Том 2 (1160084), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим еще один способ получения Л,, Лз, ..., ), Пусть Л, и х, уже найдены. Рассмотрим произвольный вектор х и образуем у =х — (х, х,) х,. (56) Этот вектор ортогонален х,. Действительно, (хи у) =(х, х ) — (х, х,)(х,, х,) = О, (57) у = азх, + а,ха+ ... + а„х„ (58) А у=йзЛзхз+-йзЛзхз-(- ... +-йиЛихч к- к- к— к— (59) Таким образом, если )Лз() )Л<! при !) 3, то к — к- (Ак+'у)з А у=азЛзхз,, =Лз. (А у)з (60) Найдя Лз и хз, можно искать следующее собственное значение и следующий собственный вектор, взяв за начальный вектор: .я=х — (х, х,) х,— (х, хз) хз (6! ) и т. д.
Нужно только помнить, что при этом в связи с ошибками округления при итерациях будут появляться компоненты собственных векторов, соответствующих наибольшим по модулю собственным значениям матрицы А. Поэтому время от времени необходимо исключать такие компоненты по формулам (56), (61) или им подобным, Промежуточные собственные значения можно также определить, если рассмотреть вместо матрицы А матрицу А — (з! или р( — А. где р — соответствующим образом подобранное число. В частности, если (з) Лг и А — положительно определенная матрица.
то итерация с матрицей р( — А даст наименьшее собственное значение. Можно использовать и многочлены более высокой степени относительно матрицы А, так как (х,, х,) = Цх,Цз = 1. Поэтому разложение у по векторам х; имеет вид 236 вычислении совстввнных значвний и ввктогов млтвиц (гл. 8 П р и и е р. Проиллюстрируем теперь наши рассуждения простым примером. Пусть матрица А имеет вид 2 — 1 Π— 1 2 — 1 (62) Π— 1 2 ΠΠ— 1 За начальный вектор примем х=(1, — 1, 1, — 1).
Итерации дадут: Π— 1 2 — ! 2 — 1 ΠΠΠΠ— 1 2 — 1 2 — 1 О Отношения соответствующих компонент восьмой и седьмой итераций последовательно равны 3,61702; 3,61842; 3,61842; 3,61702. Они уже достаточно близки.
Более точное приближение для собственного значения мы получим, если поделим скалярный квадрат вектора, полученного при восьмой итерации, на скалярное произведение векторов, полученных при седьмой и восьмой итерациях. В результате получим: )ч —— 3,61804. (63) Соответствующий нормированный собственный вектор будет иметь вид х, = (0,37182; — 0,60147; 0,60147; — 0,37182). (64) При этом оказывается, что Ах, — Лгх! = ( — 0,000147; — 0,000098; 0,000098; 0,000147), (65) 1 3 1О 35 125 450 1 625 5 875 21 250 — 1 — 4 — 15 — 55 — 200 — 725 — 2 625 — 9 5ОΠ— 34375 ΠΠ— 1 2 ! 4 15 55 ЗЮ 725 2 625 9 500 34 375 — ! — 3 — 1Π— 35 — 125 — 450 — ! 525 — 5 875 — 21 250 9 71 итвэлционньш мвтоды отыскания совстввнных значении 237 и поправка 3 по формуле (14) настоящего параграфа примет вид 3 = — (в), х() = — 0,000008.
(66) 0,37182 0,60147 — 0,60147 0,37182 — 0,60147 0,73628 0,26372 — 0,16302 0,60147 0,26372 0,73628 0,1Я02 — 0,37182 — 0,1Я02 — 0,16302 0,89922 1 3,61815 0,00007 0,00008 0,00012 ~ 0,00007 0,81194 — 0,25039 — 0,46329 0,00008 — 0,25039 1,68884 — 0,80775 0,00012 — 0,46329 — О,Ю775 1,88119 Расхождения с теоретическими результатами получились за счет ошибок округления. Теперь мы должны отыскивать собственные значения матрицы третьего порядка: 0,81194 — 0,25039 — О:,463291 А = — 0,25039 1,68884 — 0,80775 1 — 0,46329 — 0,80775 1,88119 (69) Получим их итерационным способом, начиная с вектора х=(0, О, 1).
Итерированные векторы будут иметь следующие компоненты: 19 97 91 042 1 2 Составим теперь определители (33) для нашего случая. Получим: 5875 — 9500 ( 78 2 . (в) ! 1625 — 2625 (э)в — — ) 21250 ~4375 ~ — — — 1 5; р(в = '(5875 9500! = — 15625. (67) Остальные определители ничего нового не добавят. Отношение рвв(р(в (в) (в) в данном случае равно рп) ( — — 5 и )., = 1,38196. ОпРеделители 7(в)в в данном слУчае все Равны нУлю.
ПоэтомУ дла отыскания следующих собственных значений применим преобразование матрицы А с помощью матрицы В (46). Вычисления дают: 238 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввктовов млтвиц (гл. 8 Отношения соответствующих компонент последних двух векторов равны последовательно 2,311; 2,687; 2,556. Приближенное значение Ля будем находить, используя скалярные произведения так же, как и в предыдущем случае. При этом получим: Ла = 2,6003. 70 ( ) Обращаем внимание на то, что у нас получилось другое значение Л„, чем в первом случае. В данном случае это произошло благодаря тому, что начальный вектор при итерации с помощью матрицы А оказался ортогональным к собственному вектору х,.
Таким образом, фактически (68) дает не Лз, а Ла. Точные значения собственных значений матрицы А с шестью десятичными змаками таковы: Л, = 3,6! 8034, Ла = 2,618034, Лз — — 1,38! 966, Ла = 0,381966. 8, Отыскание собствемных значений и собственных векторов иеснмметрическнх матриц, имеющих простую структуру. Обобщим теперь полученные лля симметрических матриц результаты на более общий случай, Предварительно напомним некоторые факты из линейной алгебры.
Пусть А — произвольная матрица с действительными или комплексными элемемтами авь Матрица А*, элементы которой и',» удовлетворяют условиям а,'.„ = а а (трамспомирование и комплексная сопряженность), называется сопряженной по отношению к А. Если А = А", то матрица А называется эржилговой. Эрмитова матрица имеет простую структуру и все ее собственные значения действительны. Систему' собственных векторов эрмитовой матрицы можно считать ортонормироваммой в соответствующем комплексном векторном л-мерном пространстве й. Вследствие этого на зрмитовы матрицы можно перенести с необходимыми вилоизменениями результаты. полученные для симметрических матриц.
Рассмотрим связь между инвариантными многообразиями матрицы А и сопряженной матрицы А'. Пусть некоторое лимейное многообразие М инвариантно относительно А, т. е. из х~ М следует Ах~ М. Рассмотрим совокупность М векторов у~)с, ортогональных к каждому вектору х~ М. Если размерность М меньше л, то множество М не пусто. Очевидно, М в свою очередь является линейным ммогообразием. Покажем, что это многообразие инвариантно относительно А". действительно, если х — произвольный вектор из М, то для любого вектора у~ М имеет место (Ах, у) = О. Но (Ах, у) = =(х, А"у) и, следовательно, А*у~ М, что и требовалось доказать. Пусть матрица А имеет простую структуру и х,, ха, ..., х„— ее линейно независимые собственмые векторы, соответствующие собствемным значениям Лгь Лз...., Л„, Линейное многообразие, построенное на векторах х,, х, ..., х„ „ хь„, ..., х„, будет иметь раз- ф 71 итвввциоииыз матоды отысклиия совстввииых зиачаиий 239 мерность и — 1.
Следовательно, в й имеется вектор уь, ортогоиальиый этому многообразию. Как явствует из предыдущего, уь будет являться собственным вектором А'. При этом у„ие может быть ортогоиальиым х„. Следовательио, умножив его иа подходящий множитель, можно достигиуть того, что (ха, уь)=1. Проведя эти рассуждеиии для всех и= 1, 2, ..., и, мы придем к выводу, что А' имеет простую структуру и собственные векторы А и А' можно выбрать так, что оии будут образовывать биортоиормироваииую систему, т.
е. (хо уе) = ьО. Отметим еще, что если А и А' имеют общий собственный вектор х ~ О, то собственные зиачеиия, которым соответствует этот собственный вектор. будут комплексно сопряжены. Действительно, если Ах = Лх и А*х = 1ьх, то Л(х, х) =(Ах, х) =(х, А'х) = р.(х, х), (71) откуда и следует утверждение. Матрицу А называют нормальной, если оиа перестаиовочиа с своей сопряжеииой АА'=А'А, Перестаиовочиые матрицы А и В всегда имеют общий собствеииый вектор.
Действительно, если Ах = Лх, х+ О, то АВьх=ЛВ"х. Начиная с некоторого р. линейное многор-г образие М, построенное иа векторах х, Вх, ..., Вв х, будет инвариаитио относительно В. Следовательно, в этом многообразии будет существовать собственный вектор В: Ву = ру. Но любой вектор этого многообразия является собственным для А. Тем самым утверждение доказано. В частности, если А — нормальная матрица, то для А и А* будет иметься общий собственный вектор. Как следует из предыдущего, собствеииые зиачеииз, которым соответствует этот общий собственный вектор, будут комплексно сопряжеиы. Обозиачим иайденный таким образом общий собственный вектор А и А' через х, и пусть Ах,=Л,х,. Тогда А'х,=Л,х,.
Рассмотрим лииейиое миогообразие М векторов. ортогоиальиых к х,. Как следует из предыдущего, это линейное многообразие будет инвариантно как отиосительио А, так и относительно А*. Такими же рассуждениями, как и ранее. придем к выводу, что в М будет существовать общий собственный вектор х, для А и А*. При этом, если Аха=Л,х,, то А'ха=Леха. Очевидца, (х,, х,) =О. Затем можно провести такие же рассуждения в линейном многообразии векторов, ортогоиальиых к х, и х,, и т. д. В копие концов, мы придем к заключению, что нормальная матрица имеет полную ортонормированнуа систему собетвеннглх векторов.
Эти векгоры являются также собственными векторами А*, причем соответствующие собственные значения комплексно сопряжены. Можно показать, что наличие полной ортонормированной системы собственных векторов является необходимым и достаточным условием нормальности матрицы. Нормальная матрица будет являться эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны. Из изложенного видно, что и для нормальных матриц можно провести рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены для симметрических матриц, При отыскании модулей собственных значений матрицы простой структуры, не являющейся нормальной, может оказаться целесообразным наряду с векторами Акх образовы„квать векторы А" у и рассматривать их скалярное произведение.
При этом если х= а,х,+аах,+- ... +а„х„, у= р уг+рауа+ ° +() у где (хк( и (ук( образуют биортогональную систему векторов, то (Акх, А" у)=аД(Л,(~+а() (Л,( + ... +а„Ц(Л„!' . (73) (72) Если матрица А имеет несколько равных или близких корней, то это не вызывает никаких принципиальных затруднений.
Так, если для матрицы А простой структуры Л, = Л,, то разложение (2) примет вид А е=агЛгхг+азЛгхз+ааХзхз-(- ° .. +аиЛ„х„. (74) к — к- к — к— к— Таким образом, при (Л,() (Лг( ((= 3, 4, ..., л) снова будем иметь: Л*, =(А"+' ) (75) (Ак а)г При этом один из собственных векторов, соответствующих собственному значению Л,, будет приближенно равен Ако при достаточно большом л. Второй собственный вектор, соответствующий собственному значению Л,, можно получить, если взять другой начальный вектор. Однако неизбежные ошибки округления будут изменять компоненты Ако по напРавлению вектоРов х, и ха и тем самым замедлять сходимость. Медленная сходимость будет наблюдаться также и при наличии близких корней. Если матрица имеет два равных по модулю, но различных корня, превышающих по абсолютной величине все остальные корни, то сходимости вообще наблюдатьси не будет.
Во всех трех случаях мы сможем при больших й написать приближенные равенства: А о а1Лгхг+- ааЛзха к в к в к- к г к~к кэя А "о а,Лг хк+-аа)з ха. (76) 240 вычислвнив совстввнных значвний и ввктогов млтгиц (гл. 8 ~ 71 итвгационныв мвтоды отыскания совствянных знлчвний 241 Таким образом, между тремя векторами А о, А + о и А о будет В- а+2- Ве2- иметь место приближенная линейная зависимость. Нетрудно проверить.
что эта линейная зависимость может быть записана в виде А + о — ()ч+).2) А + о+)ч),2А о= О. (77) Следовательно, если в процессе вычислений мы обнаружим, что век- торы А о, А + о и Аа+ о связаны некоторым линейным соотноше- нием вида Аа+ о+рА + о+оА о= О, то )ч и ~ будут удовлетворять квадратному уравнению з2 +рл+э О (78) (79) фактически квадратное уравнение можно получить, если рассмотреть определители 1 еа, юла =0 (г, з=1, 2, ..., и; гФз; оа1=(Аао),).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
