Том 2 (1160084), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема Кенига. Прежде чем излагать указанный метод построения итераций, докажем теорему Кенига. Теорема. Если Т(л) и 4!(л) — аналитические функции в области ~ л( ( г, содержащей единственный корень а = а уравнения Т(л)=0 кратности единица и р(а) чь О, то 144 Рещение АВГИБРАических и ГРАнсцендентных УРАВнений (гл. 7 Если положить Вт(з) — Х оааа (46) А-о то из (45) имеем: с а +'= — Я (а) с„, 8,„( ) — =а с,„+, 8,„+, (а) (48) Если р — некоторое число, удовлетворяющее неравенству (а( а р а г, то ряд(43) сходится при а=р и )д„р" 1-+О. Пусть А=щах(Г( о"). Тогда а И.! < — „".. (49) Так как ам ( Бм(а) 1 а + аю+а а — — = а(1— С +Г 1 51а+1(а) ) Яа,+~(а) (50) то при Оа,л(В, где В=15(а)~, существует такое Гпв, что при т > Глв и (В,ае,(в)! )»В — 3 1В с 1~~ Ъ+Т В Е В З(~ ~ )' а Но ( — ! < 1, поэтому правая часть в (51) стремится к нулю при Р т -аСО, т.
Е. Ипз '" = а. с 1а.+ сО с1аа! а — х= Ию с„(х) с„+, (х) (52) где с„(х) — коэффициент прн (з — х) в разложении — в ряд а т (а) Р (г) по степеням г — х. Рассмотрим уравнение с,(х) = у„(~)= +,) Ь>та) (53) и итерацию х„, = ~рр (х„) (и = О, 1, 2, ...). (54) Если функция 7(з) имеет единственный простой корень а=в в области 1а — х)(г, где х — некоторое число, а 7(г) и е(а)— аналитические функции в этой области, причем о(а) чь О, то из теоремы Кенига следует, что й 4) 145 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Докажем, что последовательность (хо) сходитса к а, если хо достаточно близко к а, и итерация (54) имеет порядок не ниже р+2.
В самом деле, если — = т с„(х)(г — х)", (г — а) — = д сс (х)(г — х)", т (е) сч т(г) ъ у() у() Ь" о-о то совершенно аналогично равенству (50) имеет место равенство е,(х) (о — х)Р+ де+с(х) а х — (55) еР+, (х) 5Р+,(о, х) где р+с Яр+,(а, х)= ~~~ сса(х)аа. а-о Отсюда видно, что а — ур(х) имеет множитель (а — х)~~с, поэтому ср (а)=со и сои1(а)=0 при 1=1, 2, ..., р-1-1, Это и означает, р р что итерация (54) имеет порядок не ниже р+2 и будет сходиться к а, если хо взято из окрестности )г — а) (р, в кочорой 1со' (г) ~ ( К < 1.
В. Построение итераций высших порядков. Функцию рр(х) можно находить разными путями. Прежде всего, так как с (х) есть коэффициент разложения — по степеням г — х, то т (е) У(е) (56) (57) ор(х) = х+(р+1) 1у(:) 1,'"." если известны разложения функций г (г) и е (г) по степеням г — х: ~(г)= .Я и„(х)(г — х)а; е(г)= ~'„Ьа(х)(г — х), (58) а-о а-о то со со оо Х да(х) (г — х) = ~~.'~ иа(х)(г — х) ° ~, са(х) (г — х) ° а-о а-о а-о 146 гашении ллгиьвлических и твлнсцвндентных твлвниний [гл. 7 откуда Ь,(х) = а,(х) с,(х), Ь,(х) = а,(х) с,(х) + а (х) с,(х), Ьа(х) =а,(х) св(х)+ас (х) с,(х)+ав(х) с,(х), (59) Ьр(х)=а„(х) св(х)+ар с(х) с,(х)+ ...
+а,(х) ср(х), и сл(х) можно найти, используя эти рекуррентные соотношения. Рассматривая (59) как систему линейных уравнений относительно с,(х), с,(х), ..., с (х) н решая ее по правилу Крамера, получим: Ьв (х) ав (х) О О ... О Ьс(х) а,(х) ав(х) О ... О ср(х) = ( — 1)л [а (х))л+' Ьл (х) ая (х) а с (х) а сс (х) ... ас (х) ( — 1)Я д (х) аз+ (х) (60) ав (х) дл(х) сур (х) х Заметим, что при са(а) = 1 и р = О мы снова приходим к методу Ньютона. порядка г, сходящиеся к х=а.
С помощью функций сЬ,(х) н суа(х) построим фунцию Ф(х): хтс[тя(х)[ — тс(х) тсс(х) (х)— х — т, (х) — та (х) + тс [тя (х)] ' Тогда итерация (63) х„= Ф(х„,) (а= 1, 2, ...) (64) имеет порядок выше г, если только выполнено условие [ср, '(а) — 1) [ср,'(а) — 1~ чь О. (65) Для доказательства этого утверждения заметим, что последовательность Я>=х(„'! — р (1= 1, 2) сходится к а — р и получается при решении уравнения у= ус(у+[1) — ~=фс(у) (1=1, 2) (66) 5. Метод Эйткена построения итераций высших порядков. Эйткен предложил способ получения из данной итерации или из двух данных итераций одного и того же порядка итерации более высокого порядка.
Пусть имеются итерации х'„'1= рс(х~," с), х'„а1=сра[хчас с) (и=1, 2, ...) (62) 147 итввлционныя методы гашения методом итераций, так как и) =Уп)+Р= 7!(хп',) = В®+Р) При 8 = а члены последовательности ъ]ъьэ = х<0 — а представляЮт отклонения хп> от точного значения корня а н получаются примеч нением метода итераций к уравнению ъ]=шь(ъ]) -чъ;(ъ]+а) — а.
(67) Так как у;(х) определяет итерацию порядка г, то имеет место разложение Шг(Ъ]) =а!ъ>Ъ]'+аД,Ъ]г+Ъ+ ... (68) Далее, Ф( а) (ч+ )т ]таИ+ )] — тъИ+')таИ+") ъ! + а — то (Ч + а) — уо (ъ! + а) + ъръ ]Чъъ (ъ! + а)] (Ч + а) тъ[шо (Ч) + а] — [шъ(Ч) + а] [шо ® + а] ъ! + а — [шъ (ъ!) + а] — [шо(Ч) + а] + Чъ[ша (Ч) + а] (Ч + а) (шъ [оъа (Ч)] + а) — [шъ (Ч) + а] [оъа (Ч) + а] Ч вЂ” ш ъ ( ъ) — ъ (Ч) — а + "'ъ [ .ъ И)] + а ъ!шъ [ша (ч)] — шъ (ч) оъа (ч) + а (шъ [ша (ч)] — шъ (ч) — ша (ч) + ч) шъ (ъ!) ша (ъ!) + шъ [ша (ч)] ( ) Ч ъ [ а (Ч)] — шъ И) ша И) 69 Ч вЂ” шо (Ч) — ша (Ч) + оъЪ [ш (Ч)] Подставляя разложения (68) в (69), получим: ] <п(аа1 + )" + ] [ао! ][ам> ] Ф(в+а) а— Ч вЂ” [га~ЫЧг+ .„] — ]аа>то+ .„]+ ]а! !~а~ )ъ~г+ ...) + ...
] "] — ~ +" <и!з!»ъ+ъ ъ ! г<н(а>аг ъ ] ъ! — !а!ъ!+ а!з!)то + ап!аа)'т' + При г ) 1 наименьшая степень ъ] в числителе 2г, а в знаменателе 1, следовательно, разложение Ф(ъ]+а) — а по степеням ъ] начинается с ъ]" ', т. е. ФШ(а)ъ 0 при 1=1, 2, ..., 2г — 2, что означает, что итерация (64) имеет порядок не ниже 2г — 1. При г = 1 наименьшая степень 9 в числителе не меньше трек, так как члены со втоРыми степенями взаимно уничтожаются, а в знаменателе ъ] входит с коэффициентом 1 -- а!И вЂ” аа) + ац)аа) — [1 — ан)) (1 — аа)) = ]1 — ър', (а)] ]! — ъу,'(а)] .
Если это произведение не равно нулю, то первая степень в разлог женин знаменателя присутствует и разложение Ф (а-]- '9) — а по 143 гвшвнив алгвввлических и твлнсцвндянтных лвлвнвний [гл. 7 степеням т[ начинается по крайней мере с 4в. Следовательно, Ф'(а) = 0 и итерация (64) имеет порядок не меньше двух.
В частности, можно положить 7(х) =Р,(х)=Ра(х); тогда хт [т (х) [ — то (х) (х) = х — 2т (х) + Ч [т (х)[ определяет итерацию не ниже второго порядка, если ~7(х) определяет итерацию первого, и не ниже (2г — 1)-го порядка, если ~7(х) определяет итерацию порядка г. Заметим, что если итерация, определяемая функцией р(х), не сходится, как бы близко к а мы ни выбирали начальное приближе ние хо (что, напРимеР, бУдет пРи [~7'(а)[) 1), итеРациЯ.
опРеделЯе. мая функцией, построенной по формуле (70), будет сходящейся при выборе начального приближения, лостаточно близкого к а, так как Ф' (а) = 0 и существует окрестность х = а, в которой [ Ф' (х) [ < К < 1, а это является достаточным условием сходнмости итерации, если только хо взято из этой окрестности. При построении итерации «„=Ф(х„) (и=1, 2, ...), где Ф(х) определена равенством (70), нет необходимости в явном виде находить Ф(х), а можно поступать следующим образом. Исходя из хо, находим: х,= ~7(хо) и х,= Р(х,). Затем определяем хв с помощью соотношения хо«о — хг (дх )в хз —— хо — 2«, + хо дохо =хо — — ' где положено Ьх;=хо+,— хв, Ь хо=хо+ — 2«вь,-[- х.
Далее, находим: хо=~7(хо); х =~7(хв) хв х — хв хв хв — 2хв+ х, и т. д. Получим нестационарной итерационный процесс; «ов+г = 9 (хов) хм+ — ср(хввов), (1=0, 1, 2, ...). (дхм) хв (воц = хвв д-хв1 Точно так же как по ~7 строилась итерация Ф более высокого порядка, можно, исходя из Ф, построить итерацию еще более высокого порядка и т, д. 149 9 4] ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 6. Пример. Проиллюстрируем некоторые из рассмотренных в этом параграфе итерационные методы на примере отыскания корня уравнения У(х) = х'+- 5х' — 15х — 7 = О, расположенного между х = 2,4 и х = 2,5. 1.
Метод секущих. хОУ (хи-1) .1 и-1У ( ко) (и 2 3 ) у (х„,) — у (хо) х,=2,4, приближение хо — — 2,5, 7 (хо) = 2,375. Начальное У (х,) = — 0,376. 'о)('и) и)( о) ) ( и) )( о) ки+1 )(к ) )(к ) к ) (ки) ки) (ко) !(ки) — 6,6400 — 5,7687888 — 5,7350965 — 5,7338049 — 2,75! — 2,3895312 — 2,3755555 — 2,3750205 )н= )и!и (у'(х) (= 28,28, ) хв — и ! ( в ( 8 ° 10 !ЗМ; З,в! 2. Метод Ньютона. ~'(Хи-1) У (хи) хи+1= хи — у ( .
) 7'(х„) ) (хи) и К(х„) Г (хи) 0 2,375 1 0,0843686 2 0,0019769 3 0,0000010 2,417393! 2,4142878 2,4! 42136 2,4142136 28,75 27,3043304 26,6292347 26,6274179 3, Метод Чебышева третвеао порядка. к (Хи) кк(Х„1)к (Х„1) Х 2 4 7' (хи) 27'з (хи — 1) )(хи) 71 (х„) У(х ) 7" (х„) у(х„) Х' (х„) уи (х„) ХИ+1 2У'0 (х„) 0 — 0,376 Ж,28 1 0,0019956 26,6292520 2 0 0000012 26,6274179 24,4 24,4857310 24,4852816 ! 2,4 2 2,4136677 3 2,4141927 2,4142128 — 0,376 — 0,0145312 — 0,0005555 — 0,00002 05 0,0826089 0,0031035 0,0000742 о,ооооооо — 0,0143075 0,0000749 0,0000000 2,4136677 2,4141927 2,4142128 2,4142128 0,0000190 0,0000000 0,0000000 2,4142885 2,4142136 2,4142136 150 Решение АлГеБРАических и тРАнсцендентных УРАВнений (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
