Том 2 (1160084), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Н. КРЪ|ЛОВА должен делиться на ф- (Л). Следовательно, минимальный многоео член ф(Л) матрицы А, для которого равенство (40) выполнено при любом векторе се, должен делиться на минимальный многочлен любого вектора се, Итак, мы приходим к выводу, что если в последовательности (36) лг является наибольшим индексом, для которого векторы т-1 со Асо Азсо ° ° " А со (41) линейно независимы, а вектор А~се линейно зависит от них: Щ ш — 1 А со= косо а|Ага ° .. — к,А 1А со (42) то многочлен л +,л"-'+ ... +а,л+, (43) 2 — 1 — 1 3 О О 3 А= (44) — 2 4 1 3 О О 3 Если снова взять се=(1, О, О, О), то получим: Асо=(5 3 1 ° 3) Азсо = (27 24 6 24) Авсо=(!53, 153, 27.
153). (45) Вычисления дают Авсе — 12Азсо+ 45Асо 54со = О. (46) Таким образом, многочлен Лз 12Лз+ 45Л 54 (47) будет минимальным для вектора с„. На этом примере мы убеждаемся не только в том, что векторы со Асе, ..., А~се могут оказаться линейно зависимыми при ш(п, но и в трудностях, которые возникают при обнаружении такой линейной зависимости.
В связи с этим остановимся на методах решения системы (25). будет являться или минимальным многочленом матрицы А или его делителем. Этот многочлен мы и получим по методу й. Н. Крылова. Проиллюстрируем последний случай на следуюШем примере. В качестве матрицы А возьмем 184 вычислвнив совстввнных внлчвний и ввктовов млтвиц [гл. 8 рассмотрим матрицу сш газ ...
с„„! см см...сш Л (48) где А сз — — (сц, сен ..., сш). (49) Задача об отыскании коэффициентов из в (42) эквивалентна задаче об отыскании такой линейной комбинации первых т строк матрицы (48), которая в сумме с (т+1)-» строкой обращает первые и элементов последней в нули. При этом в последнем столбце получится минимальный многочлен вектора с .
Поэтому целесообразно для получения нужной линейной комбинации применить метод исключения Гаусса. Процесс исключения можно осуществлять и до того, как будет получена полная матрица (48). Так, получив (см, сш. ° ° ° сьч). мы можем обратить в нуль какой-либо из элементов сы, прибавив ко второй строке (48) первую, умноженную на подходящий множитель шы. При этом в последнем столбце второй строки будет стоять вместо Л выражение Л-[-тм.
После такого преобразования вторая строка (48) примет вид с',и с*„, ..., с*... О, с', и ..., с*,, Л+ты. (50) Теперь будем умножать на А вектор (с*„...,, с*..., О, с", н..., с",„), Получим вместо прежней третьей строки (48) новую строку: (51) Подберем постоянные глм и таз так, чтобы при прибавлении первой строки (48), умноженной на лган и строки (50), умноженной на ш,, к строке (5!) в последней обратились в нули элементы, стоящие на 1-и и у-и месте, где 1~(' и г*(л+!. Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к строке, все элементы которой, кроме крайнего правого, равны нулю.
Это показывает нам, что мы уже получили линейно зависимые векторы. Правый крайний элемент последней строки и даст нам минимальный многочлен вектора сш Преимущество такого метода исключения на каждом шаге состоит в том, что на А будут умножаться векторы, имеющие все больше и больше нулевых компонент, Благодаря этому сокращается число необходимых операций умножения. Проиллюстрируем это на примере той же матрицы А (44). Возьмем прежний вектор се.
Получив Асз такое же, как и в (45), исключим сво При этом строка (50) примет внд (52) О, 3. 1, 3, Л вЂ” 5. 185. 6 21 мвтод А. н. кРылОВА После следующего умножения на А получим строку 2, 9, 1, 9, Л' — 5Л. (53) Вычтем отсюда первую строку (48)„умноженную на 2, и (52), умноженную на 3. При этом получим: О, О, — 2.
О, Лз — 8Л+!3. (54) Следующее умножение на А даст 2, О, — 8, О, Лз — 8Л'+!ЗЛ. (ббпр Вычтем отсюда первую строку (48), умноженную на 2, и (54), умно- женную на 4. Это даст (56) О О О О Лз 12Ла+ 45Л 54 Отсюда мы заключаем, что минимальным многочленом вектора с„ является Лз 12Лз+ 45Л 54 (5Л Этот же многоччен мы получили и ранее. Многочлен (57) имеет третью степень.
Следовательно, он не совпадает с характеристическим многочленом, имеющим четвертую степень. В данном случае мы можем найти недостающий корень характеристического уравнения. Действительно, след матрицы, т. е. сумма ее диагональных элементов, должен равняться сумме корней характеристического многочлена матрицы. В нашем случае он равен 15. С другой стороны, сумма корней многочлена (57) равна 12. Следовательно, недостающее собственное значение равно 3. Нетрудно видеть, что многочлен (57) можно записать в виде (58) (Л вЂ” З)а (Л вЂ” 6).
Таким образом, собственные значения матрицы А равны Лг=Лз=Лэ — 3; Ла=6. (59) В главе 6 мы уже обращали внимание на важность подсчета числа операций умножения и деления, необходимых для решения задачи. Произведем такой подсчет и для метода Крылова в его последнем варианте. Для образования Аса потребуется па операций умножения (предполагается, что все компоненты сз отличны от нуля).
Исключение одного из сы потРебУет п Умножений и делениЯ. ПоследУющее Умножение полученного вектора на А потребует л(п — 1) опеРаций умножения, а исключение двух элементов потребует 2а — 1 186 вычисления совстввнных знлчвний и вектогов матгнц !гл. 8 умножений и делений. Продолжая эти подсчеты и дальше, мы обнаружим, что всего потребуется пз+-п(а — 1)+ п(п — 2)+ ...
+ п ° ! +и+(п+(а — !))+ +!и+(а — 1)-(- (и — 2)!+ ... ... + !а + (и — 1) + ... + 11 = (60) операций умножения и деления. При этом подсчете мы не учитывали действий с последним столбцом мзтрицы (48). Для этих действий потребуется дополнительно 1+(1+-2)+(1+2+3)+ ... ... +(1т-2+3+ ... +(а — 2))= (61) (62) 2.
Отыскание собственных векторов матрицы. Рассмотрим теперь вопрос об отыскании собственных векторов, Пусть Лг является корнем минимального многочлена, соответствующего вектору со, Если степень этого минимального многочлена равна т, то будем разыскивать собственный вектор хг в виде 1о-! хг = Тгсо+ ТзАсо+ ° ° ° -1- Т мА со. (63) Из Ахо = Лоха (64) следует: ТдАсо+ ТзАзсо+ ° ° ° +Т .4 со= =Л,(Тгсо+Т 4со+ +Т А 'со) нли в силу (42) Т,Асо+ ТзАзсо-1- ° ° ° + Т -гА со — Т„, Х Х (оооо+ "гАсо+ ° ° ° +" -гА со) = = Лг(Тгсо+ ТаАсо+ ' ' + Т~А со) (66) Итак, (ЛгТз+ поТт) со+(ЛгТз+ егТт — Тг) Асо+ го-з ... +(ЛгТт+пго-гТог — Т1о г)А со=О.
(6Т) операций умножения. Таким образом, если все и шагов осуществимы, то метод Крылова раскрытия векового определителя потребует 2пз ! по+ и 2 операций умножения и деления. 187 6 21 катод А. н. кРылОВА Векторы со, Асо..... А~ 'со линейно независимы. Поэтому из (67) следует: Л»Т, +- а,Т„= О, "Та+а»Т Т»=0 (68) Л»Тм+ ав1 -1Т21 — Т21-1 — — О. Отсюда получаем: Т вЂ” = Л» Тв1 + " - Т Тв1 — 2 Л»Т1в-1+ а1в-271в (69) Т,=ЛТ.+аТ . Мы не выписали повторно первое из равенств (68), так как оно является следствием остальных и условия Л» + а,ЛШ '+ ... + а,Л»+ ао — — О. (70) Коэффициент Т„, должен быть отличным от нуля, так как в противном случае все остальные коэффициенты Т» были бы равны нулю, что невозможно, ибо х» является собственным вектором.
Задаваясь каким-либо значением Т ~ 0 (например, 1), мы при помощи равенств (69) последовательно найдем все остальные Т», а следовательно, и вектор х». Так, для матрицы (44) мы получим, если положим Л»=3 и '12 — 1: Т2 — — — 9, Т,=18 (71) и х»=18со 9Асо+Аасо= 3(0 ! 1 1) (72) Нетрудно проверить, что это действительно собственный вектор матрицы (44), соответствующий собственному значению Л;= 3.
Если выбрать другое значение Т ~ О, то новый собственный вектор будет отличаться от предыдущего лишь постоянным множителем. Таким образом, если степень минимального многочлена вектора со равна гл и Л» — произвольный корень этого минимального многочлена, то в линейном множестве, порожденном векторами со, Асо, ..., А~ со. найдется единственный, с точностью до множи1в — 1 теля, собственный вектор хо соответствующий собственному значению Л». Для того чтобы найти другие собственные векторы, соответствующие собственному значению Л», если такие существуют, и собственные векторы, соответствующие собственным значениям Л», не являющимся корнями минимального многочлена вектора со, сле- У дУет выбРать новый начальный вектоР со, не ЯвлЯющийсЯ линейной комбинацией векторов со, Асго ..., А~ »с,„и повторить с ним тот же процесс, который мы проделали с вектором со. Иногда придется повторить это несколько раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
