Том 2 (1160084), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Используя вилоизменение Лемера метода Лобачевского, найти все корни уравнения ло+ О,бхо — Зхз + 27хт+ 1З,бх — 81 = О. 11. Показатгь что если внутри некоторого круга с центром в начале координат уравнение у(х) = О, где Р(х) = ао+ а,х+ атхт+ имеет единственный корень х = а, то з ~ат аэ~ з ао ао ао О а (Воспользоваться теоремой Кбнига с у(л) = ао.) 12. Используя метод Ньютона для решения уравнения хт — ут'=О, построить итерацию второго порядка для вычисления г'7т'. 13. Показать, что функция у(х) — = х 1) ~~+(ля+1) ДГ (т 1 1) хе+ (гл — 1) М определяет итерацию хи+, — 7 (хи) )76 лишение ллгевглических и тглнсцендентных углвненнй [гл. 7 третьего порядка для отыскания г' тт' (Бейли).
(Воспользоваться теоремой Кенига с у(х)=хм — )т' н у(х) =1.) 14. Обобщить метод Хичкока на случай выделения множителей третьей и четвертой степеней. 15, Методами выделения множителей найти корни урзвнения ха + 16хз + 71хз+ 122х+ 120 = 0 с четырьмя верными десятичными знаками. 16. Вычислить с четырьмя знаками два наименьших положительных корня уравнения соз х сн х = 1.
17. Вычислить с четырьмя знаками корни следующего уравнения: хч — 0,41хз + 1,632хз — 9,146х+ 7.260 = О. 18. Найти с тремя знаками корни уравнения хь — 20,2хч+ 132,18хз — 60,592хз — 72,693х — 14,525 = О. 19. Найти с пятью десятичными знаками решение системы уравнений з1п х =у + 1,32. соз у = х — 0,85, 20. Найти с пятью десятичными знаками решение системы хт — бхзуз+ 1510 = О, уз — Зхзу — 105 = О.
Если известно, что х = 2, у = 3 есть приближенное решение. ЛИТЕРАТУРА 1. Х а у с холл е р, Основы численного анализа, ИЛ, 1%6. 2. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951. 3 Л, В, Канторович, Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, т. 3. вып. 6, 1948, 4. А Эй ен, О разложении многоч енов иа множители итерационными методами, УМН, т. 8, вып. 6, 1953. 5. Е, Я, Ремез, О знакопеременных рядах, которые могут быть связаны с двумя алгорифмами М. В.
Остроградского для приближения иррациональных чисел, УМН, т. 6, вып. 5, !%1. б. Г, С. С алехов, М. А. Мертвецова, О сходимости некоторых итерационных процессов, Иза. Казанского филиала АН СССР, сер. (Риз-мячем. и техн. наук, 5, 1954, ГЛАВА 8 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ В !. Введение Большое число задач механики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т. е. отыскания таких значений ), для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений Ах=~х, и отыскания этих нетривиальных решений. Здесь А — квадратная матрица порядка л с элементами арв и х — вектор с компонентами лм ха, ..., х„. Чтобы найти )., нужно определить корни уравнения О(Л)=)А — И)=0, (2) где à — единичная матрица.
На первый взгляд задача кажется очень простой. Достаточно раскрыть определитель (2) и решить полученное уравнение н-й степени одним из тех методов, о которых говорилось в предыдущей главе. Однако при больших значениях а раскрытие определителя (2) обычными методами высшей алгебры связано с громоздкой и утомительной работой.
Основное затруднение вызвано тем, что ). входит в кажлый столбец и каждую строку определителя. В вычислительной математике выработано много различных приемов и методов, облегчающих труд по раскрытию определителя (2). Существуют также методы, позволяющие отыскивать собственные значения и собственные векторы без раскрытия определителя (2). В этой главе мы и займемся этими вопросами. Здесь мы также коснемся задачи об отыскании значений )., удовлетворяющих уравнению ~А,).'"+А,Л"-'+ ... +А„,Л -А„~=О, (3) где А; — квадратные матрицы порялка л.
178 Вычиглеиие созстВеиных БИАчеиий и ВектоРоВ мАтРЯЦ [Гл. 8 ф 2. Метод А. Н. Крылова 1. Отыскание собственных значений матрицы. Академик А, Н. Крылов одним из первых предложил довольно удобный метод раскрытия определителя (2) $ 1, Суть метода А. Н, Крылова состоит в преобразовании определителя О(Л) к виду Ьм — Л Ь ...Ь„ Ь вЂ” Лз Ь ...Ь„ О,(Л) = ч Ьчг — Л Ь«з " Ьчч амх,+ажхз+- ... +а„,х„=Лх, (2) и умиожим его на Л.
Появившиеся в левой части выражения Лхе заменим на равные им в силу системы (1) ф 1 выражения: амх, + а;зхз+ ... + аг„х„(1 = 1, 2, ..., л). (3) Получим новое уравнение: Ьз,х, + Ьз,хз+ ... + Ь„,х„= Л'хо (4) где Ьм= ~ аыаы (1=1, 2, ..., В). С уравнением (4) поступаем так же, как и с уравнением (2). При злом получим новое уравнение: Ь„х,+Ь,зхз+ ... +Ь,„х„=)зх„ (6) где Ьм = Х Ьгьоьг ь 1 (1= 1, 2, ..., и). (7) Этот процесс продолжаем до нению Ьщх, + Ьчахз+ тех пор, пока не придем к урав- ...
+Ь„„х„=Л х,. (8) Для единообразия обозначений условимся считать Ьы=ам. причем при некоторых условиях уравнения О(Л)=0 и 1),(Л)=0 имеют одни и те же корни. Раскрыть определитель 0,(Л) значительно проще, чем О(Л), так как Л содержится только в первом столбце. Как мы увидим позже, иам даже ие придется вычислять миноры й,(Л). Преобразование А)(Л) к виду (1) будем осуществлять следующим образом.
Возьмем первое из уравнений (1) Я 1: 179 % 2! мвтод л. н. кгыловь Будем рассматривать вместо системы (1) 9 ! систему Ь„х,+ Ь„хз+ ... + Ь,„х„=лх,, Ь„х,+ Ь„х,+ ... + Ьз„х„=Ляхи (9) Ь„,х,+Ь„,хз+ ... +Ь„„х„=Л х,. Определитель этой системы как раз и равен О,(Л). Покажем, что 1 О ... О Ьн ьгз Ь1и в, (л) в(л) = =С=соне!. (10) Ь -ьг Ьм-ьз Ь -ьи Действительно, произведение С1)(Л), если воспользоваться формулой ьц= ~ь,, „„ (11) з-1 и условием Ьш= аж, может быть записано в виде ь, — л ьм — льн ьв~ — лье~ ьш ь „— ль,„ ь „— ль „ ь, ь — ль, ь — ль . (12) ьшльп11ьчль''"ьльиьи векторов ь = (ь,, ь,, ..., ь;„) (! 4) при помощи соотношения Ь; = А'Ь;, (15) "де А' — транспонированная по отношению к А матрица.
При любом 1 (16) Прибавим к второй строке полученного определителя первую, умноженную на Л. При этом первые две строки нового определителя булут такими же, как и у В,(Л). Затем прибавим к третьей строке вторую, умноженную на Л. Тогда и третья строка станет такой же, как и у 1),(Л). Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к определителю В,(Л). Утверждение доказано. Если С отлично от нуля, то уравнения В(Л)= О и 1:),(Л) = О эквивалентны. Если же С= О, то наше преобразование не приведет к цели.
Посмотрим теперь, как иногда можно обойти этот случай. Процесс получения коэффициентов Ь;) можно интерпретировать как последовательное получение из вектора Ь, = (1, О, О, ..., О) (13) 180 Вычисление совстВенных знАчений и ВектОРОВ мАтРиц (гл. 8 Естественно напрашивается следующее обобщение. Возьмем вместо того частного вектора Ьо вида (13) произвольный вектор Ьо = (Ьо1 Ьоо ° ° Ьоо) (17) и получим с помощью его по формулам (16) векторы Ь,(1=1, 2,..., И). Эзо соответствует преобразованию уравнения (18) и = Ьо,х1+-Ьозхз + ... +Ьо„х„ в систему и = Ьщх1 + Ьозхо + .
° ° +Ьо х„, Ли = Ьцх, + Ьых, +- ... +. Ь,„х„, (19) Л и=ь 1х1+Ь зхз+ ... +Ь х таким же процессом, которым преобразовывалось уравнение (2). Определитель системы (19) имеет вид ь ь, ...ь„ 7) (Л) Л Ь11 Ь11 .. Ь1о (20) л" ь ь ... ь „ Так же как и ранее, нетрудно убедиться, что ЬО1 ° ° ° ЬОИ Ьн ... Ь1„ ЬО1 Ь11 и (л) А1 (Л) = С, = сопз1.
(21) ь„,, ь„ь, ... ь„ь„ Может оказаться, что С=О, но С, Ф О. Чтобы представить определители О,(Л) или Пз(Л) в виде много- членов по степеням л, нет необходимости подсчитывать их миноры. Воспользуемся теоремой Гамильтона — Кэли, утверждающей, что А'"+-Р,А'" '+ ... +Р„1А'+ро7=0, (22) Ь„+Р1Ь„+РЗЬ„-г+ ° ° +Р„,Ь,+р Ь =О. (24) Это векторное равенство дает систему и линейных алгебраических уравнений для определения и коэффициентов характеристического уравнения, Определитель этой системы равен С,. Решать систему можно любым из приведенных в главе 6 методов.
Замечим, что мы где р,, рз, ..., р„— коэффициенты характеристического многочлена В(Л)=( — 1)ч(Л" +Р,Л" '+ ... +Р„1Л+р„). (23) Умножая равенство (22) на Ьо, получим: 181 митод А. н. кРылОВА могли бы с таким же успехом использовать теорему Гамильтона— Кали для матрицы А и пришли бы тогда к системе с„+р,с„,+р,с„а-4- ... -+р„,с,+р„се=О, (25) где с;=А'се и са — произвольный начальный вектор. Рассмотрим пример. Пусть матрица А имеет вид 1 3 1 4 2 4 1 1 3 5 4 2 4 3 1 2 (26) В качестве вектора се возьмем се=(1, О, О, О). (27) Тогда: га (28) 26 17 33 21 194 174 337 230 1973 1651 3260 2095 и сис~еиа для определения коэффициентов характеристического многочлена будет такова: — РА — Рз — 26Ра — 194Рг = 1973. 1 2рз — 17ра — 174рг = 165!.
1 Зря — ЗЗрз — 337р1 = 3260. (2 ) 29 — 4рз — 2!р, — 230р, = 2095. Решая систему (29), найдем: р,= — !1, р,=7, р,=72, рг= — 93. (ЗО) Таким образом, характеристический многочлен примет вид 7) (Л) = Ла 1! Ла+ 7Ла+ 72Л 93 (31) В приведенном примере мы пришли к характеристическому многочлену. Эго оказалось возможным благодаря тому, что С, Ф О.
Нсследуем теперь подробнее причины, по которым С, может оказаться равным нулю. Как уже упоминалось, матрица А (и транспонированная матрица А') удовлетворяет своему характеристичес~~му уравнению й(А)=0. Но может оказаться, что существуют 182 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввктовов млтгиц [гл.
8 многочлены ~р(Л) степени меньше а, для которых также выполнены равенства где О„ ,(Л) — обший наибольший делитель всех миноров (а — 1)-го порядка матрицы А — Лр. Корнями ф(Л) служат все различные корни В(Л). Так, если П(Л) ( 1)и(Л Л)" (Л ) )"в (Л ) (Л, ~ Л), а,-[-ля+ ... +аь — — а), то ф(Ц = (Л вЂ” Л,)' (Л вЂ” Ль)'... (Л вЂ” ЛЬ)ВЬ Возьмем теперь произвольные векторы Ьь следовательностей векторов се Асо... А"со и (1 ( ~! ч аг). (Зб) и с,.
В каждой из по- (36) Ьо А Ьо, А'"Ьо (37) не может быть более а независимых. Более того, для любых векторов Ьь и се наверняка имеет место линейная зависимость ф (А ) Ьо = ф (А) со = О. (38) Таким образом, если степень ф(Л) меньше а, то как бы мы ни выбирали Ье и сь, системы (24) и (25) будут иметь нулевые определители.. Посмотрим теперь, что может дать метод А. Н. Крылова в этом случае. Все рассуждения будем проводить с матрицей А, Для произвольного вектора сь найдется многочлен ф (Л) минимальной стел. пени со старшим коэффициентом 1 такой, что ф.— (А),, = о. (39) Назовем его минимальным многочленом вектора с .
Любой другой многочлен ф(Л), обладающий свойством ф (А) се = О, (40) р(А) = р(А ) = о. (32) Среди таких многочленов имеется единственный многочлен ф(Л) со старшим коэффициентом 1, имевший наименьшую степень. Этот многочлен в линейной алгебре принято называть минимальным многочленом. Напомним некоторые свойства минимальных многочленов. Произвольный многочлен р(Л), для которого р(А)=0, делится на минимальный многочлен. В частности, характеристический много- член В(Л) делится на ф(Л). При этом О(Л) = ф(Л) О„,(Л), (ЗЗ) 183 5 2! МЕТОД А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
