Том 2 (1160084), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4) (г) г~ гав Р (О 1) Иш — =+ со; 4? (1) г-ьг ~о" (Г) 3) 1!ш — = + со; еж гч.г ~о~ (Г) (28) я бп 5я Функция !др(1) имеет разрыв в точках р = '+ —. '+ —, ч —, 2' 2' 2' причем все эти разрывы вида 3). Функции 1~(1) и Р(1) являются многочленами относительно 1, причем если степень и многочлена 7(г) четна, то Р(1) имеет степень и, а Я(~) — не выше и — 1; если же степень и нечетна, то Р(1) есть многочлен степени не выше и — 1, а (;1(1) — в точности степени л, Так как предполагается, что на прямой Кез=а нет корней уравнения 7(з)=0, то Р!!) и ьг(1) не могут одновременно обращаться в нуль. Функция р(1)=агру(я+11) при изменении(от — со до+со непрерывна, а !я р(1) = — терпит бесконечные разрывы в точках (ы 0 (1) Р (г) являющихся действительными корнями многочлена Р (1).
Разрывы— 1;! (1) Р (г) могут иметь один из следующих видов: э 2! отдвлаиив когивй Для того чтобы найти приращеиие чс(г) при переходе по г от — со до +со, нужно найти все действительные корни миогочлеиа Р(г)! — со < (~ < (з < ° ° < (и < + со, и рассмотреть последовательность интервалов: ( — со, (,), ((,, (з), ..., ((ь,, Я, (Сю +со), На каждом из интервалов (Со Г;,,) !ос!с(с) есть иепрерывиап функция, а зиаче- Г2Д; — 1 2йг+1 ! / 2Д;+1 иия со(с) иаходятся в интервале ( ' и, ' и! или ! — ' сс, юг! — 1 и), где й. — некоторое целое число. При переходе 2 )' с С~ (г) через (! о, в зависимости от типа разрыва — и ри г = г! , зиачеиия сс (г) остаются или в этом же интервале (в случае разрыва вида 1) и ли 2) ) и ли выходят из этого и иге рвала, причем в случае разрыва вида 3) с(с(с) уходит из этого интервала возрастая, а в случае разрыва аида 4) — убывая.
Приписывая су(г) при г= — со значение и и! !3 (г) угла в пределах ( — —, — ), для которого тангенс равен йю 2' 2!' г Р (Г) ' и следя за измеиеиием со(г) при переходе через точки (,, г,, ..., гв, мы и найдем приращение с!с(с) при возрастании г от — оо до + оо. В случае четнойстепени п !пп — =бисе( — со) =О,аср(+со)=(и, () (г) г~т, Р(Г) где ( — целое число, равное разности числа разрывов — вида 3) !3 (О Р (г) и числа разрывов вида 4), т. е. в этом случае индекс равен числу разрывов вида 3) без числа разрывов вида 4).
В случае нечетной степени а 1пп ~ — !=+со. Если йгп — = — оо, то ср( — со)= !е (г) ~ !е (О г. ~ Р(0! ' г. - Р(О и 2! — ! 2 ' = — —, а с~(+со) = и, где ! равно разности числа разрывов 2 вида 3) и числа разрывов вида 4) при !!т — = — со и 1 равно () (е) Г->.+со Р (Г) разности числа разрывов вида 3) и числа разрывов вида 4) плюс !) (г) !3 (г) единица при йю =+со. Если (пп =+со, то !.Ь Осо Р (Г) Р (г) 21+ 1 су( — со)= —, а ср(+со)= и, где! — число разрывов вида 3) 2' без числа разрывов вида 4) при !пп - — =+со и ( равно раз- !3 (г) с м.ссо с (Г) ности числа разрывов вида 3) без числа разрывов вида 4) минус единица при 1пп — = — со. Это означает, что если рассматривать () (г) г.э, Р (Г) единую бесконечно удалеииую точку и положить + со= оо — О, — со= со+О и в этой точке рассматривать типы разрыва так же, как и в (48), то можно и при четных и при нечетных и сформулировать одно и то же правило для вычисления индекса У (!(ее=и)„ Индекс мнозочлена г" (г) относительно примой Ке г = й, на которой нет корней уравнении г" (г) = О, равен разности числа 100 гвшвние ьлгевеьических и тгьнсцендвнтных тгавнвннй [гл.
7 4гз — 2гз — 4г — 3 = О. Для определения числа действительных корней и их отделения выписываем рял 1!!турма 7о (г) = 4г' — 2г' — 4г — 3, Л (г) = Зг' — г — 1, уз (г) = 26г+ 29, Уз(г) = Таблица перемен знака в последовательности Шзурма имеет вид: — со О 1 2 +со ь1ип ХО (с) + + ! + + з~дп Л (г) + ( + 8!яп уч (г) з~дп уз (г) 2 ~ 2 2 1 ( 1 Число перемен знака Таким образом, действительный корень один и находится в инзервале (1, 2).
Для отделения комплексных корней будем вычислять индексы многочлена относительно прямых Ке г = и и !ш г = !). 1) Ртег= О, $(И) = 2Р— 3 — 41(Р-+!), — = — 4 —. Многочхен 2г — 3 имеет корни 1 = — 1г —, гз —— +1с —; — имеет 2 Гз Гз д(г) в этих точках РазРывы вида: в 1,: + со, в гз: + со. Далее, разрывов отношения — вида 3) и числа разрывов вида 4), где Р,(Г) () (г) Р(О и Я(1) — соответственно действительная и мнимая части функции у(а+И). Это правило, очевидно, справедливо и для вычисления индекса 7 (!гпг= р), если на прямой !юг=р нет корней уравнения 7(г)= О.
Заметим, что для вычисления индекса нет необходимости находить корни уравнения Р(1) =О, а нужно лишь для каждого из них найти такой интервал, в котором нет других корней Р(!), а также корней многочлена (е(1). В заключение рассмотрим два примера. П р и м е р !. Отделить корни уравнения % 2! ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ Р(г) . 9(О ге(0 — Р (Г) ' г ь Р (Г) ' ' гэ. — Р (Г) 1ггп =+ со, а 1нп — = — со, т. е.
Игп — = + со. Отсюда й=2, 1=1 lг(йе г = О) = 1, й — 1 = 1, й+1= 3, Следовательно, оба комплексных корня лежат слева от прямой г(еа= О, т. е. имеют отрицательную действительную часть. 2) гче а = — 1, г" ( — 1 + гу) = 14(з — 5+ 4г' (31 — (з), ~' 00 зг — гз !4ГЛ вЂ” 5 ' Корни уравнения 14(з — 5 = 0: — 0,6, (з + 0,6. Типы разрывов 1: со, (г, г,, Отсюда 7 (гчее= — 1) = — 3, й — 1= — 3, ге+1= 3, и = О. Таким образом, комплексные корни лежат вправо от прямой гсеа= — 1, т.
е. в полосе — 1 < г(ею < О. 3) 1гп а = 1, (((+ 1) = 4(з — 2(з — 161 — 1+ 4г (Заз — ( — 2). Г Г(Г) ЗГз — à — 2 Р 00 41з — 21з — 16à — 1 ' Корни знаменателя находятся в интервалах (г~( — 2; — 1), (з~ ( — 3, 0), (з~(2, 3). Типы разрывов: (г: + сю, 1,: + со, 1з: + со, со: О, т. е. 1~(1ш а = 1) = — 3, Р— гг = — 3, р+- гу = 3, р = О. Следовательно, выше прямой 1та= 1 корней нет, а это означает, что мнимые части корней по модулю меньше 1. 1!так, уравнение 2(г) = 0 имеет трн корня: аг =а, аьз=~ 1) где 1 < а < 2, — 1 < р < О, О < ) < !.
П р и и е р 2. Отделить корни уравнения г'(а) = 3гг — аз + без — 1!г -)- 3 = О. Метод Штурма отделения действительных корней дает такой результат: уравнение у(а)=0 имеет два действительных корня. которые расположены в интервалах (О, 1) и (1, 2). Для определения расположения пары комплексных корей применим изложенный метод. 1. Рассмотрим прямую гчег= О, т.
е. а= И: У(гй) = 3(л — 61з+ 3+1((з — 111) ()(Г) 1 Гз — !1Г Р (Г) 3 Гл — 2ГЛ+ 1 ' 102 гашение ллгевглических и тглнсцендентных ю«влвнений (гл. 7 Уравнение Р (Г) = 0 имеет лва двукратных корня: 1ю = — 1 и 1з = 1. Типы разрывов Г,: +со, гзю — со, со: О, т. е. 1 (Кег=О)=0, и — 1= О, 7ю+1= 4, и = 2. Следовательно, комплексные корни лежат влево от прямой Кег=О, т.
е. имеют отрицательную действительную часть. 2. Рассмотрим прямую Кег= — 2: 7( — 2+11) = згю — 841з+ 105+ ю (25Р— 1431), 0 (Ю) 1 25Р— 1431 Р 00 3 юз 28юз+ 35' Уравнение 1ю — 281з+35=0 имеет корни 1, — 5,2; гз — 1,1; Г, 1,1; 1, 5,2. Типы разрывов: со, 1з: Ю со, 1з:Тоо, Гю:~со, со:О. Отсюда lю(Кег= — 2) = — 4, и — 1= — 4, 7ю+1=4, л=О, т.
е. левее прямой Кег= — 2 корней иет, и комплексно-сопряжен- ные корни находятся в полосе — 2<Кег<0. 3. Рассмотрим прямую 1шг= 1: 7(1+ ю) = 31ю — Р— 12гз — 81 + ю (12Р— 31з — 10), ЮЦг) 12Юз — ЗР— 1О Р (Ю) Згю ЮЗ 1йз 8Ю Корни уравнения Згю — Р— 121з — 81= 0: 1ю — 1,1, 1, — 1,, 1,= О, 1ю ж2,4.
Типы разрывов: 1юю+ со 1з:+ со 1з: Т со, г,ю.~ оо, со:О. Отсюда 17(1тг= 1) =- — 2, р — «7= — 2, р+«7=4, р= 1. Слеловательно, выше прямой 1гпа= 1 имеется один корень уравнения. 4. Рассмотрим прямую 1н г = 4: 7(1+ 4ю) = 31з — Гз — 282юз+ 371+ 575 + ю (481з — 121з — 7201-(- 20).
Щ~) 48Юз 12Юз 7201 + 20 Р (Ю) Згю Юз 282Юз+ 371+ 875 ' Корни уравнения Згю — Р— 2821з+ 371+ 675 = 0 находятся в интервалах 1ю~( — 10, — 9)„'Гз~( — 2, — 1), гз~(1, 2), 1ю~(9, 10). Типы разрывов: Гю + со гзю + со 13 + со 14 Т ос со О 8 31 мзтод ловлчввского гашения алгввглических эвавнаний 103 т. е. 7.11ша=4)= — 4, р — д= — 4, р+д=4, р=О.
Таким образом, выше прямой 1ша= 4 корней нет, а поэтому комплексные корни расположены по одному в прямоугольниках: ( — 2<ртеа<0, 1<1гпа<4(, ( — 2<мех<0, — 4<1ша< — 1(. ф 8. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений Одним из широко распространенных методов решения алгебраических уравнений является метод Н. И. Лобачевского, предложенный им в 1834 г. Впоследствии он был несколько усовершенствован Греффе, Дандленом, и поэтому в литературе часто его связывают с их именами.
Иногда его также называют методом квадрагного корня„ 1. Метод Лобачевского. Случай различных по абсолютной величине действительных корней. Пусть дано уравнение аох" +а,х"-'+ ... +а„,х+а„=О, о корнях которого известно, что все они действительны и удовлетворяюг условию (х,()) (хг()) ... )) (х„(. 12) аг х,+х, + ... +х„— — —, ао ' х,х, +х,хо+ ... -Ф-х„,хо— а. ло ао хх хо+ х х.х„+ ...
+хо-гх -~хо= ло 13) „а„ х,х,х,... х„=( — !)" — ". ло Вынесем в первом из эгих равенств за скобки хп Получим: х, (1+ — "+ ... + — "1= — — '. Будем считать, что х, настолько больше остальных корней по абсолютной величине, что можно отбросить в скобке все отношения— хг и в пределах нашей точности равенство не нарушится. Тогда х а, 1 ло Смысл знака )) (значительно больше) мы уточним несколько позд- нее. Воспользуемся связью между корнями и коэффициентами нашего уравнения 104 Решение АлГебРАических и тРАнсцендентных УРАВнений [гл.
7 Аналогично, вынося из второго равенства за скобки х,хз, получим: +х,хз+ + хв |х„) лз ""[ х|хз х|хз ~ ао х|х. Предполагая, что отношениями —, стоящими в скобке, можно х|хз ' пренебречь по сравнению с единицей, будем иметь: х|хз ао или л, хз — — —. а,' Продолжая эти рассуждения дальше, найдем: х| — — ' (1=1, 2, ..., и). (4) Таким образом, в нашем случае мы сумеем найти приближенные значения всех корней уравнения. Н.
13. Лобачевский предложил способ получения из данного уравнения (!) нового уравнения, корни которого равны квадратам корней исходного уравнения. Если исходное уравнение имело только различные по абсолютной величине действительные корни, то, применяя достаточное число раз процесс, предложенный Лобачевским, — квадрирование, получим новое уравнение, корни которого удовлетворяют условию (2). Таким образом, мы сможем найти корни последнего уравнения, а затем и корни исходного уравнения. Изложим процесс квадрирования. Запишем уравнение (1) в виде а (х — х,)(х — х,) ... (х — х„) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
