Том 2 (1160084), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В первом столбце помещена нумерация строк. Столбцы, обозначенные цифрами 1 — 6, предназначены для элементов исходной матрицы А, матриц В! и В, ', промежуточных матриц В, ' ... В, 'В, 'АВгВа...Вг и окончательной матрицы, получающихся В процессе вычислений по методу Данилевского. Последние два столбца — контрольные. Первые шесть строк (1 — 6) в столбцах 1 — 6 использованы для элементов исходной матрицы А.
В столбце В стоят суммы элементов А по строкам. Строки 7 и 8 предназначены для элементов В, и В, '. Ввиду особенностей строения этих матриц, достаточно записать только их пятые строки. В столбцах 1 — 6 седьмой строки записаны элементы пятой строки В, ~, которые просто равны элементам шестой строки матрицы А. В столбцах 1 — 6 восьмой строки помещены элементы пятой строки матрицы В,, равные соответственно Ьм = — — ', лм лю ам ам 1 а„, бы= бы= — бы= бьв= — бы= лм ' лм ' лм ' лм аи ' Элемент а,м на который производится деление, в схеме подчеркнут.
В столбце Я восьмой строки стоит результат деления Я, стоящего в шестой строке, на аг; с обратным знаком. Поэтому он должен равняться сумме остальных элементов этой строки, если заменить Ьы на — 1 (в схеме — 1 показана в скобках). Следующим этапом будет умножение А на Вн Соответствующие элементы сы помещены в строках 9 — 14 и столбцах 1 — 6. При этом в столбце 5 будут помещаться результаты деления элементов ам на а„, или, что то же самое, результаты умножения ам на ды, Остальные элементы сы вычисляются по формулам сы=пы+биФм (1 8) После этого шестая строка примет нужный нам вид.
В столбце з, как и всегда, помещаем суммы элементов строк, а в столбце 5'— результаты вычислений со столбцом строк 1 — 6 по формулам, аналогичным (18). Контроль будет заключаться в том, что сумма столбца В' и столбца 5 должна давать столбец 5. После этого производим умножение на В, ~. Прл этом изменяется только пятая строка определителя АВ,, т. е, строка 13 нашей схемы. Пятая строка определителя В, 'АВ, равна сумме произведений строк АВ, на соответствующие элементы пятой строки Вг Для удобства элементы В, ~, на которые умножаются строки АВ,, выписаны во втором столбце схемы против соответствующих им строк. Результат вычислений помещен в строке 15. Эта строка будет одновременно являться четвертой строкой матрицы Ва Дальнейшие вычисления происходят аналогично. Роль а,ь теперь играет элемент строки 15 и столбца 4.
Четвертая строка Ва 204 вычислвнив совстввнных значений и ввктогов млтгиц (гл. 8 1. Видоизменение метода Данилевского. Рассмотрим теперь одно видоизменение метода Данилевского. Опять лля иллюстрации воспользуемся матрицей четвертого порядка (4). Вместо В, и В, ' возьмем теперь матрицы О О О аы (21) О О ! а — Уа ! ΠΠ— ам!ам О 1 Π— а44!ан О О 1 !/а~ О О О О ! У (22) помещается в строке 16 схемы. Матрица Ва 'Вг АВьВа помещается в строках 17 — 23 и т.
д. В данном случае искомый характеристический многочлен будет иметь вил )) (Л) Лв 40 3641Ль.+ 667,7935Ль — 5789,4581Ла+ + 27697.1638Л' — 69183,1345Л-+ 70279 2484. (19) Интересно отметить, что след матрицы А, который должен равняться коэффициенту при Ла с обратным знаком, в нашем случае равен 40,3641. Совпадение полное. Приведенная нами схема не является лучшей.
Однако она довольно удобна и проста для объяснений. Она применима для матриц, любого порядка, Произведем подсчет числа операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка и по приведенной выше схеме, учитывая применение контроля. Получение В, потребует и-+1 операций деления. Вычисление (и — 1)-го столбца АВ, потребует и — 1 умножений. Получение остальной части АВ, (с включением контрольного столбца) потребует и(и — 1) умножений. Наконец, умножение АВ, на В, ' потребует (и — 1) (и+ 1) умножений.
На следующем шаге, при переходе от В, 'АВг и Ва'В~ 'АВгВа, нам потребуется соответственно и+1 делений, и — 2 умножений, и(и — 2) умножений и (и — 2)(и-1-1) умножений. Так же производится подсчет и дальше. Таким образом. всего будет нужно (и — 1) (и +- 1) +- ((и — 1) -+ -(-(и — 2)+..., -!-2-1-1)(2и-4-2)=(и' — 1)(и-4-1) (20) операций умножения и деления. 205 41 мвтод длнилввского Произведение С, 1 А равно а11 а 12 / аз< "за / ! аз! ам С, 'А= (23) а41 а 42 где (1, )з = 1. 2, 3); (24) ! !!1,4 а(2 — а .. и а(а а,' = — '" (а=1, 2, 3, 4) Умножение С, 'А справа на С, даст а, О а, (1) <1) агг О а44 р) «) авз) О а(24' а(') 1 а( ) а<1) !! а<') 21 С! 'АС, = (25) аз, (1! (1) (а, где (1 = 1, 2, 3, 4; )з = 1, 2), (26) 1,2,3,4).
з ам ла а(га!а <и г=! Следующим шагом будет являться умножение матрицы (25) на ма- трицу Сг', равную 1 О О О 1 О О О 1 О О О Сз '= (27) и справа на матрицу О О О а',4) 1 О О а<',) О ! О О ! а<44) ) (28) Сг = 24) 14 (1) (1) — а(24) <а(!) — а<и) /а(1 ) !)а(',> I а<з О О а О I а, ! 1(1) 1 г<н 1 1 — О <<1) 206 Вычислении сОБстВенных ЗНАчвни!! и ВектОРОВ ИАтвиц [гл. 8 Первое умножение даст нам аг!) а(!3) 0 0 !3!О аа'! 0 0 ага!) аз)„) 1 0 а!') а!') 0 1 41 43 С, 'С 'АС,= (29) гле аД' находятся по формулам, аналогичным (24), а второе умно- жение приведет к а)) 0 0 а!) 11 14 а)3,) 0 0 а!") а' ) 1 0 а)з) з! 34 аз, 0 1 а41 !3) И) С, 'С, 'АС,С = (30) где а!3( находятся по формулам, аналогичным (26).
Если еще раэ повторить этот процесс и использовать матрицы 0 0 а ) 14 0 0 а'",' !О4 0 1 а)й) 3 — а Уа ! О О Гз) ) ) — а!аз))'а',~~) 0 0 1 1/а)!3) 0 0 0 (3 !) то мы придем к 0 0 1 0 Сз Сз С) АС)С1Сз= 0 1 (32) 0 0 и-го порядка мы после и — ! шагов при- (33) О О...1 ач!3 В обшем случае матрицы дем к матрице 0 О О...О а)„ 0 0...0 а!" .а О ... О а!"„') 13) 14 О а!3) 0 аа) 1 а и) 207 4 41 мвтод длнилввского Характеристический многочлен матрицы (33) равен — Л О О...оа10 — Л О...О 0 О 1 — Л. ° .О4"„О и-~ = ( — 1)" Л вЂ” „~, а~".„, ~,Л . (34) 0=0 О О О 1 ащ-Π— Л Заметим, что в качестве С, можно взять произвольную матрицу вида (36) Обозначим через Ге вектор, компоненты которого равны элементам последнего столбца матрицы (35), и через 5„ — матрицу С,Са ...
С„. То~да если А(™ = С„'С„ 1 ... С, 'АС1 ... С„ ,С„, то имеем: АЯч = Я„Аш'. (37) Так как Аэм имеет вид (ЗЗ), то из (37) следует, что каждый столбец Я„получается из предыдущего путем умножения его на матрицу А. Первый столбец З„состоит из компонент вектора ге. Слеловательно, столбцы матрицы Я„состоят соответственно из компонент векторов О, А(0. А (О, . " А (О. (38) Этим можно воспользоваться для отыскания собственных векторов матрицы А, как это было сделано в методе Крылова.
Как в исходном методе Данилевского, так и в данном нами видоизменении можно увеличить точность, выбирая в качестве элемента (. на который производится деление, наибольший по модулю с гФ О. Это вызвало бы лишь добавление одного шага. В то же время удачным выбором последнего столбца (35) возможно уменьшить вычислительную погрешность. Можно показать. что выгодно брать в качестве последнего столбца (35) компоненты вектора, близкого к собственному вектору А, соответствующему наименьшему по модулю собственному значению.
Описанное нами видоизменение метода Данилевского соответствует выбору последнего столбца (35) в виде з08 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввчтогов млтгиц [гл, 8 элемент соответствующей строки или столбца. Так, в видоизменен- ном методе Данилевского можно взять 1,;:О! т1 О::,01( о,:' г тз,: о: — —,;: :г, 0 1 —, .:0 1 (39) где последний столбец Сг совпадает с последним столбцом преобразуемой на данном этапе матрицы, а à — наибольший по модулю элемент этого столбца.
У, и (а — единичные матрицы. Порядок !а должен быть больше, чем число столбцов преобразуемой матрицы, уже приведенных к нормальной форме Фробениуса. В видоизмененном методе Данилевского. так же как и в исхолном, процесс может привести к матрице вида (!.,') (40) гле гч — матрица, имеющая нормальную форму Фробениуса. Это не вызовет никаких дополнительных затруднений, так как харак.теристический многочлен гт является делителем характеристического многочлена матрицы А, а остальную часть последнего характеристического многочлена можно получить, продолжая преобразования матрицы А,, Возможен следующий контроль метода Данилевского. Вместо А будем преобразовывать матрицу (41) гле строка Ь выбрана так, чтобы сумма элементов каждого столбца матрицы (41) была равна 1. Тогда если выбрать Гз так, что сумма его компонент также равна 1, то сумма элементов каждого столбца всех преобразованных матриц будет равна 1.
Видоизмененный способ Данилевского несколько удобнее для вычисления на автоматических вычислительных машинах. ф б. Обзор других способов получения характеристического многочлена В настоящее время известно большое число других способов получения характеристического многочлена, Нет никакой возможности изложить их подробно в нашей книге. Поэтому мы в настоящем параграфе ограничимся лишь кратким обзором некоторых методов, не изложенных ранее. 6 5) ОБ30Р спОсОБОВ пОлУчениЯ хАРАктеРистического мнОГОчленА 209 1.
Метод Леверрье. Обозначим корни характеристического много- члена через ), Л„ .. „ Л„. Тогда если ~А — Л)/=( — 1)" (Л" +РЛ" + ... +Р„,Л+РД, (1) то рк=( — 1)к,'~', Л;,Л,,... Л;. к<к <и«" гк<я (2) Выражения, стоящие в правой части равенства (2), являются симметрическими функциями корней характеристического уравнения. Рассмотрим еще следующие симметрические функции корней: З,=Л",+Л.,"+ ... +Л'„'. Нз курса высшей алгебры известно, что 5к и рк связаны соотно- шениями (формулы Ньютона) Р= — ~ ° 1 2 к г+ (б) 1 Рк= — к (ЯРк- +сарк-к+ ° ° + ск- Р + ск) и мы можем найти все рк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
