Том 2 (1160084), страница 34
Текст из файла (страница 34)
если будут известны Як. Но Як равняется следу матрицы Ак. Поэтому, вычислив А" (Й= 1, 2, ..., Л) и найдя их следы, мы можем найти характеристический многочлен. Процесс довольно трудоемкий, так как приходится производить большое количество умножений матриц. )Л. К. Фаддеев предложил усовершенствование метода Леверрье. Оно состоит в следующем, Рассмотрим матрицу С(Л). присоединенную для матрицы А — Лг. При этом С(),)(А — Лl) = 1Э(Л) 3, (6) где О(Л) — характеристический многочлен матрицы А (1). Матрицу С (Л) можно записать в виде С(Л) =С,Л"-'+С,Л" а+...
+ С„,Л+С„,. где С» — квадратные матрицы порядка и, не зависящие от Л. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л в правой и левой Ок+Ок- Рг+Ок-ЗРЕ+ ° ° ° +~кРк-г+БРк=0 (Й (л) (4) Отсюда получаем: 210 вычислвнии совстввнных знлчвний и виктовов млтгиц [гл. 8 частях (6) и учитывая (7). получим: Се ( 1) У С СоА = ( — 1)» р1! с, — с,А = ( — 1)"-'р,г, (8) С„,— С„,А=( — 1)" 'р„,(. 4 — ( 1)чр У Отсюда получим: с,=( — 1)"-'к, с, = с,А.+( — 1)"-'р,(= ( П"-' [А+. рд, (10) Так как р, определяется следом матрицы А и, следовательно, известно, то мы сможем найти С,. Умножая равенство (10) на А и беря след от обеих частей равенства (мы булем обозначать след матрицы В через Бр(В)), найдем в силу второго из равенств (5): Бр (С,А) = ( — 1)" [Бр (А')+р,Бр (А)! = = ( — 1)" ' [Я~ -+р,Б,! = ( — 1)" 2р,.
(11) Это нам позволит найти р,. Затем мы находим С, при помощи третьего из равенств (8) и умножая С, на А, найдем: Бр(СаА)=Бр(С,Аа) +( — 1)" раБр(А) =( — 1)" '[Бр(Аа)+ + р,Бр (А )+раБр (А)! = ( — 1) [Яз+рА+раЬ1! =( — 1)" Бра. (12) Продолжая вти рассуждения, мы придем в конце концов к равенству (13) Бр (С„,А) = ( — 1)" пр„. Последнее из уравнений (8) будет служить лля контроля правильности вычислений.
В процессе вычислений мы найдем определитель матрицы А, равный ( — 1)"р„, присоединенную к А матрицу, равную ( — 1)"С„ ,, а следовательно и обратную матрицу А '. Если Лг — корень характеристического многочлена А и С (Л;) чь О, то столбцы С ()ч) являются собственными векторами А, так как (А — )ч!) С (Лг) = В (Л;) 1 = О. (14) д 5! овзог спосовов полгчвния хлвактввистичяского многочлвнл 2!1 2. Метод окаймления. Если записать матрицу А в виде А=Ан=(С К ).
(16) где А„ , — квадратная матрица. состоягцая из элементов первых н — ! строк и столбцов А, то матрица С(Л), о которой говорилось ранее, может быть представлена так: =(„ (16) где многочлен 0„,(Л) является характеристическим для А„, и разбиение (1б) на клетки соответствует разбиению (!5). В силу равенства (А„— ЛУ„) С (Л) = 0 (Л) У (17) будем иметь: (А„, — Л7„,) ~„, (Л) + б„, 0„, (Л = О, С„,й„, (Л) + (И„, — Л) 0„, (Л) = 0 (Л). (18) Таким образом, если известен многочлен 0„, (Л), первое из равенств (18) даст нам возможность найти п„,(Л), а второе из равенств даст возможность найти 0(Л).
Этими рассуждениями можно воспользоваться для отыскания характеристического многочлена 0(Л), если. начиная с 0а(Л), последовательно находить все 0г(Л). 3. Эскалаторный метод. Приведем еше один метод, позволяющий использовать собственные значения и собственные векторы матрицы А„,, для получения собственных значений и собственных векторов матрицы (15). Чтобы избежать разбора возможных исключительных случаев и не слишком усложнять изложение, предположим, что матрица А„, симметрическая и все ее собственные значения различны. Обозначим собственные значения А„, через Лр 1(Л2СЛВС ' ' СЛн-1 н соответствуюшие им ортонормированные собственные векторы— через х, = (хн, хан ..., хн, з) (! = 1, 2, ..., л — 1). Это наверняка произойдет, если )„. — простой корень 0(Л).
В случае, если Лг — кратный корень 0(Л), для получения собственных векторов может потребоваться переход от С(Л) к производным ее по Л. Метод Фаддеева также требует большого числа операций, но авто он дает возможность кроме характеристического многочлена находить еще ряд величин. 212 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввктогов млтяиц (гл. 8 При этом (19) А„,Х= ХЛ, 120) Будем предполагать, что в (1б) С„ , получено транспонированием Ь„ ,. Собственный вектор (15) ищем в виде у=( )~ (21) где х — некоторый (и — 1)-мерный вектор-столбец, а г — число. Из равенства Ау = Лу (22) следует: А„,Хг + ГЬ„, = ЛХг, С„,Хх + Н„, г = Лт.
(23) Первое равенство (23) можно записать в виде ХЛг -(- ГЬ„, = ЛХз. ХХ' =У, (24) Так как (25) то из равенства (24) следует: Лг + Х'Ь„ф = Лз (2б) и з=(Л) — Л)-'Х Ь„,Г. (27) Собственный вектор А определяется с точностью до постоянного множителя. Поэтому мы можем выбрать г произвольным числом. Следовательно, (27) лает возможность найти г, если известно л, Значение Л можно найти, воспользовавшись вторым из равенств (23). Подставляя туда вместо л его значение по (27), получим: С„,Х(Л1 — Л) ' Х'Ь„,= Л вЂ” а„, (28) нли (29) Формула (29) показывает, что имеется ровно а собственных значений А. Эти собственные значения расположены следующим образом: одно из них меньше Лм н — 2 расположены между л~ и л,+1 н одно где хп хн Х хеч хза х„ь, х„ьз хь и-1 л,о о...о хин ~ Л О Лз О ...
О о о о ... л, , ~ 51 ОБЗОР спОсОБОВ получения хАРАктеРистическОГО многочленА 213 4. Метод Самувльсона, Запишем матрицу А в виде а11)1 а1, ... агв А а11таФЗ ". Вв /а11 )у~ (8 М1 ав1 1 'гвг ° авв (30) и пусть характеристические многочлены матриц А и М имеют вид 1(Л) =( — «"[Л" +-р,ЛИ '-+ ... +р„,Л+р„~, (3« р(Л)=( — «в ~Л" 1.+1у,ЛИ Я+ ... -1-дв ВЛ+дв Д. (32) Между коэффициентами р, и д, имеют место следующие соотно- шения: р, = — а„+д,, р,= — Ю вЂ” д,а„+да, р,= — сМЗ вЂ” дг ууЗ вЂ” дза„+дз, (33) в-3 в-4 р„,= — ЙМ 5 — дг)УМ 5 —... — дв,ан-+дв „ рв= — 1УМ" 5 — д,)УМ" '5 — ...
— д„~)УЯ вЂ” 1ув,ан. Эти соотношения можно получить, например, следующим образом. Запишем матрицу С(Л), присоединенную к А — ЛУвг), в виде С(Л) = л„, (л) р„, (л) 1' С(Л) =( ). (34) Условие С(Л)( " „, ) =У(Л) 1„ (35) ласт ~Р(Л)(ам — Л)+-ав 1(Л) 3 =ДЛ), р(Л) )У+д„,(Л)(М вЂ” Лу„,) =0. (36) Отсюда д„,(Л) = — Р(Л) УУ(М вЂ” Лув,)-' (37) ср (Л) (а — Л) — 1р (Л) Уг (М вЂ” Л1в 1) ' 5 = У'(Л).
Из (38) и следуют (33). (38) 1) 1в — единичная матрица порядка л. больше чем Лв ,. Так как собственные значения А разделены собственными значениями А„„то последующее их вычисление по тем илн иным формулам предыдущей главы не вызывает затруднений. Такой метод получения собственных значений матрицы А и ее собственных векторов называют эскалаторным. Применим теперь для отыскания коэффициентов да метод Крылова, взяв за начальный вектор гс'. Получим систему уравнений м'" а+г~,т" (2'+ ...
+4„)2'=0. (39) Так как коэффициенты рг являются линейными комбинациями до то их можно определить (не находя дг) по схеме Гаусса без обратного хода (см. з 2 главы 6). Это и осуществляет метод Самуэльсона. 5. Интерполяционный метод. Для интерволяционного метода специальный вид определителя, дающего характеристический многочлен, не имеет значения. Поэтому мы будем рассматривать произвольный определитель, элементы которого являются многочленами от Л: у„(ц у„(л) ... у,„(л) г.(л У„(л) У„(л) ... г,„(л) (40) у„,(л) у„,(л) ... у„„(л) Пусть степень многочлена /(Л) равна ш. Вычислим определитель (40) при каких-либо т+1 различных значениях )ч и построим соответствующий интерполяционный многочлен.
Этот интерполяционный многочлен будет совпадать с У(Л). Теоретически метод совершенно прост. Практически он может потребовать выполнения большого числа операций. Так как вопросы интерполирования разобраны нами очень подробно, то в детали входить не будем. На этом мы и закончим рассмотрение способов приведения характеристического определителя к многочленному виду. ф 6. Определение границ собственных значений Для того чтобы решить полученное тем или иным способом характеристическое уравнение, желательно иметь представление о расположении его корней. В предыдущей главе мы уже рассматривали подобные вопросы.
Однако характеристический многочлен тесно связан с породившей его матрицей А, и поэтому можно указать ряд методов, более приспособленных к рассматриваемому случаю. Кроме того, часто возникает необходимость знать границы собственных значений и совершенно не требуется характеристический многочлен. В связи с этим в данном параграфе будут рассмотрены методы определения границ собственных значений матрицы, не использующие ее характеристического многочлена в явном виде. Эти методы будут пригодны и для получения границ корней произвольного многочлена, если записать последний в виде характеристического многочлена некоторой матрицы.
Для этого можно использовать, например, нормальную форму Фробениусз. 214 вычисления совстввнных знлчвний и ввктогов млтгиц 1гл. 8 6 6! опгедвлвнив гвлниц совствинных зньчвний 216 1. Случай симметрической матрицы. Рассмотрим Ах =Лх уравнение то (Ах, х) = Л, с, + Леса + ... + Л„са . Таким образом, Л~ (с~ + се + ° ° +- сна) = )., (х, х) < (Ах, х) < ~( Л„(х. х) = Л„(с~ -!- сез -)- ... (4) + с„), (5) (Ах, х) Л« ' Л„, (х, х) (6) Этн неравенства, которые иногда называют принципом Редел, дают некоторое представление о собственных значениях. Если взять в неравенстве (6) в качестве х собственные векторы, соответствующие собственным значениям Л, и Л„, то будут выполнены знаки равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
