1, ° Аналогично из (92) получим: =1 +(). +1 (103) (104) Оь 1 (105) 1 Рысач + Рьз«"з + Рьа«44 = 2 ° (106) Равенство (94) даст а 3 2 1 раааа+Раааа+ Рыаь = З ° (107) Из равенства (96) мы получаем еще следующие два соотношения: 1 Рьзязьаааз+ РырьР~аь+ РДьзазаь = 8 ° (109) 2 а а ! Рьз«!)аяза+ Рад!зава+ Ры«!142«43 = !2 ° (110) Обращение в нуль пятой производном мы обеспечить в нашем случае не можем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
