Том 2 (1160084), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Уравнение, корни которого противоположны по знаку корням уравнения (1), будет иметь вид а|, (х+ хз) (х + хз) ... (х + х„) = О. Перемножая эти два уравнения, получим: а,'(хз — х',)(ха — хз) ... (хз — х'„) = О. Если теперь положить з= — х', то получим новое уравнение относительно х, корни которого равны соответственно з з з з' '''' в' Отсюда, для того чтобы получить нужное нам уравнение, мы должны перемножить уравнение (1) и уравнение, получающееся из него заменой х на — х, и положить затем — хз=х. Найдем выражения для коэффициентов нового уравнения через старые коэффициенты. Нам нужно перемножить аох" +а,х"-'+азх"-'+ ... +а„,х+а„= 0 й 31 метод лозлчввского гвшвния ллгзвгличвских гвлвнвний 105 и а х" — а,х"-'+ ...
+( — 1)" 'а„гх+( — 1)" а„=О. (У) Произведение будет иметь вид а,хгв — (а! — 2аваз) х " + (а! — 2а,а, + 2а,>а,) хвв ~+ ... +( — 1) а„= О, (6) После замены — х' на г получим: аод +(а,' — 2ава,)дв '+ +(аз — 2а,а,+2ава,)ав + ... +а'„=О, (7) Коэффициент Ьь при з"-ь в этом уравнении получается иа коэффициентов исходного уравнения следующим образом: из квадрата а„ вычитается удвоенное произведение двух соседних с ним симметрично расположенных коэффициентов, прибавляется улвоенное произведение двух следующих за ними симметрично расположенных коэффициентов и т. д., до тех пор пока не придем к аз или а„, т.
е. Ьь = аь — 2а„,а„е, + 2а„,а„е, — 2а„,а„е, + ... (8) Возникает вопрос: как узнать, что процесс квадрирования проведен достаточное число раз? Для того чтобы ответить на него, мы рассмотрим два уравнения: Ь,у.+Ь,у.— +Ь,у-- + ... +Ь„=О, с,г" +с!а"-'+с!аз-' + ... +с„=О, получающиеся в процессе квадрирования, причем второе получается квадрированием первого. Если бы для первого уравнения условие (2) было выполнено, то тем более оно будет выполнено для второго. Таким образом, Но так как х,= — у,', то мы получим; (1=1, 2, ..., и) и, следовательно, в силу того, что с,=Ь', будем иметь: с, Ь,', (8) т.
е. все коэффициенгы с; являются примерно квадратами Ьп Можно показать, что при этом разделение корней уже имеет место, если исходное уравнение удовлетворяет нашим требованиям. 106 Решение АлГВБРАических и ГРАнсцендентных УРАВнений 1Гл. 7 ав аг — 1 350 1 — 35 380 1 062 500 51 900 !011 1 112425 ) 170748. 104 ! 102511, 104 1О а. 1 1263938 104 291549 1011 105085 ° 101" 341 496. 104 23 050. 1011 341 1014 101' 1 922442.104 ~ 268499.1011 104 744 10'" !09713 1О"г 1О'в 850899 1О'4 7909!7 10И вЂ” 53 700 .
1014 — 1 932 1041 1 ! 797 199. 1014~ 718 985. 10г1) 109713. 1044 ! 104в ) 635526 1014 516940 10вв — 1438 1О'4, — 2 1Овв 120369 104' 1 ~ 634088 ° 1014~ 516938 ° !ОГВ! 120369.1041 ~ 104' 402 068 ° 10'4 26? 225 ° 10141 — 1 1014 144 887 ° 101вг 10141 1 ( 402 067 1014! 267 225. 10141( !44887, 1Оы ~ 101вг ! а,.
— 2аг гага, 2аг та,„г г аг — 2аг вава, 2а4 г аввг — 2ав, а!+1 2а, та;+г а; — 2а4 гав+1 2ав та;+г а,. — 2ав , ава, 2ав г а,вг аг — 2ав гав+, 2а4 вава, ! 225 — 760 216 225 — !оз аоо 144 400 — 94 500 2 000 269361 1О' — 988!3 !ГИ 200. 104 1 822 500 — 760 000 !!289! !Π— 1О З8О !01 й 3) метод ловлчявского вешания ллгвьвличаских авлвнвний 107 Рассмотрим в качестве примера решение методом Лобачевского уравнения (промежуточные вычисления приведены в схеме на стр.
106) х' — 35х'+ 380хв — 1350х+ 1000 = О. г, = 402 067 ° 10"; !е г, = 79,6042985; — 1~ гг = 1 2438172! 1 х, = 17,5314; 7(х,) = — 0,02; 402 067 г = 1Озз 664628. 10ам !И ге = 67,8225786; 4 !д ге = 1,0597278; х, = 11,4743; У'(хв) = 0,03; г, =,, 1074=0,542191 10ам 144 887 267 226 !а' аз=44 7341523; — 4!Д аз= 0,6989711; ха = 500001: 7 (хз) = 0003; 144 ' 10' = 0,690193; 1~ г, = 1,8389706; — !а г = 1,9974839; ха — — 0,994223! 7(х ) = — 0,03. 2. Метод Лобачевского.
Случай комплексных корней. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение имеет комплексные корни. Процесс квадрирования можно будет производить, как и раньше, только выводы о способе определения корней будут уже недействительны. Предположим пока, что мы имеем только пару комплексно-сопряженных корней: х, = р (соз р+ ! з!п о), ха — — р (соа р — ! сйп ф. (10) Тогда после т квадрирований получим уравнение, которое будет иметь пару комплексно-сопряженных корней: р"" (соз 2" р+ ! з!п 2~у), рч (соз2 у — Гз!п 2ме).
Пусть, например, остальные корни будут расположены так: (11) 108 Решение АлГеБРАических и тРАнсцендентных УРАВнений !гл. 7 Воспользуемся опять зависимостью между корнями и коэффициентами уравнения, полученного после пс квадрирований: ;+,;+хо+ ... +, а, х"х" + хлх" + ... + х" х» = — ' о-! о с о х"х"х" +хзх."х" + ... +х",хо х" = с', ! о о ' ' о ''' о-о о-' о с о 0о = 2"'), (12) хьхо хь — .СО Если при этом ( х," ! )) ~ ро ~ )) ) х" ( ))... )) ~ х„"), то х, с, со ! <1З) х рао со ! х'ро"хо...
х" = — ", о,' и мы можем найти все действительные корни и модуль пары комплексно-сопряженных корней. При этом все коэффициенты, кроме второго, ведут себя, как и раньше, т. е. Стремятся к квадратам коэффициентов предыдущего уравнения, а с, ведет себя неправильно, возможно даже меняя свой знак. Последнее и служит признаком наличия пары комплексно-сопряженных корней.
Легко заметить, что если модуль пары комплексных сопряженных корней заключен между х! и хсоо, то ведет себя неправильно коэффициент с!он и мы точно так.же можем найти все действительные корни и модуль пары комплексно-сопряженных корней. Вообще, если уравнение имеет несколько пар комплексно-сопряженных корней и их модули различны и отличны от модулей действительных корней, то можно по тем же признакам определить, где они расположены, и найти действительные корни и молули всех комплексных корней. Если мы имеем пару или две пары комплексно-сопряженных корней, то аргументы этих корней находятся также без труда. Дей- 9 3) метод ловлчавского вешания алгвьваичвских яравнвний 109 ствительно, если имеется только пара комплексно-сопряженных корней х,, х,, то из исходного уравнения имеем: аг х,+2рсозф+хв+ ...
+х„= — — '. ао (14) а„у" +а„,у"-'+ ... +а,у+а,= 0 и будет иметь корнями: ! 1 1 ! 1 — — = — (соз ф — ! гйп ф), — = — (соз ф+ ! ейп ф), хг' хв р, хв Рг 1 1 1 1 1 1 — = — (соя ф — ! 51п ф), — = — (соя ф+ ! з!п ф), хв рв хв Рв хв хо Следовательно, — + — созф+ — созф+ — + ... + — = —, (15) 1 2 .
2 1 1 ал! Рв Ро хв ''' х„ а„ что вместе с уравнением х,+2р,созф+2рвсозф+хв+ ... +х„= — — ' (16) ао опрелелит совр и созф. Для трех пар комплексных корней можно использова~ь наряду с исходным уравнением и уравнением, полученным заменой х на 1/у еще уравнение, полученное после первого квадрировання. Для случая трех и более пар комплексных корней, так же как и лля случаев, которые .мы уже рассмотрели, можно воспользоваться следующим приемом. Поскольку мы знаем модуль пары комплексно-сопряженнык корней хв и хгьп то в трехчлене (х — хв) (х — х;+,) = х' — 2рх соз ф+ р"', соответствующем этой паре, нам будет неизвестно только р.= 2р соя ф.
Но его можно найти из условия, что уравнение делится нацело на х' — рх+ рв. Проще асего это слвлать путем деления )'(х) на х' — рх+р'..Получится остаток вида Р(р)х+1;!(р), гле Р(р) — многочлен степени и — 1 относительно р, а 1;)(р) — многочлен степени и — 2. Они должны обращаться в нуль при олпом и том же значении р. Следовательно, они лолжны иметь общий делитель, который также можно найги путем деления.
Другой способ отыскания аргументов комплексных корней предложил Энка. Всегда можно считать, что уравнение имеет четную В равенстве (14) нам не известен только соз~р, и он может быть из Этого равенства найден. Если комплексных корней имеется две пары: х„ х, и х,, х, то в уравнении следует заменить неизвестное на 1/у. Тогда уравнение относительно у примет вил 11О Решение АлгевРАических и тРАнсцендентнь|х УРАВнений (гл. 7 степень, так как в противном случае его можно умножить на х. Запишем его в виде хаа+а,хеа '+а,х'"-'+ +а.а,х+а, = О, (17) и пусть модуль Р пары комплексных корней найден, так что корни будут: ха= Р(со5|р+! 5|и |р), х „! — — Р(свар — 15!П|р). (18) После подстановки этих корней в уравнение и приравнивания действительной и мнимой частей нулю получим уравнение относительно |р: раасо52йр+а|раа-|сов(2й — 1) |р+ ...
+а,а,р соз|р+ааа = О, Раа 5!и 2иср+ а,р'"-' 5!п (2й — 1) |р + ... + а!а |р яп |р = О. (19) Р соя и|Р+ — со5(и — 1) |Р+ — соя (й — 2) |р+ Ря о р ря ... +-=сов |р+ — =О, Ра-! ра ра — ! 2ра (20) ! япй|р+ т' яп(й — 1) |р+ тя 51п(й — 2)~+ ... о рз ... +=51пр=О, та- ! ра-! где !+а,„р-е" = Ре, а, +а, Р-аа+'= !) 1 — а,р-' =(в, (21) аа-! — ааа|Р = (а -2— аа-| + ааа|Р 5 = риа ! 2а„= !)а, Для того чтобы найти значения, удовлетворяющие обоим уравне- 5!Плр пням (20), используем выражения для сов и|р и —. через соя |р: япт сози|р=(2 сову) — — (2 сов р) + (2соз р) и и-5 и (и — 3) и-! 1 2| — — (2 соз <р) + и (и — 4) (и — 5) и-з и (и — 5) (и — б) (и — 7) Х Х (2 соз |р)" Умножим первое из уравнений (19) на соз ир, второе на 51п йр и сложим их почленно. Затем умножим первое из уравнений (19) на 5!пи|р, второе на соай|р и вычтем первое из второго, В результате получим: $31 метод ловачавского гашения алгевваичзских твавнений 111 )п-з (и — 4)(л — 5)(л — 6) (2 )п з+ 31 +- (и — 5) (л — б) (п — 7) (п — 8) (2 соз с7) и-У Полагая — 2р соз о = р, получим следующие уравнения для определения р: () Ра () Ра-1+~ ра-з +( 1)а() азу ра-3 — (й — 1) КРа-з+- (й — 2) Р Ра-' — 1+ ЗГа(а — 3) и а-З (а — 1)(а — 4) и Р ~ 21 гзР 2! Р$Р (а — 2) (а — 5) и а-в 1 з Г а (а 4)(а 5) п а -з (а 1)(а 5)(а 6)" а-7 ) з а (а 5) (а 6) (а 7) а-з Х 4РР')~'''О РоР Тзр — ТзР" +Тзр ° ° ° + ( — 1)а 'Та з — Рз Х Х НГз 2) тара з (ь 3) (1Ра а+ (Гз 4) Гара а 1 + з Г(» — 3)(а — 4) а ь (а — 4) (а — 5) а-в 1 ,а Г (а — 4)(а — 5)(а — 6) ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
