Том 2 (1160084), страница 42
Текст из файла (страница 42)
13. Используя обозначения 5 9, получить следующую оценку: 14. Провести геометрический анализ влияния изменения козффициентов системы на ее решение. ЛИТЕРАТУРА 1. В. Н. Фалдеева, Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, 195!. 2. В ей л а н д, Представление векового уравнения в зиле многочлена, УМН, т. 2, вып. 4, 1947. 3, Х а усхоллер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956. 4. М. Л. Бр олск ий, Вероятностные оценки погрешностей при определении собственных значений и собственных векторов варьируЮщЕйся матрицы, УМН, т.
7, вып. 5, 1952, 5. И, М. Стесни, Вычисление собственных значений при помощи непрерывных лробей, УМН, т. 9, вып, 2, 1954, 6. М. д. Красносельский, О некоторых приемах приближенного вычисления собственных значений и собственных векторов положительно определенной матрицы, УМН, т. 11, вып. 3, 1956.
7. О. р оглу!Не, Решение линейных алгебраических уравнений может быть интересным, Ви!!. Ашег. Майн Бос., т. 59, Ьй 64 (1953!. 8. К. А. Семендяев, О нахождении собственных значений и инвариантных многообразий матриц посредством итераций, ПММ, 7, 1943. ГЛАВА 9 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В 1. Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения встречаются довольно часто в различных прикладных вопросах.
При этом во многих случаях имеют дело с уравнениями, общее решение которых не выражается в квадратурах. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи. С некоторыми из таких методов встречаются уже при изучении общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений изучается вопроса возможности представления решения уравнения в виде ряда у (х) = аз + а, (х — х,) + а, (х — х,)' +...
+ а„(х — хв)" +... (1) или же более общего ряда у(х) =(х — х,)'(а,+а,(х — хо)+аа(х — ха) + ... +а„(х — х„)" + ...), (2) где в — некоторое число, не обязательно целое и положительное. Если решение можне представить в виде (1) или (2) и если удается фактически найти достаточно большое количество коэффициентов ам а,, ..., а„так, что абсолютная величина суммы остальных членов, т. е.
ав (х — хо)в или соответственно 1х — х, )' ~ ~~~~ аа (х — х,)" 1В-чь1 меньше, чем заданная нам допустимая погрешность, то соответствующий отрезок ряда может служить приближенным представлением искомого решения, Таким же образом можно использовать тригонометрические ряды или ряды по другим ортогональным функциям. 260 пгивлижвнныв катоды гвшвния овыкноввнных гвавнвний (гл. 9 При доказательстве существования решения дифференциального уравнения у' = У(х, у) (4) с начальным условием у(хз)=уз (или же системы таких уравнений) часто используют метод последовательных приближений Пикара.
При этом точное решение получается как предел последовательности у,(х), у,(х), ..., у (х).. (5) у„(х)=уз+ ~ У(х,у„,(х))Нх (и=1, 2, ...). (6) Процесс послеловательных приближений Пикара схолится при выполнении таких условий: 1. Функция )(х, у) непрерывна в области гс = Й х — хз~ ( а, 1У вЂ” Уз~ (И. 2. функция у(х, у) удовлетворяет в )с условию Липшица по у.
(У(х, у) — Дх, у) ! (1.(у — у1. Здесь с — постоянная, не зависящая от х, у и у, а точки (х, г) и (х, у) — произвольные точки области й. При выполнении этих условий у„(х) равномерно сходится к функьч цииу(х) на (хз — И, х,+61, гле А = ш)п(а, — ) и А(=зцр)~(х, у)(, и н функция у(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4) и начальному условию. Если метод последовательных приближений схолится и может быть фактически осуществлен для достаточно больших и, так что )у„(х) — у(х) ! не превышает заланной нам допустимой погрешности, то мы можем принять у„(х) за приближенное решение задачи. Мы не будем здесь полробно останавливаться на этих методах, достаточно хорошо изложенных в общих курсах.
Методы, которые мы будем изучать, можно разделить на две большие группы. Одни из них дают приближенное решение в виде аналитического выражения, другие — в виде таблицы. Будем называть первую группу метолов аиалилаичесиильи, вторую — численными. Мы начнем изложение с аналитического метода. прелложенного академиком Сергеем Алексеевичем Чаплыгиным. 2 2. Метод С.
А. Чаплыгина 1. Теоремы о дифференциальных неравенствах. Метол Чаплыгина основан на его теореме, которую он назвал теоремой о дифференциальных неравенствах. Приведем доказательство этой теоремы в формулировке, несколько более уточненной по сравнению с данной самим С. А. Чаплыгиным, 26! 6 21 мвтод с.
л. чаплыгина Теорема 1. Пусть функции 7(х, у) и р(х, у) непрерывны е области >З= (хо (х(хо+а; ]у — уо] (Ь] (а ) О, Ь) О) (1) и удовлетворяют условию У(х, у) (Р(х. у). (2) Пусть, далее, у=у(х) и у= У(х> — решения дифференциальных уравнений У=У(х.
у), и =р(х, (у>, (3) проходшцие через точку (хо, уо), определенные при х (х ( 1 а и лежаиеие между уо — Ь и уо+Ь, Тогда если 7(х, у) удовлетворяет в нашей области условию Липшица, то при хо (х (хо+а имеет место неравенство У(х), у(х). Более того, если в некоторой точке х, ) х имеет место неравенство (7(х,) у(х,), то У(х) ) у(х) при всех х~(х,, хо-+а1. Для доказательства рассмотрим и' — у'= р(х. (7> — У(х, у> (4) и обозначим Е/ — у= — г. Тогда для г получим следующее дифференциальное уравнение: г =Р(х, (7> — У(х, (7 — ). (б) Рассматривая здесь У как известную функцию х и обозначая Р(х, и> — 7(х, (7 — г>=д(х, г), (6) получим, что г удовлетворяет дифференциальному уравнению г'= и(х, г) (7) и начальному условию г(хо) =О.
Запишем уравнение (7) в виде г' — д(х. 0) =й(х, г) — й(х, 0). (8) На основании (2) имеем: д(х. О>=р(х, (7> — 7(х, и>) о. Так как 7(х, у) удовлетворяет условию Липшица, то ]й(х, г) — й(х, 0)] =]р(х, У) — 7(х, У вЂ” г) — р(х, У)+ +У(х. У)]=]7(х, (>) — 7(х, У вЂ” г)/ (Б]г]. (10) Таким образом, — Б] г] (г' — а.(х, 0) (Е]г]. (11) Предположим, что вопреки утверждению теоремы в некоторой точке х1 отрезка 1хо, хо+а] У(х ) (у(х,). Так как (У(хо> =у(хо), то на отрезке 1хо, х,] найдутся точки.
где У(х) =у(х). Не уменьшая 262 пгивлижвнныв катоды ввшвния овыкноввнных явлвнвний [гл. 9 ьг ( г' — е.(х, 0) ( — ьг. г' — (.г = х (х) )~ я (х, 0) )~ 0 (12) Отсюда (13) и для всех точек [хр, х,! г= / еь(х-%р(~)Ж) [ ев(х ')у(Р, 0)г[()~0. (14) что противоречит нашему предположению. Итак. мы доказали, что на всем отрезке [хз. хе+и[ У(х);В у(х) или г)~0. Может оказаться. что г = — 0 при х ~ [хе, ха+а[.
Тогда У (х) = — у(х), п(х. 0)=— 0 и Р(х, У)=т(х, (У). Это может быть даже тогда, когда ~(х, у) совпадает с гт(х, у) не всюду в области )с. Так, если Р(х, у) =1. У(х, у)=1 — (у — х)', (15) то гт (х, у) > Г(х, у) (16) всюду, за исключением точек, лежащих на прямой у=х.
Но диф- ференциальные уравнения (17) имеют совпадающее решение у=У=х, удовлетворяющее начальному условию у(0) = У(0) = О. Предположим теперь, что имеется такая точка х,~[хе, хе+а!. в которой У(х,) > у(х,). Покажем тогда, что на всем отрезке [х,, хе-[ — а! будет иметь место неравенство (У(х) >у(х).
Если бы это было не так, то нашлась бы такая точка ха~ [х,, хе+а[, что (l(хз)=у(хз) и У(х) >у(х) на (хн х,). Обозначим через х' ближайшую к х, точку отрезка [хз, х,[, в которой У[х')=у[х'). На интервале (х', хз) неравенство (11) может быть записано в виде — бг (г' — д(х, 0) < Е,г. (18) Отсюда г'-[-[.г= р(х) ~;л(х, 0) > 0 (! 9) нли х х г= [ е-с~ -и)р(1) г(г > ~ е-с1-од(Р.
0)<й ~~О, (20) хо общности, мы можем предположить, что эта точка единственная и что она совпадает с хе. Тогда У(хо) =у(хо) и У(х) (у(х) для всех точек (хр. х,[. На отрезке [ха, х,! неравенство (11) можно записать в виде 263 мвтод о. а. чаплыгина В силу нашего предположения, что а(ха) =О, будем иметь: е-~1е-ой (1, 0)И= 0 вв или д(х, 0)= — 0 пРи х~ (х,'„ха), так как е-~<в-О~ О. Но тогда правая часть неравенства (18) даст я' — (.г=ф(х) (8'(х, 0)жО, х~~х', ха], (22) или г= ~ е~1 -Оф(1)иг ( 1 е~( -')а(1, 0)йг— = О, (28) а зто противоречит нашему предположению.
что г(х,) ) О. Теорема доказана полностью. Сделаем несколько замечаний к доказанной теореме. 1. Если вместо (2) прелположить, что гч(х, у) )у(х, у) (24) в рассматриваемой области (что делал С. А. Чаплыгин), то при всех х) хе будет У)у. Йействительно, в силу неравенства (24) будем иметь У'(хе) ) у'(хе). Отсюда У(х) ) у(х) при всех х ' хе и достаточно близких к хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
