Том 2 (1160084), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Эти значения можно Рис. 3. 1 1 — 51п (ил+ е ) = — ( — 1) 5!пап — О. пл+ ч„ ял + ч„ 1 1 и ПЛ+ Гч В силу малости е„можно положить 51п е„е„ Это дает е ЯЛ и мы получили улучшенные значения корней х„— ил+ яЛ уточнить. Положим х„=ил+ е„, где е„— некоторые небольшие добавки. Тогда 78 Ришвнии АлгввРАичиских и тРАнсцвндвнтных УРАвнаний (гл. 7 Если требуется, то можно продолжить уточнение корней, положив х„=пи+ +а'. ( 1)п пл и' Это дает уравнение для определения е'„: пп Но 1)п Пп, л „влв пи+ +' пл ( 1)п ( 1)п ( 1)п в + пл бпвлв ' Таким образом, ( — 1)" 1 Г ( — 1)" х пп+ — — ~1 —— п пл пвлв ( б При желании такой процесс можно продолжить, Для отыскания комплексных корней уравнения у'(г) =0 можно, положив г= х+1у, представить уравнение в виде ф (х, у) + (ф (х, у) = О, где Р(х, у) и ф(х, у) — действительные функции действительных переменных х и у.

Это уравнение эквивалентно системе лвух уравнений." ~р (х, у) = О, ф (х, у) = О. Построив кривые в(х, у)=0 и ф(х, у)=0, мы получим действи. тельные и мнимые части корней уравнения 7(г)=0 как соответственно абсциссы и ординаты их точек пересечения. Имеется много специально разработанных способов графического решения уравнений, приспособленных для отдельных типов уравнений. Большое значение имеют номографические методы решения уравнений, но мы не будем останавливаться на этих методах. Для выделения интервалов, в которых находятся действительные корни уравнения 7(х)=0, если 7(х) — непрерывная функция, можно воспользоваться следующими предложениями: Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение 7(х) =0 имеет хотя бы один корень.

79 отлилении когний Если при этом 7'(х) имеет первую производную, не меняющую знака, то корень единственный. Пусть 7(х) есть аналитическая функция переменного х на отрезке (а, Ь]; если на концах отрезка (а, Ь] она принимает значения разных знаков, то между а и Ь имеется нечетное число корней уравнения 7(х) = О; если же на концах отрезка (а, Ь] она принимает значения одинаковых знаков, то между а и Ь или нет корней этого уравнения, или их имеется четное число (учитывая и кратность корней). 2. Границы расположения корней алгебраического уравнения.

Для алгебраического уравнения 7 (г) = авг" + а,г" ' + агг"-г+ ... + а„,г + а„= О (1) залача отделения корней решается более просто и точно. Прежде чем отделять корни уравнения, естественно найти границы области, в которой расположены все корни уравнения, поэтому мы сначала приведем ряд способов отыскания этих границ. Пусть а=шах()а,), )а,), ...,)ав)), а а'=шах()ав), )а,), ...,)а„,1), Теор ем а 1. Все корни уравнения (1) расположены в кольце ( -) ) - +]а]' (2) Доказательство.

Действительно, Щг) ) > ) ) авг" ) — ) а,г"-'+ ... + ап,в+ а„) ), но при ) г) ) 1 имеем: ]а г"-'+ ... +а„) (а () г)в-'+)г)"-'+ ... + ) г)-)-1) = (е(и 1 а]г]и (г( — 1 (г,'— 1 ' Следовательно, )7'(г))) О, как только )авг") — а ) О или )ав))г) — )ав) — а) О, ]г]" а т. е. при ) г) )~ 1+,—. Таким образом, все корни уравнения ("ь ( и находятся внутри круга радиуса 1 + †, (ав1' Далее, уравнение ав+ а,у+ ...

+ а у" = О имеет корнями величины, обратные корням исходного уравнения. По доказанному все корни этого уравнения находятся внутри круга 80 гишанив алгазгаичаских и тглнсциндантных ггавнааий (гл. 7 а' радиуса 1.+ —, т, е. для любого корня яь исходного уравнения ~ач! ' имеет место неравенство — (1+ — или !яь!) 1 а' (а„! (а„! а'+ ! а„!' Объединяя результаты, получим неравенство (2). Предположим, что все коэффициенты уравнений действительные числа и аь) О. Найдем границы действительных корней уравнения. Очевидно, достаточно иметь способы определения границ положительных корней, так как, заменяя х на — х, мы получим уравнение, корни которого отличаются от корней исходного уравнения знаком.

Теорема 2, Обозначим через а максимум абсолютных вели~пи отрицательных коэффициентов уравнения, и пусть первый отрицательный коэффициент в ряду аь, а,, ..., а„есть ат. т/ Тогда все положительные корни уравнения меньше 1+ ~/ ь (Если отрицательных коэффициентов нет, то нет и положительных корней.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменим положительные коэффициенты а,, аг, ..., ат, нулями, а все остальные коэффициенты на — а. То~да при х) 1 будем иметь; /(х) =аех" +а,х"-'+ ...

+а„,х+а„) )аех" — а(х~-~+к~-~-'+ ... +х+1) хв-~.~.г Хв — ~ььь = аьх" — а > аьх" — а х — 1 х — 1 хп-т+' — 1аехеь '(х — 1) — а). "'Га Отсюда при х) 1+ф' — имеем неравенство /(х) ) О, так как аь ы/ / т/',ы-г аяхы '(х — 1) — а> ав аг — 11+ аг — г! — а) О, ~Ге а это и означает, что все положительные корни меньше 1+ агг аь С помощью теоремы 2 можно найти границы действительных корней очень грубо. Иногда эти границы можно сузить, применив следующий простой прием, Пусть в уравнении коэффициенты аь, а,, ..., а, неотрица- тельны, а ат, аж+о ..., а„неположительны и а,„(0.

Введем обозначения: авх" +а,х"-'+ ... +а„,,х"-"'+' — о(х), аых"-т+аы+,х"-ы '+ ... +а„,х+а„= — ф(х). Отделение кОРней Тогда 1(х) = <Р (х) — ф (х) = х" г т(х) ф(х) Первое слагаемое в скобках содержит только положительные степени х, а второе только отрицательные. Следовательно, при х) 0 первое слагаемое возрастает, а второе убывает с возрастанием х, т. е.

при х ) 0 функция 1(х) возрастает вместе с х. Найдя какое-либо х=и) О, для которого у(и) ) О, мы можем гарантировать, что все корни уравнения меньше а. В общем случае представим у(х) в виде 1(х)= Г(х)+Ф(х), где р(х) есть многочлен, содержащий все первые старшие по степени члены многочлена у(х), имеющие положительные коэффициенты и все члены с отрицательными коэффициентами, а Ф(х) — много- член, образованный всеми остальными членами исходного много- члена у(х).

Тогда, если мы найдем х = и ) О, для которого р (и) ) О, то 1(х)) 0 при всех х) а, так как Ф(х)) 0 при х) 0 и все корни уравнения у(х) =0 будут меньше и. Хороший способ отыскания верхней границы положительных корней указал Ньютон. Этот способ основан на утверждении: если нри х=а ) 0 имеют место неравенства г'(а) ) О, 1" (а) > О, ..., 1тт (а) > О, (4) то уравнение 1'(х) =0 не имеет корней, больших а.

Действительно, у(х) = у (а) + (х — а)1 ' (а) + ... + , (х — а)" ) 0 УШ1 (а) при всех х ) а. Таким образом, способ Ньютона заключается в отыскании значения а ) О, при котором многочлен 1(х) и все его производные имеют положительное значение. Тогда это значение будет верхней границей положительных корней. 3 а м е ч а н и е, Нижняя граница положительных корней может быть найдена из уравнения о +а,у+ ... +а,у"=0 такими же приемами, так как если р есть верхняя граница положительных 1 корней этого уравнения, то — будет нижней границей положительных корней исходного уравнения.

П р и и е р. Найти границы действительных корней уравнения х' — 35хь +- 380х' — 1350х+ 1000 = О. 1-й способ (использование теоремы 2). В данном случае а = 1350, ав = 1, т = 1. 82 Решение АлГеБРАических и тРАнсцендентных УРАВ44ений [гл. 7 Следовательно, все положительные корни уравнения меньше 1+ — = 1351.

Для отыскания нижней границы положительных корней уравнения рассмотрим уравнение 1 — 35у+ 380у' — 1350у'+ 1000у' = О. Так как а' = 1000, а' = 1350, ш = 1, то верхняя граница поло- жительных корней этого уравнения будет: 1000 2350 1+ — = —, 1350 1350 ' а следовательно, нижняя граница корней исходного уравнения — 0,57. 1350 2450 Итак, все положительные корни уравнения находятся на отрезке (О 57' 1351! Для отыскания границ отрицательных корней рассмотрим уравнение г4+ 35гз+ 380яа+ 1350г+ 1000 = 0 получающееся заменой х на — ш Это уравнение, очевидно, не имеет положительных корней, а следовательно, исходное уравнение не имеет отрицательных корней. 2-Й способ.

Представим 7'(х) = х' — 35х'+ 380х' — 1350х + 1000 в виде 7 (х) = Р (х) + Ф (х), где Р (х) = х4 — 35х' — 1350х, Ф (х) = 380х' + 1000. При х = 40 Р (40) = 404 — 35 ° 404 — 1350 ° 40 = 266 000 ) О. Поэтому все корни уравнения меньше 40. 1 Для отыскания нижней границы снова заменим х на —. Получим: У 74(у) = 1000у' — 1350у'+ 380у' — 35у+! = Рг(у) + Ф,(у), где гт (у) 1000у4 !350уз 35у Ф1(у) 380уа + 1 гт4(1, 5) = 353,75 ) О. Таким образом, положительные корни уравнения 74(у) = 0 меньше 1,5, а положительные корни исходного 83 6 2) отдвлвнив когнвй уравнения больше — ж 0,66.

Характеристики

Список файлов книги