Том 2 (1160084), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Это же будет верно и для остальных элементов Н в силу аддитивности оператора А. Мы доказали, что для нормы линейных операторов выполнены все свойства. которые требуются от нормы в линейном нормированном пространстве. Таким образом, совокупность всех линейных операторов, заданных в линейном нормированном пространстве, образует в свою очередь линейное нормированное пространство. Но в множестве линейных операторов определена еще операция умножения оператора на оператор, По определению С=АВ, если для любого х ~ Н Сх = АВх. (!7) (18) будем иметь: (19) При этом по первому определению нормы оператора ))Сх)~=(~АВх(~ ()(А(! !)Вх(! (!)А~! ()В~~ )~х~~.

Итак, оператор С ограничен и !! С !! = !! АВ !! ( !! А )) !! В !! . (20) 1. Конечномерные линейные нормированные пространства. В настоящей главе мы будем рассматривать только коиечномерные линейные нормированные пространства. При этом каждый элемент линейного пространства будет полностью определяться конечной 47 линвйныв опвгатогы. ногмы опвгатогов 5 71 совокупностью чисел — компонент его по отношению к некоторому базису. Пусть размерность пространства равна л.

Норма элемента хЕ Н будет функцией его компонент /)х11=~Р(хо ха, ..., х„). (21) При различных определениях нормы функции р будут различны, но все они будут сбладать рядом обших свойств. Так как ()сх))=~сих)), то ~р (схо сх,...,, сх„) = ) с ) ср (хо х,, ..., х„). (22) Функция р(хо х„..., х„) непрерывна. Действительно, если х и х'— два элемента Н с компонентами (хо х,, ..., х„) и (х,', х,', ..., х„'),. то (о(хо х,..., х„) — о(х',, х',.... х„') ! =Цх(! — /)х'))) <,'1х — х'/). (23) Обозначим (24) р(О, ..., О, 1, О, ..., О) = ь 1-1 рая Тогда ((х — х'11 < ~ х, — х,'~а,+1ха — х')аа+ ...

+1х„— х'„)а„(25) вли 1Р(хо х,, ..., х„) — Р(ха', х,', ..., х„') ~ < <1х,— х,')а,+1хз — х,1п,+ ... +1х„— х„'1сс„. (26) Отсюда и следует непрерывность ч. Непрерывная функция у(хо х,, ..., х„) достигает на ограниченном замкнутом множестве (27'г ха -+ ха + ... -1- ха = 1 своего наибольшего значения М < со и своего наименьшего значения лг О. Так как при положительных с (СХ~ Сха Схя) С<р (Хг Ха Хя) (28) то ~р(хо ха, ..., х„) < М при х1+ха+ ... +х„< 1 (29) и ~р(хо х,..., х„) ) и при х,+-ха+ ... +Х„) 1. (ЗО) Отсюда, в частности, следует, что множество элементов, удовлетворяющих условию 11Х11 = 1, является замкнутым ограниченным множеством пространства Й . Зто множество не содержит нулевого элемента.

48 гешвние систем линейных ллгвввличвских гглвнвний [гл. 6 Пусть в нашем пространстве введены две нормы ([х)), и ![х([з. Рассмотрим множество элементов у ~ Н, для которых ([у[[, = 1. В силу только что сделанного замечания )[у![з на этом множестве достигает своего наибольшего значения 1. и своего наименьшего значения 1, 1Ф О. Пусть теперь х+ 0 — произвольный элемент Н, То~да [[х[[з=[[ )[х([1 [[,[[ ! = )[х)[1! и так как )[х/[[х[),!), = 1, то 1!)х[[, (~[х([з ( Цх([н (31) (32) Они выполнены и для нулевого элемента.

Две нормы [[х~[, и ~[х~[з, для которых выполнено тзхз, ()[х([з (М[[х![,; и![хзе ()[х)[, (И))х![з, (34) где х — произвольный элемент Н и т, М, и, И)0, называются эквивалентными. Неравенства (33) говорят о том, что имеет место теорема. В конечномерном линейном нормированном прослгранстве любые две нормы зквивалентны.

На практике чаше всего используют следующие нормы: ![х [[, = шах ~ х~ [, (35) [[х[[я=[х,[-+)хз(+ ... +[х»[, [[х[[„= )/ х',+х„'+ ... +х„'. (36) (37) Необходимо проверить выполнимость условий, налагаемых на норму, Условия [[х)[)~ 0 и )[х[[ФО, если х4=0, очевидно, выполнены во всех трех случаях. Так же очевидно, что выполнено условие ([сх[) = )с[[[х[[. Проверим выполнение условия [[х+у[[ ( [[х[[+ [)уа. В первом случае будем иметь: [[х +у[), = шах [хг+ус [ ( (шах[хс[+гпах)ус[= [[х[[,-[-[[у~[,, (36) Во втором случае получим: » » » [[х+у[[~ = ~~'„, [ х;+уз [ ( ~', [ хс [+ ~~ь, [уг [ = [[х )[, + [[у )[ .

(39) Отсюда получаем, что для произвольного ненулевого элемента х~ Н выполнены неравенства (сх~~, ([[х[~з (Цх[[,; — ~[к~[, (~[ха, ( — ))х([в. (33) 49 ЛИНЕЕНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, НОРМЫ ОПЕРАТОРОВ Наконец, из неравенства Буняковского следует: ~! к+у~5 = ~~'.~ (хе+уз)е ( с~~~х,'. + Ху" = ~1х>>ь+ ~!у!!в (40) 2. Линейные операторы в конечномерном линейном нормированном пространстве и их связь с матрицами. Пусть в п-мерном линейном нормированном пространстве задан аддитивный оператор А.

Пусть этот оператор переводит базисные элементы (О, О, ... ..., О, 1, О..., 0) соответственно в элементы (аы, аео ..., аги). Тогда в силу аддитивности он должен переводить элемент (х,, хю .... х„) в элемент (у,, ую ..., у„), где у; = ~~'., айхр (4 !) у ь Это можно записать в виде матричного равенства ан а>т... аьч пн им ... аьи У> Уь (42) асн апь ... а„„х„ Таким образом, каждому аддитивному оператору в п-мерном линейном нормированном пространстве будет соответствовать квадратная матрица порядка и. Обратно, каждая квадратная матрица порядка и определяет при помощи равенства (42) некоторое отображение п-мерного пространства самого на себя, Нетрудно проверить, что это будет аддитивный оператор. Поэтому в дальнейшем мы часто будем отождествлять аддитивнь>е операторы в и-мерном пространстве с соответствующими им матрицами, Так как множество элементов х ~ Н, для которых >>х~( = ! образует замкнутое ограниченное множество >сги>, то непрерывная функция >>Ах)~ компонент (х,, х,, ..., х„) будет на нем ограничена.

Таким образом, имеет место теорема: все аддитивные оператооы на конечномерном линейном нормированном пространстве будут оераниченными. Поэтому в нашем случае в соответствии с вышеизложенным мы сможем ввести понятие нормы оператора или Заметим еще следующий факт. Если хи>-+ х в смысле какой-то из этих трех норм, то х, — + хо Так как у нас все (и> нормы эквивалентны, то последнее заключение будет справедливо, если хги>-+ х по произвольной норме. 60 гегпение систем линейных алгеввлических гвквнений [гл. 6 [[А[[, = гпах ~~Р~[агк [. г к 1 (43) Действительно, ([Ах[[,= глад~ ~~'., агкхк ~ (глах ~Р )ага()хк[, (44) г )к г к=г и если ()х)(,=1, то [[Ах[[, (игах ~~~~ [ага[. (45) к-1 Пусть гпах ~,[аги[ достигается при 1 = 7'.

Возьмем в качестве х к-г 1 аул[ элемент с компонентами хк = при а к Ф О и хк — — 1, если аук а.к — — О. Очевидно, [[х[[, = 1. При этом ~~'., агкхк 1 = .~~ [ агк [, к г к-г (46) Следовательно, [[Ах[[, = ~ [а~к [= гпах ~а [а;к [. (47) Утверждение доказано. Для второй нормы будем иметь: ч [[А[)к= глах ~'., [ага[.

к (48) Пусть [[х )[, = 1. Тогда ч ~ и я а [[Ах )[а = ~ ~ ~~'., ац хк ~ ( ~~.', ~',, [ац [ [ хк [ ( я-г к-г я-г к-г ( ~, [хк[гпах ~~,'з [аг,[. (49) к ! нормы матрицы. Различным способам введения нормы элемента будут соответствовать различные определения нормы оператора или матрицы. Рассмотрим, как будут определяться нормы операторов или матриц для норм элементов, определенных равенствами (3 б) — (37). Покажем, что если норма элемента определяется равенством (36), то норма А будет определяться э 7! линвйные опеглтогы.

ногмы опзглтогов Пусть шах ~~', )аы! достигается при я =72 Возьмем элемент х ь г-1 с компонентами х„ = 0 при й ~ у и ху — — 1. Очевидно, !!х!), = 1. При этом !!Ах!!а= ~ ~~'., а!ьхь — — ~~ )а!)(=шах ~ !агь1, 11ь г ! г-г а ! 1 (50) Для третьей нормы 1!А!!,=У Л,, (51) где Л,— наибольшее собственное значение матрицы А'А. Покажем это. Пусть !/х!/,=!. Имеем: )~АХ)/з=(АХ, Ах) =(х, А'Ах). (52) =>чс'+Леса+ ... +Л„сз ~()т. (о4) Для х= хи! будем иметь: )~Ахсн!! = (хн1, А'Ахп!) = (хн1, ). х"') =Л,. Таким образом, утверждение доказано. (55) 3. Сходимость последовательностей матриц и матричных рядов. Перейдем теперь к вопросу о сходимости последовательности матриц. Будем говорить, что последовательность матриц А,, А,, ..., А,„, ...

сходится к матрице А, если для всех О и имеем аф'-+ ац,. Это равносильно условию !1А„ — А!1-+ О. Из этого определения следует, что если А -ь А и В,„ -+ В, то А + В,„-ь А +- В, (56) Ач,Вм -ь АВ. (57) ') См, И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, гл. 1!. А'А является симметрической неотрицательной матрицей. (Это значит, что для любого х скалярное произведение (Ах, х) ) О. Известно. что все собственные значения такой матрицы, т. е.

такие значения Л, для которых существуют ненулевые х со свойством Ах = Лх, — действительные неотрицательные числа ').) Пусть Лг)»Ла)» ... )»Л„.-.-Π— собственные значения этой матрицы, а х'", хая!, ..., х<ч! — соответствующие им ортонормированные действительные собственные векторы. При этом х сг хо! + сех!з! + + с чхни (о3) где сзг+с~.+ ... +са=! и (!Ах)!за = (х, ААх) = (с х"!+ саха!+ ... +счхсч1, Л,с,х<'!+~с,хи! -1- ... +Л„с„х'"!) = 52 Рещение систем линейных АЛРВБРАических уРАВнений (Гл, 6 Далее, если Т вЂ” некоторая неособенная постоянная матрица и А,„-+ А, то Т АтТ-+ Т АТ.

(58) Рассмотрим степенной ряд гв(Л)=ив+и,л+иглг+ ... +а,„Л + (59) Ему можно поставить в соответствие матричный ряд Г'(А) = иег+-и А+ агАг+ ... +а А + (60) Т '~,„(А) Т=Т,„(Т АТ) =Т (В), (61) Для того чтобы Т„(А) имела предел, необходимо и достаточно, чтобы г (В) имело предел. Предел Т (В) будет существовать тогда и только тогда, когда существуют все !Нп г' (Вг), где В;— «ящики» матрицы В, Пусть В; соответствует элементарному делителю (Л вЂ” Лч)"'. Тогда (Лг!0...0 ол,!...о (62) (и; строк), (о оо ...л! Л,! О...О о лг !...о Лг ! 0...0 о л ! ... о о о о...л, 0 0 О...лг Лг 2Л; 1 0...0 0 Лг 2Л; 1...0. (63) 0 0 0 0 ...

Характеристики

Список файлов книги