Том 2 (1160084), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В этом случае уравнение у~~ !(х) либо имеет два корня на '(а,', а',эд~, либо не имеет ни одного. Эти случаи можно различить так, как мы это делали при Ьа = 2, Ь, = 1, Ьа= О. Если имеется два корня, то мы отделяем их изложенным выше способом, при этом отрезок (а,', а,'4,1 разобьется на два отрезка асс', Я и (р, я,',1, для которых Ь,=!, т. е. первое из Ь, равное 1, переместится влево.
Если окажется, что корни комплексные, то можно показать, что все уравнения 1~~ ~(х)=0, У~ ~(х)=0, ..., у(х)=0 у'" ')(х)=0, ~'" "(х)=0,..., у(х)=0, то исходное уравнение в данной точке имеет корень кратности п — 1. П р и м е р. Отделить корни уравнения ха — 4х4+ бхз — Зха+ 2х+ 1 = О. Последовательность у(х), г" (х), ..., у(м(х) будет выглядеть так; У"' (х) 3! = 1Ох' — 16х+ 6, У'(х) = хь — 4х4+ 6хз — Зха+ 2х+ 1, у!41(х) 4~ — — бх — 4, — = бх' — 16х'+ 18х' — бх + 2, угм (х) — =!. 5! ум (х) — = 1Охз — 24ха+ 18х — 3, 21 имеют пару комплексных корней. Тогда мы уменьшим все Ь„при !4 (ш — 1 на 2 и получим Ьм,=О.
Таким образом, мы последовательно подвигаемся влево до тех пор, пока не придем к уже рассмотренным случаям. Может случиться, что уравнение ) (х) имеет два равных корня в (а',, а,'„~. Тогда будет справедлив тот же вывод, если только само уравнение не имеет кратных корней. Если же двойной корень принадлежит уравнениям 94 евшвнив алгввваичвских и тглксцвндаптных гзлвнвиий [гл.? По признаку Ньютона находим, что все корни уравнения заключены между — 1 и +1. Составим таблицу знаков последовательности в точках — 1, О, +1: х — 1 0 +1 у — + + Г + + + У'" + -[- О у)4) Р" + + + На отрезке [ — 1, 0[ имеем Ьв=1, а следовательно, на этом отрезке имеется один действительный корень.
На отрезке [О, ! [ У" (х) l 3) нужно разобраться со знаком =10(х — 1) )х — —.!. По- 3! этому при значениях х, больших 1, но близких к ней, все производные будут положительны. Таким образом, последовательность Ь будет иметь вид 4, 4, 3, 2, 1, О.
Первое из Ь, равное 1, будет 444. Исследуем, может ли уравнение у '(х)=0 иметь действительные корни на [О, 1[: У"' (1) У"' (О) О б 3 = — — — = — ~ 1 — О. уи) (П у)4) (О) 1 ( — 4) 2 Следовательно, мы должны Уменьшить Ьв, Ь), Ьз, )44 на 2. ПолУ- чим 2, 2, 1, О. Опять нужно исследовать, имеет ли у'(х) =0 действительные корни на [О, 1[: У'(1) У'(О) 3 2 — 11 ) 1 — 0 У„ (,) у„ (О) , ( ,) , > ! — О. а это означает, что действительных корней нет. уменьшая еще раз все 4) на 2, получим Ьо= О. Следовательно, других действительных корней наше уравнение не имеет, т.
е. имеет один действительный корень на отрезке [ — 1, О[ и четыре комплексных корня. Б. Отделение комплексных корней алгебраических уравнений. Мы изложим способ отделения комплексных корней алгебраического уравнения у(г)=г" +а,г"-'+ ... +а„,г+а„=о, (12) использующий понятие индекса миогочлена у(г) относительно некоторой заданной прямой в плоскости комплексного переменного г. Пусть на прямой )тег=а или г=а+14 ( — со 4.,1(+со) (13) 95 э 2( Отделение кОРней уравнение (12) не имеет корней. Знзчения многочлена Е(г) вдоль эгой прямой являются функцией Е, которую можно записать в таком виде: Е" (а+ ЕЕ) = Р (Е) + Е(е (Е) = Ет (Е) е'Р(11 (14) где Р(Е) и Я(Е) — действительные функции от Е, Ес (Е) =~/Р2(Е)+(22(Е), 121у(Е)= —.
По условию Ет(Е) не обращается в нуль. ЕЕ(Е) и () (Е) Р(Е) ' 1у(Е) — непрерывные функции от Е при изменении Е от — со до+со, Индекс многоилени Е(г) относительно прямой (13) определим так: Ег ((се г = а) = — (у (+ со) — 22 ( — со)(. 1 (15) Имеет место следующее свойство индекса Е: Если /(г) =у,(г)Л(г), где Е1(г) и )2(г) — многочленм относительно г, то ег(1хе г = а) = еб (2сс г = а) + е, (ьсе г = а). (16) В самом деле, если Е" (а+ЕЕ)= Ет (Е) е'РЕ21.
ЕЕ(а+ЕЕ) = )се(Е) е'РЕ'1 ((= 1, 2), то Е (Е) Е 1 (Е) ' Е~а (Е)' т (Е) г1 (Е) + та (Е). Отсюда l (ЕЕег=а)= — (<2(+со) — о( — со)(= 1 = — (К(+ о) — 121( — с )(+((22(+ ) — 1УЕ( — ос)(( = = Еб (1хе г = а) + Еб (гсе г = а). рассмотрим связь индекса у (2сег=а) с расположением корней уравнения (12) относительно прямой Ке г = а. Пусть сначала Е (г) = г — гь, где ге= ха+ ЕУа. В этом слУчае у (а+ ЕЕ) = а хо+ Е (Е ув) (и 1р (Е) ~о Если а — ха ) О, то при изменении Е от — со до + со ф1(1(Е) изменяется от — со до +со, а 1у(Е) от — —, до —.
(За 1у( — со) мы 2 2' всегда будем принимать значение угла в пределах ( — —, — 1, для 2' 2)* которого тангенс равен 1пп — „- —.) Следовательно, Я (Е) Р(0 96 еещениг ллгевсаических и твансцендентных твавнвний [гл. 7 Если а — хв ( О, то при изменении ! от — со до + со ! ~7(т) изменяется от + со до — со, т, е. Ч~(т) изменяется от — до — — и 2 2 1 Г я яч 7т (Ке г = а) = — ~ — —, — —, [ = — 1, 2) Таким образом, ч 1, если лес и, 7х -„(Кег= а) = — 1, если хв) а, (17) у(г) =г" [-а,г"-'.+ ... +а„,г+ан= = (г — г~) (г — га) . ° ° (г — гч). На основании свойства (!8) 7 (Кег=п) =~~~~ ~7(: —;~)(Кег=а).
Д ! Но 7(,, )(Ке а=я) равен+1, если гу лежит слева от прямой Кег=а и — 1, если г. лежит справа от этой прямой, Таким образом, Ух (Ке г = а) = й — 1, (18) где й — число корней уравнения 7'(г)=0, лежащих слева от прямой Кйг=а, а ! — число корней уравнения, лежащих справа от этой прямой. Так как общее число корней уравнения 7" (г) = 0 равно я + ! = п, то л+ 7Х (Ке г = а) и= 2 л — У,(йе а= а) 2 (19) Рассмотрим теперь прямую !та=[1, или г=(+!р ( — со(((со), (20) предполагая, что на ней нет корней уравнения (12). Пусть 7 ((+ ф) = Р, (С) + !(;), (ф) = й, (С) е!а щ ф, (1) + 0), !к Ф (() = Р,(!) ' (21) Определим индекс многочлена относительно этой прямой равенством 7 (! щ г = р) = — [ф (+ со) — ф ( — со) [.
1 (22) Это означает, что длЯ многочлена 7'(г) †-- г — гв индекс относительно прямой Ке г= а будет равен 1, если корень гв многочлена лежит слева от прямой Ке г= а, и — 1, если корень лежит справа от этой прямой. Пусть теперь /(г) — произвольный многочлен отделение козней Снова изучим связь индекса 1~(!юг= — 'р) с расположением корней относительно прямой 1шг='р, йоложив вначале, что у(г)=г — га (ге = ха+(уе): У(1+6) = г — хо+1(р — Уо) 1аф(1)— 1 — ха Если [1 — уз~О, то 1цф(1) при возрастании 1 от — со до х возрастает от 0 до +со, а ф(1) возрастает от 0 до —; при возрастании ! от хд до +со возрастает от — со до О. а ф(!) Р— уо 1 — хя от — до и. Таким образом, 2 / (!щг=р)= — [и — 0[=1 Если Р— Уа) О, то (иф(1) пРи изменении ! от — со до ха убывает от 0 до — со, а ф(1) убывает от 0 до — —,; при изменении 1 от ха до + со !иф(1) Убывает от +со до О, т.
е. ф(~) Убывает от — — до — и. Следовательно, 2 ! (!т г= р)= — [ — к — 0[= — 1. 1 Итак, (+1, если уа ) [), )я,,(!юг=~) =~ ~ — 1, если уа(Р, (23) т. е. если корень ге лежит выше прямой !тг=р, то индекс равен +1; если же ниже прямой, то — 1. В общем случае многочлена ) (г) = г" + а,г" - ' + ... + а„,г + а„= =(г — г,)(г — гз) ... (г — г„), используя свойство (1б), будем иметь: lу(!шг= ~) =,'5',),, ([шг=[)) =р — д, 'Ф (24) р+о=п, то и +!С (1а г = [1) п — 1~ (1 ш г = В) 2 ' т 2 (25) где р — число корней уравнения у(г)=0, лежащих выше прямой [юг='р, а д — число корней, лежащих ниже прямой.
Так как 98 гашения ллгввгличвских и тглнсцвндвнтных гвлвнаннй (гл. 7 Теперь уже совершенно ясно, как можно выполнить отделение действительных и комплексных корней уравнения (12). Для определения числа корней уравнения 7(л)=0, расположенныхх в полосе а„( Ке г < вы вычисляем )г (Ке г = зв) и Уг (Ке г = пг). Тогда число корней в этой полосе будет равно 1 д~ — до= 2 (7, (Кел=пг) — )г(Кел=яо)). (26) Для определения числа корней в полосе ря ( 1ш л ( ~, вычисляем )г(1гпг= рв) и lг((гпту= ~,); тогда число корней в этой полосе будет ! Ро Рг = и (гг ()ш з = ро) — гг ((ш л = рг) !.
(27) Зная границы области, в которой расположены все корни уравнения (12), и применяя этот метод, можно произвести отделение всех действительных и комплексных корней, Для вычисления индекса многочлена Г" (л) относительно прямой Кег=п необходимо найти приращение р(1) =агру(а+1() при возрастании 1 от — оо до + со, так как 1 )г (Ке л = п) = — [р (+ со) — р ( — со)), где !89 (т) =р у ° У(я+11) =~ (И) +Ф(И)- Р (г) ' 2) !!ш — = — со; С> (г) г-ьй~оР (г) 4) Пш — = Т со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
